Конспект по ТАУ

							G(
изменять от			до			достаточно построить
приращение аргумента				G( j )		будет в два раза меньше.
которого находятся в левой полуплоскости, то
arg G( j ) n		.
	2
0

j )	при изменении		от 0 до		. При этом

Если САУ имеет характеристическое уравнение, корни

Поскольку необходимое условие требует положительности и наличия всех коэффициентов характеристического

уравнения, то для устойчивой САУ

G( j0) a

n

.

САУ будет устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной вещественной полуоси,

последовательно проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) " n " квадрантов при

изменении

от 0 до

,

где

n

- степень характеристического уравнения.

j -p

1

A

j

1

A

p

1

p

+Re

1

0

	-Im
Годограф Михайлова для устойчивых САУ при	n 1,2,3,4	изображены на рисунке 2.2. Если годограф

Михайлова проходит через начало координат, то САУ находится на границе устойчивости. При этом, если он начинается с нуля, то это указывает на наличие нулевого корня, если годограф начинается на положительной вещественной полуоси, но затем проходит через начало координат, то это значит имеются мнимые корни в характеристическом уравнении.

n

Если годограф Михайлова непоследовательно проходит квадранты комплексной плоскости или проходит

не "

" квадрантов, то САУ неустойчива.

Пусть характеристическое уравнение n-й степени имеет m корней в правой полуплоскости. Тогда

arg G j n m

m

n 2m

.

2

2

2

0

Итак, критерий устойчивости Михайлова позволяет не только анализировать устойчивость замкнутых и

разомкнутых САУ, но и находить число неустойчивых корней

n

arg G j

2

m

0

2

.

Для устойчивой САУ очевидным является свойство чередуемости и вещественности корней

j

0

Im G j 0

Re G

и

.

			n
			2

n 3

I m

n 1

an

	n
	4

Re

Рисунок 2.2 - Виды годографов Михайлова

№26. Частотный критерий устойчивости Найквитса – Михайлова.

С помощью критерия устойчивости Найквиста-Михайлова по стационарным свойствам разомкнутой САУ можно судить о нестационарных свойствах замкнутой.

Известно, что характеристическое уравнение замкнутой САУ, определяющее ее устойчивость, получается

приравниванием нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т.е.

1 W

p 0

.

раз

W

p

Q p

,

1

W

p

Q p P p

.

P p

раз

раз

P p

Обозначим

тогда

(2.8)

p

Если в выражении (2.8) заменить

на j , то в числителе получим годограф Михайлова для замкнутой системы,

а в знаменателе - для разомкнутой. При этом степень числителя и знаменателя будут одинаковы и, если замкнутая и разомкнутая системы устойчивы, то

arg 1 W

j

arg

Q j P j

arg

P j n n 0

раз

2

2

0

0

0

.

j

1 W

На комплексной плоскости это обозначает, что вектор

раз

при изменении

от 0 до

поворачивается вокруг точки

1, j0

, или что вектор

W

j

не охватывает на комплексной плоскости точку

раз

не

1, j0	при изменении			от 0 до (рисунок 2.3).
Таким образом, если разомкнутая САУ устойчива и ее АФХ не охватывает на комплексной плоскости
точку с координатами		1, j0			, то замкнутая САУ будет устойчива.

Если разомкнутая САУ неустойчива и имеет m неустойчивых корней, а замкнутая САУ устойчива, то

arg 1 Wраз j n		n m	m			m	2 .
	2			2
0		2			2
Таким образом, если разомкнутая САУ неустойчива и имеет m неустойчивых корней, то для

устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала в

	m
положительном направлении точку на комплексной плоскости с координатами ( 1, j0)	2	раз.

Если разомкнутая САУ неустойчива, то число неустойчивых корней можно определить по критерию Михайлова.

В том случае, если разомкнутая САУ находиться на границе устойчивости благодаря наличию нулевых

корней, передаточную функцию ее можно записать так:
W	p	Q p	,
раз		P P p		P P1 p P p ;
			где			- кратность нулевого корня.
		1

АФХ разомкнутой системы стремиться к началу координат при увеличении по одной из осей координат комплексной плоскости:

	1	0		,
			2
	при				т.е. АФХ перемещается по отрицательной мнимой оси;
	при 2	0 , т.е. АФХ перемещается по отрицательной вещественной оси;
	3	0			3	,
				2
	при					т.е. АФХ перемещается по положительной мнимой оси.

Для анализа устойчивости таких систем справедлив критерий устойчивости Найквиста-Михайлова, если их АФХ дополнить частью окружности бесконечного радиуса, которая начинается на положительной вещественной полуоси, как это показано на рисунке 2.4.

№27 Устойчивость САУ с запаздыванием

Если САУ имеет чистое запаздывание, то ее устойчивость можно определить только по критерию Найквиста-Михайлова, поскольку характеристическое уравнение будет иметь бесконечное множество корней из-

за наличия сомножителя

e

p

, делающего его трансцендентным.

Систему с чистым запаздыванием можно рассматривать как предельную систему без запаздывания и

звена чистого запаздывания, включенного последовательно:

.

W

j

W

j e j W

j e j e j

W

e

j

раз

пр

пр

пр

(2.11)

Из выражения (2.11) следует, что наличие чистого запаздывания не изменяет амплитудно-частотную характеристику, модуль АФХ остается прежним, но изменяется фаза векторов - каждый из них поворачивается по

часовой стрелке на угол . Поскольку значения модуля АФХ, как правило, больше при малых частотах, то наличие чистого запаздывания приводит к «разбуханию» АФХ, и она может охватить на комплексной плоскости

	точку с координатами	1, j0	.
	Для определения критического значения				, при котором САУ еще устойчива, проводят из начала

координат комплексной плоскости единичным радиусом окружность. Точка пересечения ее с АФХ характеризует

		k		W		k	1.		k
частоту			, при которой	пр				Зная		, можно найти
	k k ,

k .

k

Построив АФХ разомкнутой САУ, можно найти запас устойчивости замкнутой САУ по модулю и по фазе
(рисунок 2.5,б). Запас устойчивости по фазе есть угол							. Запас устойчивости по модулю иногда определяют по
расстоянию			H	от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до минус единицы, иногда как
	1
величину	a	, где		a	- расстояние от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до начала

координат.

№ 28 Структурная неустойчивость САУ.

Это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров.

g(s)

W'(s)

y(

g(s)

W(s)

y(s)

-

-

y (s)

W (s)

0

ос

W

( s )

W

( s )W

ос

( s )

Пусть

W (s)

K

. Годограф Найквиста для данной системы изображен на Рис.А. Устойчивость

n

sT )

П(1

i 1

i

этой системы определяется значениями параметров

T

и

K

. Рассматриваемая система является структурно

i

устойчивой.

jImW(j )

jImW(j

)

-1

ReW(j

)

-1

ReW(j

)

R=

Рис.A

Рис.B

Пусть	W (s)		K		v		.
			n	sT )
		s П(1
			i 1			i
структурно устойчива.
Пусть	W (s)		K		a
		2	n 2			sT )
	s		П (1
			i 1			i

(Рис.В). Устойчивость также зависит от параметров	T	и	K	v . Система
	i

. В любом случае (при любых значениях параметров) система будет

неустойчива. То есть система является структурно неустойчивой.

jIm W(j

)

Re W(j

)

-1 R=

В частном случае передаточная функция имеет вид

характеристическое уравнение замкнутой системы:	D(s)

перемежаемости корней и полюсов. Система неустойчива.

W (s)		K	a	. При этом соответствующее
	2	(1 sT )
	s

Ts	3	s	2	K		0	. Нарушен принцип
					a

Структурно неустойчива.

Система с передаточной функцией																W (s)						K					- структурно неустойчива, так как для
																				2		2	)(1	sT )
																			(1 s T
																					1				2
													3	2			2	2													2
																			sT		1 K 0								a		T T
замкнутой системы										D(s) s T T							s T								, при этом коэффициенты								,
													1			2	1		2											0	1	2
a		T	2		,	a		T		,	a		1 K		, - все положительны, но из условия
							2					3
1		1							2																					K 0
		a a					a a			T T T T (1 K) 0																1 (1 K) 0
													2		2						следует, что							, откуда				, или
	2		1			2		0	3				1 2		1		2
K 0				. То есть система неустойчива.

Система

	W (s)	K
		sT )(1	sT )
	( 1
		1	2

также структурно устойчива. Здесь звено

K1 sT1

-

квазиапериодическое (статически неустойчиво). Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(s) s2T1T2 s(T1 T2 1 K) 0 . Откуда можно получить два граничных условия:

T1 T2 0 .

K 1 0

и

Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.):

Пусть одноконтурная система состоит из:
q
- интегрирующих звеньев,
t - неустойчивых звеньев,
r
- консервативных звеньев. Тогда при отсутствии в системе дифференцирующих звеньев она будет структурно
устойчива в том случае, если	q t 2;	n 4r.

В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.

№ 29 Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одном и двух параметров

Для выделения области параметров, обеспечивающих устойчивую работу САУ, используются критерии устойчивости. Рассмотрим применение каждого из них для выделения области устойчивости по одному и двум параметрам.

Критерий устойчивости Гурвица.

Пусть САУ имеет один параметр настройки		. Для выделения области значений		, обеспечивающих

устойчивость САУ запишем все условия устойчивости - положительность всех главных диагональных миноров

до «

n 1

» при

a 0

0

. В частном случае

может входить и в

a 0

. Равенство нулю миноров соответствует

границе устойчивости.

f

( )

2

f

( ), ,

n 1

f

n 1

1

1

Если построить зависимости

,

2

, то значение параметра

,

удовлетворяющие условию устойчивости, будет лежать на оси абсцисс в той области значений

, для которых

миноры положительны.

Если САУ имеет два параметра настройки

и , то приравняв

нулю

1

( , ) 0,

2

( , ) 0, ,

n 1

( , ) 0,

получим

"n"

уравнение границы устойчивости в плоскости двух

параметров. Задаваясь значениями одной из них, по каждому уравнению можно найти значение другого и

построить линии границы устойчивости. При этом плоскость параметров

и

будет разделена на области. Для

определения области, удовлетворяющей условию устойчивости, необходимо из каждой области взять одну точку и проверить на устойчивость.

САУ находится на границе устойчивости, если характеристическое уравнение имеет нулевые или мнимые корни.

Критерий Найквиста - Михайлова.

Возможны два варианта:

и

принадлежат одному звену;

и

принадлежат различным звеньям.

В первом случае АФХ разомкнутой системы представляют в таком виде:

W

( j , , ) W ( , , j ) W ( j ) r( , , ) e

j ( , , )

раз

1

2

.

Граница устойчивости определяется соотношениями:

r( , , ) 1; ( , , ) .

В нашем случае r( , , ) r1( , , ) r2 ( ) ;

( , , ) ( , , )

2

( )

1

.

Отсюда

			r ( , , )				1
			1			r	( )					( , , )										( )
											1										2
						2			;														.			(2.16)
	Задаваясь				0 , находят	r	(	0	)	и			2	(	0	)	,	r(	0	, , )		(		0	, , )	. Решая совместно два уравнения с
						2																и	1
																												0
	двумя неизвестными, находят точку на кривой границы устойчивости. Линию строят при изменении от																												до
		. Определение области устойчивости производится путем проверки одной точки каждой области.
	Если			и принадлежат различным звеньям, то получают две передаточные функции, в одну из которых
	входит , в другую .
	Уравнения границы устойчивости в этом случае такие:
	r1( , ) r2 ( , ) 1;							1( , ) 2 ( , ) .																		(2.17)
	Подставляя конкретные значения , решают совместно систему двух уравнений, в результате которого
	получают значения					и для выбранной частоты, соответствующие одной точке на линии границы

устойчивости. Если система уравнений не решается аналитически, используется графоаналитический метод.

№ 30 Анализ качества САУ

Качество регулирования определяется отклонением регулируемой величины от желаемого закона ее изменения в установившемся и переходном режимах. Статические показатели качества характеризуются статической погрешностью. Динамические показатели качества характеризуются временем регулирования, перерегулированием, числом перерегулирований, формой кривой переходного процесса (апериодический, колебательный).

	t
Время регулирования	p
выполняется условие:

h(t) h( )	,

определяется как время от начала переходного процесса до момента, когда

(2.18)

где		- величина, определяемая требуемой погрешностью работы САУ, обычно					0,05h	max	.
	Перерегулированием				называют отношение максимального отклонения регулируемой величины от
установившегося значения к величине установившегося значения
			hmax h( )		100%
			h( )
					.	(2.19)
Число перерегулирований определяется по числу максимумов за время регулирования, когда

h(t) h( )	.	(2.20)
Апериодическим называется переходный процесс, при котором регулируемая величина приближается к
установившемуся значению без колебаний. Иногда под апериодическим переходным процессом понимают
процесс, составляющими которого являются экспоненты, хотя сумма экспонент с различными начальными
значениями и постоянными времени может дать несколько колебаний (процесс при отрицательных
вещественных корнях характеристического уравнения).

Существуют прямые и косвенные методы оценки качества САУ. Прямые методы предполагают анализ САУ непосредственно путем построения переходного процесса. Косвенные методы позволяют ориентировочно судить о переходном процессе без его построения. К ним относятся: определение степени устойчивости, апериодичности, интегральные критерии качества. Рассмотрим их подробнее.

№ 31 Критерии апериодичности переходного процесса

Критерий А. М. Каца базируется на вещественности корней характеристического уравнения. Корни

характеристического уравнения будут вещественными, если полином

F(p) f (p

2

) pf

(p

2

)

удовлетворяет условию

устойчивости, где

f (p

2

)

-получается из характеристического уравнения заменой

p

на

p

2

в производной по

p

от

f (p)

.

Это утверждение легко доказать.

F(p)

j

F( j ) f (

2

) j f (

2

)

Если в

подставить

, то получим

.

Если

F(p)

удовлетворяет условию устойчивости, то вещественная и мнимая части

F( j )

, т.е.

f (

2

)

и

j f (

2

)

имеют вещественные перемежающиеся корни. Но корни

f (

2

)

вещественны относительно

2

, что

равносильно вещественности корней

f (p)

относительно

p

. Поскольку система устойчива, то они отрицательны.

Построив для

F(p)

границу устойчивости, мы тем самым строим границу апериодичности для

f (p)

.

Степень

F(p)

в два раза выше степени

f (p)

, поэтому условия апериодичности будут сложнее условий

устойчивости.

Критерий Л.Эйлера (1765 г.) позволяет получить условие апериодичности переходного процесса по коэффициентам характеристического уравнения. При этом корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными с отрицательными вещественными частями.

Если характеристическое уравнение записать в форме

a	0	p	n	a p	n 1	a	2	p	n 2	... a	p
				1							n 1

то для апериодичности переходного выполнялось условие:

a	n	0	,

процесса необходимо, чтобы для любых смежных коэффициентов

		2
	a
		k
a	k 1	a	k 1

k 1

k

n k 1

n k

,

(2.21)

n	k		k 1,2, , n 1
где - степень характеристического уравнения;		- индекс проверяемого коэффициента,		.

Невыполнение хотя бы одного из неравенств следует считать признаком отсутствия апериодической устойчивости.

Критерий Штурма. Предложен в Парижской Академии в 1826 г. в виде теоремы, из которой вытекает условие апериодичности.

Все корни характеристического уравнения будут отрицательными, если положительны все коэффициенты
числом	n	+1 при старших членах ряда Штурма, полученного из этого уравнения, где	n	- его степень.

Ряд Штурма образуется следующим образом:

(V, V , V ...V		)
1 2	n

где V - характеристическое уравнение САУ; V1 - производная от V по p ; взятый с обратным знаком.

Остальные члены ряда получаются таким же образом.

V2

- остаток от деления V на V1 ,

V

Q

V

V

Q

V

V

V

1

2

n 2 Q

n 1

V

1

2

;

V

3

;...

V

n

.

(2.22)

1

2

n 1

При последовательном делении полиномов для образования ряда Штурма можно умножать или делить на

p

n

какое-либо постоянное положительное число, не зависящее от . Число членов ряда Штурма должно быть

+1.

Члены ряда должны иметь степень

p

, убывающую на единицу, и последний член должен состоять только из

коэффициентов характеристического уравнения.

Недостаток рассмотренных критериев состоит в том, что они не учитывают свойств возмущений, действующих на САУ (не учитывают правую часть дифференциального уравнения).

Для анализа качества систем управления, описываемых дифференциальными уравнениями третьего порядка, И. А. Вышнеградский (1831-1895 гг.) разработал диаграмму, по которой в плоскости двух параметров Вышнеградского можно найти область устойчивости, апе риодичности, отсутствия перерегулирования, области равного абсолютного затухания, относительной степени затухания. Однако в связи с частным случаем решенной задачи исследования по данному вопросу не приводятся и могут быть найдены практически в любом учебнике по теории автоматического управления.

№ 32 Введение производной в закон регулирования
Передаточная функция разомкнутой нескорректированной САУ	W(p) . При анализе устойчивости САУ по
критерию Найквиста - Михайлова строится АФХ разомкнутой системы W( j ) . После введения

корректирующего звена результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет (1 T			p)W(p).
		д
При этом ее АФХ также изменится. Обозначим ее W ( j ) :
	c
W	( j ) W( j ) j T W( j ) .	(8.1)
c	д
Из выражения (8.1) видно, что наличие производной приводит к деформации исходной АФХ за счет
добавления к каждому вектору W( j ) дополнительного вектора		j TдW( j ) , направленного

перпендикулярно исходному в положительном направлении, рисунок 8.2. (против хода часовой стрелки).

На рисунке 8.2 деформированная АФХ пересекает отрицательную вещественную ось правее исходной, т.е. введение производной может увеличить запас устойчивости по модулю. Однако это не всегда так. В зависимости

от формы	W( j )	и выбора величины T	наличие производной может как повысить, так и понизить запас
		д

устойчивости по модулю (удалить или приблизить АФХ к критической точке на комплексной плоскости 1, j0 ). Введение производной повышает быстродействие САУ.

Действительно, пусть		1		. Тогда, подобрав T	T	,
	W(p)			д	0
			1
	T
	op

Рисунок 8.1 - Структурная схема инвариантной САУ

Рисунок 8.2 - АФХ исходной САУ и при введении производной

получим систему, на выходе мгновенно воспроизводящую входной сигнал. Передаточная функция замкнутой системы:

p

Tд p 1

x

вых

p

T p 1

T p 1

T p 1

1 .

W3

o

д

д

xвх p

Tд p 1

To p Tд p

1

2 2(Tд p 1)

2

T p 1

o

В итоге система превращается в усилительное звено, мгновенно воспроизводящее во времени и по форме

входной сигнал.

Для системы с

W(p)

k

после коррекции получаем

W(p)

k(1 Tд p) .

3

а

2

а

3

2

а

р

р

р

0

1

2

а 0 р а1 р а 2 р

Характеристическое уравнение замкнутой САУ: а

0

р

3

а

1

р

2

(а

2

кТ

д

)р k 0

. Условие устойчивости

по Гурвицу

a

1

(a

2

кТ

д

) a

0

k .

Предельное значение " k" , при котором исходная система приходит к границе устойчивости:

k н

а1а 2 .

а 0

Для скорректированной САУ k

c

а1а 2

, т.е.

k с k н

. Это позволяет увеличить коэффициент усиления

(а 0 а1Тд )

разомкнутой системы и таким образом, снизить статическую погрешность САУ.

№ 33 Введение интеграла в закон регулирования

Пусть на рисунке 8.1 в качестве корректирующего звена используется интегрирующее с

передаточная функция разомкнутой скорректированной системы

W	(p) (1	1		)W(p)	.
с		Т		р
			и

W	(p)
к

1
Т	и	р

. Тогда

Введение корректирующего интегрирующего звена деформирует АФХ разомкнутой системы:
W		j W j	1	W j W j j	W j	.
c			j T		T
			и		и
К каждому вектору исходной АФХ W j добавляется вектор
	W j
j		, который направлен вод углом 90° по часовой стрелке по отношению к основному. Кроме того,
		T
		и

величина его тем больше, чем меньше . Как видно из рисунка 8.3, наличие интегрирующего звена в законе управления всегда деформирует АФХ исходной системы в сторону ее разбухания.

Рисунок 8.3 - АФХ исходной САУ при введении интеграла

При этом запас устойчивости САУ по модулю и фазе уменьшается.

Для выяснения влияния интегрирующей составляющей на статическую погрешность обратимся опять к

рисунку 8.1. Здесь статическая погрешность

и входным сигналом

p

p

1

W

x

p

1

W p

з

p

вх

t lim p p lim p

x

вх

.

Пусть

x

p

1 W p

вх

p 0

p 0

t

t

lim

1

1

.

W p

W 0

t

p 0 1

1

x		вх	х	вых	. Передаточная функция замкнутой САУ между
- для не скорректированной системы.
1	, тогда
p
					(8.2)

Для скорректированной системы
W	p	p				1
		x		p
з						1 W p
			вх

			T p	.
W p			и
		T p W p T p W p
		и	и
T p
и

Предположив, как и в первом случае						x	вх	p
			1	T p
t	lim p		p и		0.
		1 Tи p W p Tи p W p
t	p 0

1 p

, получим

(8.3)

Введение интегральной составляющей исключает статическую ошибку регулирования.

Введение звеньев в цепь прохождения основного сигнала называется последовательной коррекцией. Она проста, но чувствительна к помехам и требует дополнительных усилителей. Если корректирующее звено вводится в цепь обратной связи, то коррекция называется параллельной. Она уменьшает нестабильность и нелинейность характеристик отдельных элементов.

Питание цепей обратной связи осуществляется с выхода последующих элементов, имеющих большую мощность и не вызывает затруднений. Высокочастотная составляющая фильтруется звеньями прямой связи, поэтому параллельная коррекция нечувствительна к помехам. Однако она требует применения громоздких устройств (трансформаторы, тахогенераторы и т.д.).

- входное воздействие отсутствует;

- условие абсолютной инвариантности (равенство нулю передаточной Функции замкнутой САУ по

№ 34 Создание инвариантных САУ

В настоящее время существует три направления создания инвариантных САУ:

1.Системы с одной регулируемой величиной, работающие по отклонению. В таких системах условие абсолютной инвариантности достигается при коэффициенте усиления разомкнутой САУ равном бесконечности.

2.Создание комбинированных систем.

3.Использование принципа двухканальности Б.Н. Петрова в многосвязных системах.

САУ называется инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, регулируемая величина и ошибка системы не зависят от этого воздействия.

САУ называется инвариантной по отношению к задающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ее ошибка не зависит от этого воздействия.

При нулевых начальных условиях

x

p W p x

p

Q p

A p

,

вых

вх

P p

B p

где

W p - передаточная функция САУ,

W p

Q p

;

x

p

A p

.

P p

вх

B p

В соответствии с правилами определения оригинала функции при отсутствии кратных корней

			n
xвых t xсв t xвын t Ck
			k 1
где	P		- корни полинома P p
		k
P		- корни полинома B p 0.
i

	p		t		p	t
e				Eie			,
		k			i
				i 1
0	;

(8.4)

Вынужденная составляющая будет тождественно равна нулю, если:

A p 0 Q p 0

отношению к возмущающему воздействию).

Корни B p совпадают с корнями и Q p и сомножители, соответствующие им, можно сократить. Этот

случай соответствует частичной инвариантности, когда САУ будет инвариантна только к определенному виду возмущений.

Под частичной инвариантностью (до ) понимается не тождественное равенство нулю вынужденной составляющей, а приближенное, мерой выполнения которого является некоторая величина .