Zad-TFKP-1

§9. Нули аналитических функций. Изолированные особые точки и их классификация

Найти нули аналитических функций и определить их порядок.

1. а) f(z) = z4 + 4z2; б) f(z) = sinz .

2.а) f(z) = z2 sinz; б) f(z) = sh2zz .

3.а) f(z) = 1+ chz; б) f(z) = (1z− shz)2 .

4.а) f(z) = (z + πi)shz; б) f(z) =zcosz3.

Найти порядок нуля z0 = 0 для следующих функций

5. f(z) =

z6

.

6. f(z) = esinz − etgz.

z

2

z

2

2

z3− sin

2

8. f(z) = 2(chz − 1) − z2.

7. f(z) =

.

2

1+ z − ez

9. f(z) =

(1

− cos2z)

10.

f(z) = e

z

z2

ln3

(16− z).

zz2 − shz2z

.

− e3

11. f(z) = e

e

− 1 .

12. f(z) = 6sinz

+ z

z

− 6 .

Найти особые точки следующих функций и определить

их характер

1

1− cosz

1

1

z

13. а)

1

− sinz ; б)

z2

.

14. а)

e

+ 2

; б)

cos z .

15. а)

z

; б)

1

1

.

z5 + 2z4 + z3

e−z −

1

+

z2

1

π

1

−

z2

16. а)

e

; б) sin z +

1; в) ch z .

2

z

1

− sinz

z − π

17. а)

cosz − 1; б)

cosz

; в)

sin2 z

.

Определить характер указанных особых точек.

18.

1+ cosz

, z0 = π.

19.

z2

−

3z +

2

, z0 = 1.

z − π

z2

−

2z +

1

20.

sinz2z , z0 = 0.

21.

shzz2

, z0 = 0.

22. cos

1

, z0 = −π.

23.

sin

z

, z0 = 0.

z

π

z

ez+e

+

πz

24.

, z0 = −e.

25. cos z1 + sin 2−2z

, z0 =

0.

z + e

Ответы. 1. а) z = 0 — второго порядка; z1,2 = ±2i — простые;

б) zn = nπ (n Z,n ≠ 0)

— простые. 2. а) z = 0

— третьего порядка; zn = nπ

(n Z,n ≠ 0)

— простые; б) z = 0 — простой, zn = nπi

(n Z,n ≠ 0) — второго

порядка. 3. а) zn = (2n + 1)πi

(n Z) — второго порядка; б) zn = (4n + 1)

π

i (n Z)

2

— второго порядка. 4. а) z

= −πi — второго порядка; zn = nπi (n = 0,+1,±2,...)

rikπ

—простые; б) znk =3 (2n − 1)π2 · e 3 ,k = 0,1,... 6; n N — простые. 5. Второго порядка. 6. Третьего порядка. 7. Простой ноль. 8. Четвертого порядка. 9. Первого

порядка. 10. Второго порядка. 11. Второго порядка. 12. Пятнадцатого порядка. 13. zn = (4n + 1)π2 (n Z) — полюсы второго порядка; б) z = 0 — устранимая особая точка. 14. а) z = −2 — существенно особая точка; б) z = 0 — существенно особая точка. 15. а) z = 0 — полюс второго порядка; z = −1 — полюс второго порядка;

21

б) z = 0 — полюс второго порядка; zn = 2nπi (n Z,n ≠ 0) — простые полюсы. 16. а) z = 0 — существенно особая точка; б) z = −1 — существенно особая точка; в) z = 0 — существенно особая точка. 17. а) z = 0 — устранимая особая точка; z = 2πk (k Z,k ≠ 0) — полюсы второго порядка; б) z = π2 +2πk (k Z) — устранимые особые точки; z = −π2 + 2πk (k Z) — простые полюсы;

в) z = π — простой полюс; z = kπ (k = 0,−1,±2,±3,...) — полюсы второго порядка. 18. Устранимая особая точка. 19. Простой полюс. 20. Простой полюс.

21. Устранимая особая точка. 22. Существенно особая точка. 23. Устранимая особая точка. 24. Простой полюс. 25. Устранимая особая точка.

22

§10. Вычеты аналитических функций

Найти вычеты функций во всех конечных особых точках.

tgz

1

1.

f(z) =

.

2.

f(z) = z3 · e z .

z2 π z

3.

f(z) =

− 4chz

.

4.

f(z) =

ez

.

z2e+z 1

(z −

3)

41 − sin2zz

5.

f(z) =

.

6.

f(z) =

.

z3(z1 − 1)

(z + 1)3(z − 2)2

7.

f(z) =

e−

z2

.

8.

f(z) = z2 sin z1.

1

z

4

+

sin2

z

9.

f(z) = cos z1 + z3.

10.

f(z) =

.

(z + i)1 z

i

2

1− cosz

− 2

z2+

z2

11.

f(z) =

z3(z

3)

.

12.

f(z)

= e

.

− iz

cosz

13.

f(z) =

e

.

14.

f(z)

=

.

ezπ2z− 1 (z +

3)

z3z−2nπ2 z2

15.

f(z) =

.

16.

f(z) =

(n N.)

z − i

(z − 1)n

17.

f(z) = ctg2 z.

18.

f(z) = sinz cos z1.

z

sin z1

19.

f(z) = e z − 1.

20.

f(z) =

.

1−2z

21.

f(z) = ez sin z1.

22.

f(z) = e

z

+ 1

z

.

Ответы.

f(

)

,

f

π

4

,

f

π

πn

−8

(n

Z).

2.

res

= 0

resi

4

res

1.

0

=

π

2

+i

=

π2(2n +

1)(4n +

1)

π

resf(0)

241 . 3. resf(

i)

120+ 3

cos1, resf(i)

1

20− 3

cos1, resf(3)

ch310 . 4. resf

(

1)n

= −

= −

=

−

6

=π

−

π

h

−√23e

+2πn,

√23e−

+2πn,

6

f (

)n 1

π

πn

6

(n

Z).

5.

f( )

5

,

2

π

(2n 1)π

res

h

−1

+

6

+

=

2

π

(2n 1)π

res

0

= −2

e− 6

e 6

+ −

;

i

+ −

;

√3

e. 6.

f(

)

1

,

f( )

1

−√3

f( )

,

f(z )

1

+

i

i

,

f(z )

f( )

=

res

= 27

res

. 7.

res

=

res

= −

e

res

=

res

1

−1

2

= −27

0

0

1

4√2

2

1− i

i

resf(z3) =

1+ i

i

, resf(z4) = −

1− i

i

,

где zk (k = 1,2,3,4)

— корни уравнения

4√2 e− ,

4√2 e

4√2 e−

z4 + 1= 0. 8. res1 f(0) = −61. 29. resf(30) = 0.

10. resf(−i) = 94 sh2· i,

resf1

(2i ) = −98 2e + 11e .

11. resf(0) = −16, resf(3) = 27 sin

2

2

4. 12. resf

( )

.

13. res

f(

)

= 8

e

3i ,

res

f( )

= 8

ei,

π0

= 0

−3

−

1

resf(−1)

= −4e−i.

14.

resf(0)

= −

, resf

= 0.

15.

resf(i)

= −1.

16.

resf(1)

=

π2

2

n

∞

2 !

. 17. resf(nπ) = 0

(n Z).

18. resf(0) = −nX=1

1

. 19. e

в точке

(n − 1)!(n

+

1)!

(2n − 1)!· (2n)!

∞

(−1)n

z = 1. 20. sin1 в точке z = 0; −sin1 в точке z = 1. 21.

nX=0

в точке z =

0. 22.

(2n)!(2n + 1)!

e−1 − 1 в точке z = 0.

i

+ πn =

23

§11. Теорема Коши о вычетах

Вычислить интегралы, используя теорему Коши.

1.

Z

z tgπzdz.

|z|=1

2

2

2

2.

Z

(z

)2(z

) ,

= 3

где C :x3

+ y 3

3 .

zdz

C

Z

− 1

+ 2

Z

z3

− iz2

z3

(z + 1)

3.

ezdz

.

4.

ez2

− 1 dz

.

|z|=2

z2 sin z1dz.

|z−i|=3

2dz

5.

Z

6.

Z

z

.

1

sin3z cosz

|z|=

|z|=1

7.

2

ez

3.

8.

Z

sinz2

z dz.

Z

zdz

πz

|z+1|=4

+

z

√13

−

zdz

|

|=

eizdz

9.

Z

e

.

10.

Z

.

z4

2z2

1

(z

π)3

|z−1|=1z

+

+

x2

y2

|z|=4

−

11.

Z

zcos2

24dz,

где C :

+

+ 1.

9

4

−

C2

12.Z e3zdz1, где C :x2 + y2 − 2x = 0. z −

C

sin

x2

13.

Z

πz

dz,

где C :

+ y2 = 1.

z2

2

4

C

(z

14.

z2

− 1

3,

где C :x2 + y2 = 16.

Z

+21z

)dz

C

+

−

x2

y2

z

z

15.

Z

sin

dz,= 1,

где C :

+

,

(z )5

3

9

C

− 1

16.

Z

dz

,

где C :x2 + y2 − 2x = 0.

z4

1

C

+

1

Z

z3 sin z1dz.

Z

17.

18.

(z + 1)e z dz.

|z|=1

1

Z

sin

1

+ ez2 cosz dz.

|z|= 3

19.

2

z2

4

|z|= 3

−

e2

Ответы. 1. 0.

2. 0.

3. 1− 2e−1

πi. 4. 2 1

π

− e−1

πi.

5.

31πi. 6. 0.

7. −3 ln3· πi. 8. 0.

9. [cos1+ sin1+ i(sin1− cos1)]

.10. πi.11. 0.12. 2πi

.

2

3

−π

2

. 14. 2πi.15.

sin1− 4cos1

πi.16. −

πi

0.

13.

i

12

√2.17. 0.18. 3πi.19.

24

§12. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов

Определить характер бесконечно удаленной особой точки для следующих функ-

	ций.		z3 − z2 + z + 6							z + 1
	1.	f(z) =					.	2.	f(z) =		.
										z4
			z z2
	3.	f(z) =	e		.			4.	f(z) = cos z1.
			z2
			1							1
	5.	f(z) = e		z2		.		6.	f(z) = z3e z .

Используя вычет относительно бесконечно удаленной особой точки, вычислить

интегралы.

2

dz

7.

Z

z z+3 1

8.

Z

dz.

1

+ z12 .

|z|=1

10001 zz1224+ 2dz.

|z|=2ezdz

9.

Z

10.

Z

.

z

−

1

|z|=2

+

|z|=3

11.

Z

z2 sin z1dz.

12.

Z

z9

dz.

z10

1

|z|=1

|z|=3

−

Найти интегралы с помощью вычетов.

∞

2

11

13.

Z

x

+

dx.

x4

0

+

∞

15.

Z

dx

.

x2

2

−∞∞

+ 1

17.

Z

xdx

.

x2

x

2

−∞

+ 4

+ 13

∞

19.

Z

dx

.

x6 1

−∞

+

∞

xsinxdx

21.

Z

.

x2 + 4x + 20

−∞

∞

x3 sinaxdx

23.

Z

x2 2

−∞

+ 1

2π

(a > 0).

25.

1

2cosp cos2x

p2

Z

2 xdx

0

−

+

2π

(0< p < 1) .

27.

1

2cosp sinx

p2

Z

xdx

0

−

+

(0< p < 1) .

∞

14.

Z

dx

x2

+

a2 x2

+

b2

−∞

(a >

0,b > 0).

∞

16.

Z

dx

.

x2

+ 1

n−1

−∞

∞

4

1

18.

Z

x

+

dx.

x6

+

1

0

∞

xcosxdx

20.

Z

.

x2 − 2x + 10

−∞

∞

xdx

22.

Z

cos

x2

a2

0

+

(a > 0).

2π

24.

Z

1

dx

−

2p cosx

+

p2

0

(0< p < 1) .

2π

1

cos2xdx

26.

Z

−

2p cosx

+

p2

0

(p > 1) .

2π

28.

Z

dx

a

+

cosx

0

(a > 1).

25

dx

a + b cosx

29. πZ ctg(x − a)dx

0

(Ima > 0).

2Zπ

dx

31. 0 1+ a cosx

(0< a < 1) .

2Zπ sin2 xdx

30. 0 a + b cosx

(a > b > 0) .

2Zπ

32.

0

(a > b > 0) .

Ответы. 1. ∞ — простой полюс. 2. ∞ — устранимая особая точка. 3. ∞ — существенно особая точка. 4. ∞ — устранимая особая точка. 5. ∞ — устранимая

особая точка. 6. ∞ — полюс третьего порядка. 7. 2πi. 8. 0. 9. 0. 10. 2πei. 11. −

πi

. 12.

3

π

π

π

(2n)!

π

2π

2πi. 13. √2

. 14.

.

15.

.

16.

2−2n · π. 17.

−27. 18. 3 .

ab(a + b)

2

(n!)2

19. 23π . 20.

π

e−3(cos1− 3sin1).

21.

π

e−4(2cos2+ sin2).

22.

2πa e−a. 23.

π

(2− a)e−a. 24.

3

2

4

12−πp2 .

25.

2(1− p) . 26. p2

p22 − 1

. 27. 0.

28. √a22 − 1.

29.

πi.

30.

2b2

a −

√a2 − b2 . 31.

π

π

π

π

2π

. 32.

2π

.

√

1− a2

√

a2 − b2

26

§13. Преобразование Лапласа. Изображения и оригиналы

1. Проверить, какие из приведенных функций являются оригиналами.

а) f(t) = bt η(t) (b > 0,b ≠ 1);

в) f(t) = t −13η(t);

д) f(t) = ch(3− i)t · η(t); ж) f(t) = tt · η(t);

и) f(t) = et2η(t); л) f(t) = t21+ 2η(t);

б) г) е) з) к)

м)

f(t) = e(2+4i)t η(t);

f(t) = t2η(t);

f(t) = tgt · η(t);

f(t) = e−t cost · η(t); f(t) = e−t2η(t);

f(t) = η(t) + P∞ η(t − k) · (−1)k.

k=1

Пользуясь определением, найти изображения функций.

2.	f(t) = t.	3.	f(t) = sin3t.
4.	f(t) = tet.	5.	f(t) = tα (α > −1).
			1
6. Может ли функция ϕ(p) = cosp служить изображением некоторого оригинала?
Найти изображения функций.
7. 1+ t. 8. 2sint − cost. 9. t + 21e−t .
Пользуясь теоремой подобия, найти изображения следующих функций
10. f(t) = eαt .			11. f(t) = sin4t.

12. а) f(t) = cosωt; б) f(t) = sh3t.

Пользуясь теоремами линейности и подобия, найти изображения следующих функ-

ций

13. f(t) = sin2 t.

15. f(t) = cos3 t.

17. f(t) = sin4 t.

14. f(t) = sinmt · cosnt.

16. f(t) = sinmt · sinnt.

18. f(t) = cosmt · cosnt.

				Ответы. 1. а) да; б) да; в) нет;г) да; д) да; е) нет; ж) нет; з) да; и) нет;
к) да; л) да; м) да. 2.																			1			3.			3			. 4.					1								5.		(α + 1)					6. нет. 7.						p +		1	. 8.	2	− p
																		p2			.		p2		+		9			(p			−		1)2			.						pα+1			.								p2			p2	+	1	.
	p2 + 2p + 2										1											4																		;					3						2
9.						.	10.								. 11.									.	12. а)									p							б)						.	13.							.
										n2−												+ 16												+											− 9				p p			+	4
	2p		m+ 1p2				m2						a							p2					3						p2					ω2								p2							2
			2(p		)					p
14.					+			−								.	15.							p + 7p							.		16.											2mnp							.
		p2 + m2 + n2 2 − 4m2n2																																														− 4m2n2
																						p2 +			9		p2 2+ 1					2					2 p2 + m2 − n2 2
8			p + p2				+ 16			− p2					+ 1									p2 + m2					+ n2			2		− 4m2n2
17. 1			3				p						4p						. 18.							p p			+ m				+ n									.

27

§14. Теоремы о дифференцировании и интегрировании

Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображения следующих функций

1.

f(t) = cos2 t.

2.

f(t) = sin3 t.

3.

f(t) = t sinωt.

4.

f(t) = cos4 t.

5.

f(t) = t cosωt.

6.

f(t) = tet.

Найти изображения функций.

t

+t.ch

7.

f(t)

= (t cos)

t.

8.

f(t)=

f(t)

t2

t.

f(t)

t

et

t .

9.

= t

+ 1 sin2

10.

= t

sh3

11. f(t) = Z sinτdτ.

12. f(t) = Z

(τ + 1)cosωτdτ.

00

13.f(t) = Zt τ sh2τdτ. 14. f(t) = Zt cos2 ωτdτ.

0

0

t

t

2e−τ dτ.

15.

f(t) = Z chωτdτ.

16. f(t) = Zτ

0

0

в) sint2 t .

17.

а)

et

t− 1

;

б)

1−te−t ;

1

18.

а)

− cost

;

б)

cost − cos2t

.

t

1− t

;

t

19.

а)

et

−

б)

et − e−t

.

t

t

Вычислить интегралы

20.

Z e−

−t

e−

dt,

(α > 0, β > 0) .

∞

αt

βt

0

∞

αt

sinat

21.

Z

e−

dt,

(α > 0,a > 0) .

t

22.

0

−t

e−

sinmtdt,

(α > 0,β > 0,m > 0).

Z e−

∞

αt

βt

0

∞

23.

Z cosat − cosbt dt, (a > 0,b > 0) .

0t

									∞													(a > 0,b > 0).
				24.					Z sinat · sinbt dt,
									0			t
								Ответы. 1.									p2 + 2					. 2.										6							.	3.					2ωp						.
																p p2 + 4													p2	+ 1			p2 + 9											p2 + ω2						2				2
				p	4				2								p	2			ω		2									1								2p		3										2	p		+	p	+	1					2
4.						+		16p		+		24	.	5.					−							. 6.									. 7.								− 6p			.		8.											.	9.		2p	+ 4p + 8		. 10.
			pp p2					4	p2 + 16								p2 +pω3																																				p2p−2 1
						+																2			2p2 pω(p2 −ω1)22																p2 + 1				3												2ω2						p2 + 4 2
		6										1															+				−												4														2						1
						.		11.							.	12.						+												.		13.											.	14.								+					.	15.			. 16.
	p2 − 9				2						p p2 + 1													p p2 + ω2								2									p2 − 4 2												p2		p2 +			4ω2						p2 − ω2
		2					.	17. а) ln						p			; б) ln								p + 1				;	в)			1 ln				q			+ 4			.
	p(p +			1)3										p −		1
																										p							2						p

28

18. а) ln

q

; б)

21 ln

p2 +

4

.

− p1;

1

. 20. ln

p2 + 4

19. а) ln

p

б) ln

p +

β

. 21. arctg

a

. 22.

p

p2

1

p

1

p

1

α

α

+

21 ln

−

−

arctg mβ − arctg mα . 23.

ln ab . 24.

−+ bb

aa

.

29

§15. Теоремы смещения и запаздывания

Найти изображения функций

1. а) e2t sint; б) et cosnt. 2. e−tt3. 3. et sht. 4. tet cost. 5. e3t sin2 t. 6. e−αt cos2 βt.

7. sin(t − b) · η(t − b). 8. cos2(t − b) · η(t − b). 9. et−2 · η(t − 2).

Найти изображения функций, заданных графически.

10.		11.	12.
	f( t)	f( t)		f( t)
1		1	1
	t	1	t		t
O	1	O	O	1	2
-1		-1
13.			14.
	f( t)		f( t)
	1
		t	1
	a				t
	O		O	a
	e -b(t-a)
				1- e -b(t-a)

15.			16.
f(t)				f(t)
a			b-a
O	a	t	O	a	b	t

30