Конспект по ТАУ

5. Пропорциональноинтегральнодифференциальный закон (ПИД):

t k		t	1	t		d t
	p				д
			T		t dt T	dt	.
			и 0

Постоянные Ти и Тд, соответственно, называют постоянными времени интегрирования и дифференцирования. Регулятор ПИД также обеспечивает астатическое регулирование. Производную dε / dt вводят в закон регулирования для повышения качества процесса регулирования.

6. Пропорционально-дифференциальный регулятор

Связь выходной и входной величин определяется соотношением
t k	t T	d t	,	(46)
p	д	dt

где

Tд

- постоянная времени дифференцирования.

Передаточная функция имеет вид
W p	p	k		T p.
	p
			p	д

(47)

Амплитудно-фазовая характеристика

T

jarctg

д

W j k

kp

j T

k

2

p

2

T

2

e

.

(48)

p

д

д

W j представляет прямую, начинающуюся на положительной

На комплексной плоскости

вещественной оси на расстоянии

k p

и проходящую параллельно мнимой оси в первом квадранте.

№15. Нелинейные алгоритмы управления (функциональные, логические, оптимизирующие, параметрические)

Важным отличием нелинейных алгоритмов от линейных является то, что они придают системе принципиально новые свойства. Если при линейном алгоритме всегда вырабатывается сигнал, пропорциональный входной переменной или ее производной и т. д., то при нелинейном алгоритме может существенно изменяться сам характер действия системы управления на объект в зависимости от величины входного воздействия.

Функциональные нелинейные алгоритмы управления. Функциональными будем называть такие нелинейные алгоритмы, при которых управляющее воздействие на объект выражается в виде нелинейной функции от отклонения его величины, представляющей собой входную информацию для системы.

Данный класс может содержать в себе как статические, так и динамические нелинейности. Примеры статических нелинейностей:

Примеры динамических нелинейностей в алгоритме управления:

Логические нелинейные алгоритмы управления. Нелинейные законы управления могут иметь иные формы, которые реализуются с помощью не функциональных, а более или менее сложных логических устройств. Будем называть их логическими нелинейными алгоритмами. Логические нелинейные алгоритмы управления могут быть связаны также с изменением структуры системы. Например, при помощи логического устройства можно включать и выключать сигналы управления но первой и второй производным и по интегралу, в зависимости от сочетания значений отклонения управляемой величины x и скорости отклонения ее dx/dt. Если правильно сформировать логику этих переключений, то можно существенно повысить качество работы системы.

Оптимизирующие нелинейные алгоритмы управления. Оптимальной называется автоматическая система,

наилучшая в некотором смысле с учетом ограничений, накладываемых на величину управляющего воздействия, координаты, скорости и т. п.

Часто оптимальный нелинейный алгоритм состоит в переключении управляющего воздействия (при определенных состояниях системы) с одного максимально возможного значения на другие.

Моменты переключения в целом определяются сложными комбинациями значений нескольких переменных и их производных.

Параметрические нелинейные алгоритмы управления. В предыдущих тинах алгоритмов вводились отклонения управляемой величины от некоторых заданных ее программных значений. При параметрической программе управления алгоритм может выражаться в виде нелинейных функций текущих координат, в которых задается параметрическая программа.

№16. Линеаризация уравнений.

Для упрощения исследований САУ нелинейные дифференциальные уравнения во многих случаях можно приближенно заменить линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

Основой возможности линеаризации нелинейных уравнений является выдвинутое И.А.Вышнеградским положение о том, что в течение процесса управления происходят лишь достаточно малые отклонения всех величин от их установившихся значений. Этот метод получил название метода малых отклонений. Математической основой метода малых отклонений является разложение нелинейных функций в ряд Тейлора. Пусть, например, звено (рис. 3.1, а) какой-нибудь автоматической системы имеет входные величины x1,x2, выходную — х3 и внешнее воздействие, а динамическое уравнение звена имеет произвольный нелинейный вид

Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях х1 =х1° , х2 = х2° , х3 = х3° и f = f° .Тогда уравнение установившегося состояния для данного звена согласно 3.1) будет

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае х1, х2, х3) изменяются так, что их отклонения от установившихся значений х1°,х2° ,x-j ) остаются все время достаточно малыми (рис. 3.1, б).

Обозначим указанные отклонения через X1, X2, X3. Тогда в динамическом процессе

Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического управления обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.

№17. Передаточная функция.

Передаточная функция звена или системы есть отношение операторных изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования)

— отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными.

П. ф. системы определяется только её статическими и динамическими свойствами; результатом её обратного преобразования является импульсная переходная функция, то есть реакция системы на импульсное входное воздействие.

П. ф. сложной системы является комбинацией П. ф. составляющих её звеньев. Для многомерной системы, имеющей несколько входов, могут быть определены П. ф. по всем параметрам состояния и их линейным комбинациям при каждом входном воздействии. П. ф. широко применяются при анализе динамики летательного аппарата и синтезе систем управления, так как позволяют полностью или частично решить ряд задач этого класса с помощью алгебраических операций.

При исследовании динамики летательного аппарата с системами управления, включающими бортовые ЭВМ, используется так называемое Z-преобразование сигналов и соответствующие ему дискретные (импульсные) П. ф. систем и их элементов.

№18. Частотная передаточная_ф-я

Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т. е. имеет место интегральное преобразование

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.

Модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя. Для рассмотренного выше выражения (4.12)

Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя и знаменателя. Для (4.12) имеем:

Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести разделение на вещественную и мнимую части. Для (4.12)

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

№ 19. Временные характеристики.

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика, h(t) описывает переходный процесс на выходе звена,

возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается x1(t) = 1(t), что соответствует х1 = 0 при t < 0 и х1 = 1 при t > 0.

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы и т. п. Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход.

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: δ(t) = 1' (t). Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности.

№20. Динамические звенья и их характеристики.

По динамическим свойствам независимо от физической природы простейшие (неделимые) звенья подразделяются на усилительные (масштабные), апериодические, интегрирующие, дифференцирующие, колебательные, звенья чистого запаздывания. На эти звенья можно разложить систему любой сложности, а также синтезировать из них желаемую систему любой сложности.

Основными характеристиками звеньев являются: дифференциальное уравнение, передаточная и переходная функции, амплитудно-фазовая характеристика, логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ).

Усилительные звенья

Особенностью усилительных звеньев является их практическая безинерционность, т.е. выходная величина в точности воспроизводит входную в измененном масштабе (усилители, потенциометры, редукторы,

рычаги и т.д.):	x	вых	(t) kx	вх	(t) , где	k	- коэффициент усиления, который может быть больше и меньше

единицы и иметь размерность, согласующую выходную и входную величины. Передаточная функция усилительного звена:

W(p)

x	вых			(p)
x		вх	(p)

k

.

Амплитудно-фазовая характеристика

W( j )	x	вых			( j )	k
	x			( j )
			вх

не зависит от частоты.

На комплексной плоскости представляем точку на положительной вещественной оси, удаленную от

начала координат за величину " k" .

Если на вход звена подается ступенчатый единичный сигнал, то на выходе получается переходная

функция в виде ступенчатого сигнала величины " k" .

Апериодическое звено

Его называют инерционным звеном первого порядка, одноёмкостным статическим звеном.

Дифференциальное уравнение его запишем так:		T	dx	вых	(t)	x		(t)
							вых
				dt
времени, имеющая размерность времени,	k -коэффициент усиления.
Передаточная функция звена будет такой:

kxвх

(t)

,

где

T

- постоянная

W(p)			x		вых				(p)							k				.																					(6)
				x		вх		(p)					Tp 1
																										р j , получим:
Сделав в передаточной функции (6) замену
W( j )									k					k(1 j T)														k				j				k T						U( ) jV( ) .
																	2			2					2				2						2				2
					j T 1													T			1						T			1							T			1
							2								2										k			2						k		2				2	T	2
A( )					U				( )				V				( )
																							2			2					2				2				2				2
																					(			T					1)				(				T					1)
	k	1				2	T			2							k
																					,
		2		2												2			2
	( T					1)											T			1

где A( ) - амплитудно-частотная характеристика.

АФХ апериодического звена представляет окружность с центром на вещественной оси на расстоянии k и

2

радиусом	k	. Действительно,	V( )	T	,
			U( )
	2

jV( )

	k
	2	U( )
		0

Рисунок 1 - АФХ апериодического звена

Интегрирующее звено

Выходная величина интегрирующего звена равна интегралу по времени от входной,

1

t

dx

(t)

x

(t)

x

(t)dt

, или T

вых

x

(t) .

вых

вх

T

и

dt

вх

и 0

Передаточная функция звена равна:

W(p)

xвых (p)

1

;

x

( p)

.

x

( p)

вх

p

xвх (p)

Tиp

вых

T

и

h(t)

t

, где

T

- постоянная времени интегрирования, численно равна времени, через которое значение

T

и

и

выходной величины станет равно входному воздействию.

Амплитудно-Фазовая характеристика интегрирующего звена получается из уравнения заменой p j

W( j )

1

j

1

1

e

j

.

j T

T

T

2

и

и

и

Дифференцирующее звено

Для идеального (физически не реализуемого) дифференцирующего звена выходная величина пропорциональна скорости изменения входной

:

x	вых	(t) T
		д

dx	вх	(t)
	dt

, где

Tд

- постоянная времени дифференцирования.

Если на вход такого звена подавать сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью, то выходной сигнал будет постоянен. Время, за которое входной сигнал, изменяясь с постоянной скоростью от нуля до единицы, обеспечит выходной сигнал равный единице, называется постоянной времени дифференцирования идеального дифференцирующего звена.

Переходная функция дифференцирующего звена представляет бесконечно большой амплитуды и

бесконечно малой длительности импульс, площадь которого равна

h(t) T (t) , где		при t 0,		.
			(t)dt 1
д	(t)	t 0.
	0

Tд

.

Передаточная и амплитудно-фазовая характеристики дифференцирующего звена получаются из выражения и равны:

W(p) Tд p xвых (p) ;

xвх (p)

W( j ) j Tд

	T e	j
			2
	д

.

(15)

Легко видеть, что АФХ дифференцирующего звена совпадает с мнимой осью. Она начинается в начале координат при 0 и устремляется в верхнюю полуплоскость при .

Колебательное звено

Статические и динамические свойства колебательного звена описываются дифференциальным уравнением второго порядка вида

T2	d2xвых (t)	T	dxвых (t)	x	вых	(t) kx	вх	(t) , где T	, T - постоянные времени, имеющие
2	dt2	1	dt					1	2

размерность времени. В операторном виде уравнение запишем так:

2	2	x		(p) T px		(p)
T p			вых		вых
2				1

откуда передаточная функция

x	вых	(p)

kx	вх	(p)

,

W(p)	x	вых			(p)
	x			(p)
			вх

	k
T2p2	T p
2	1

.

1

Для получения переходной функции необходимо решить уравнение при единичном входном воздействии. При этом решение будет зависеть от вида свободной составляющей, определяемой корням характеристического уравнения

2	2
T p
2

T1p 1

0

,

где

p		T	T2		4T2
		1	1		2
1,2			2T	2
			2

.

а)

h(

Рассмотрим вид переходной функции для различных видов корней характеристического уравнения.

T1 2T2		. В этом случае корни								P		будут вещественными отрицательными,
										1,2
					2		t				1			t	.
t) kx	вх		(t) 1			e	1					e	2
				2 1					2 1

б) T 2T

.

p

p

1

,

1

2

1

2

T

2

t

t

T

.

h(t) kx

вх

(t) 1

2

T

1 e

2

в) T

2T

;

p

1,2

j ,

1

2

h(t) kx

(t)

kx

вх

(t)

e t sin( t arctg

)

вх

T

2

kx

e

t

sin( t arctg

вх

(t) 1

) .

T

2

Амплитудно-фазовая характеристика колебательного звена получается из выражения заменой

p

j

:

					k												2		T		2	j T )
W( j )										k(1
																				2			1
	( j )	2	T	2	j T	1								2		T		2	)	2		( T )		2
										(1
			2		1												2					1
									2	T	2	)											k T
					k(1
U( ) jV( )										2							j									1				.
					2	T	2	)	2				2	T	2							2	T	2	)	2	2	T	2
					(1																(1
						2								1									2					1

Если корни характеристического уравнения вещественные отрицательные, то передаточную функцию (18) можно записать так:

W(p)

( 1p

k
1)(	2	p 1)

. Это эквивалентно включению последовательно двух апериодических звеньев.

Звено чистого запаздывания

Уравнение, связывающее выходную и входную величины:
x	вых	t x	вх	t .

Передаточная функция звена
W p		xвых p			e	p	.
			xвх p
Амплитудно-фазовая характеристик
	j			e j cos j sin
W

	sin
	e j arctgcos	e j .
cos2 sin 2

АФХ представляет на комплексной плоскости окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

№21. Логарифмические частотные характеристики.

Логарифмические частотные характеристики ( л. ч. х.) включают и себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую характеристику (л. ф. х.). Для построения л. а. х. находится величина

Эта величина выражается в децибелах.

Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие lg ω, а около отметок пишется само значение частоты ω в рад/с.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля Л (?) = 1,так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте.

Следует учесть, что точка ? = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg 0 = -оо. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х.

Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Для практических расчетов, как это будет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна -180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный — вниз.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л. а. х. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. х„ представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дБ/дек.

№22. Составление передаточных функций по дифференциальным уравнениям САУ.

Применив к дифференциальному уравнению

	преобразование
Лапласа, получим:
где x(p) – преобразование Лапласа выходного сигнала системы;	g(p) – преобразование Лапласа входного

сигнала. Часто x(p) и g(p) называют изображениями сигналов x(t) и g(t). Введем обозначение

Тогда можем записать

Данное уравнение связывает между собой изображения выходного и входного сигналов системы. Функция H(p) не зависит от входного воздействия g(t), а определяется параметрами самой системы ai и bi

. Эту функцию называют передаточной функцией системы. Передаточная функция равна отношению изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала

№23. Общие положения об устойчивости.

Система автоматического управления будет называться устойчивой, если выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе она возвращается в исходное состояние, т.е. при снятии внешнего воздействия САУ возвращается в то состояние, в котором она находилась до возмущения.

Известно, что вид переходного процесса в САУ определяется суммой двух составляющих - свободной и вынужденной. Поскольку вынужденная составляющая определяется внешним воздействием, а устойчивость линейной САУ зависит от ее поведения после снятия внешнего возмущения, то можно сделать следующий вывод: устойчивость линейной САУ не зависит от внешнего воздействия, а определяется видом свободной составляющей переходного процесса.

Свободная составляющая переходного процесса находится как общее решение линейного однородного уравнения

d

n

x

d

n 1

x

a

a

... a

x 0

0

n

1

n 1

n

dt

dt

,

x

где

- отклонение регулируемой величины от исходного установившегося состояния.

Поскольку решение уравнения (2.1) определяется корнями характеристического уравнения

a

0

pn

a

1

pn 1

a

2

pn 2

... a

n

0

, (2.2)

то, следовательно, устойчивость САУ будет зависеть от вида корней уравнения (2.2). В случае различных вещественных корней

n

хсв (t) Cie i 1

Система автоматического

p	i	t

.

управления будет устойчива, если

t	xсв (t) 0	t	0 xсв (t)
При	; нейтральна, если при		; неустойчива, если при

t	0 x	св	(t)	.

Свободная составляющая будет стремиться к нулю тогда, когда каждое слагаемое суммы будет стремиться к

нулю при	t	. Это условие будет выполняться в таких случаях:

все корни характеристического уравнения (2.2) отрицательные; все корни имеют отрицательные вещественные части.

Если в характеристическом уравнении (2.2) будет хотя бы один нулевой или пара мнимых сопряжений корней,

C k , Ck e j t Ck 1e j t C sin( t ); t и, следовательно, система будет нейтральна (находится на границе устойчивости).

Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ вещественный-положительный или пара комплексно--сопряженных корней имеет положительные вещественные части, то САУ неустойчива.

№24. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Если характеристическое уравнение САУ имеет вид (2.2), то система автоматического управления будет

устойчива, если при		a	0	0	будут положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица до
n 1	порядка.
Определитель Гурвица составляется следующим образом: по диагонали записывают коэффициенты от						a	1	до	a

над диагональю записывают коэффициенты с возрастающим индексом, под диагональю - с убывающим, недостающие коэффициенты заменяются нулями. Например, для системы, имеющей характеристическое уравнение 4-й степени, получим

n 1

,

a	0	p	n

a p3	a	2	p2
1

a	3	p a	4

0

.

(2.5)

	a1	a 3	0
	a 0	a 2	a 4
	0	a1	a 3
	0	a 0	a 2

1 a1 0;	2
Поскольку
	4

коэффициентов)

0
0	,
0
a 4
a1			a3 0;				a1		a3		0
						3	a	0	a	2	a	4	0.
a0			a2
							0		a1		a3
	3	a	4	, то при соблюдении необходимого условия устойчивости (положительность всех
															диагональный минор. Очевидным является также
достаточно чтобы положительными были														n 1

	a
утверждение, что при	n 1	будет иметь место нулевой корень характеристического уравнения, т.е. система будет
находиться на границе устойчивости. Если			a	n	0	, а		n 1	0	, то в характеристическом уравнении будут чисто
мнимые корни, и она также будет на границе устойчивости. При этом все главные диагональные миноры до											n 1

порядка должны быть положительными.

№25. Частотный критерий устойчивости Михайлова.

Если в характеристическом уравнении положить	p j	, то получим годограф Михайлова

G

j

a

0

j p

1

j p

2

j p

n

a

0

j

n a

1

j

n 1

a

n

.

(2.6)

j p

Найдем угол поворота элементарного вектора

1

при изменении от

до

(рисунок 2.1).

При этом могут быть два случая: корень

p

1

находится в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.е. имеет

отрицательную вещественную часть; корень

p

1

находится в правой полуплоскости комплексной плоскости.

1

1

Если корень

p

в левой полуплоскости, то при

вектор

j p

направлен вниз. При увеличении

вектор

j p

поворачивается против часовой стрелки ( в положительном направлении ) и при

1

направлен вверх, т.е.

1

.

arg j p

Если корень

p

находится в правой полуплоскости, то вектор

j p

повернется аналогично

1

1

предыдущему случаю только по часовой стрелке, т.е.

arg j p1 .

Вектор G( j ) представляет произведение элементарных векторов (2.6), поэтому, если все корни характеристического уравнения (2.2) находятся в левой полуплоскости комплексной полуплоскости, т.е. САУ устойчива, то

arg j n .

G j a n a n 2 j 2 a n 4 j 4 a n 1 j a n 3 j 3
a n 5 j 5 x jy ,					(2.7)
где
x an an 2 2 an 4 4 ,
y a		a	3 a	5	.
	n 1		n 3	n 5
Вещественная часть G( j ) равна x( ) есть частная функция, поэтому ветвь G( j ) , построенная при
изменении		от	до 0, будет симметрична ветви при изменении			от 0 до . Поэтому нет смысла