ALGEBRA

Если многочлен имеет степень единица, то он неприводим. Утверждение теоремы выполняется тривиальным образом. Это дает базу индукции.

Пусть теперь степень многочлена f равна s и для многочленов меньшей степени теорема доказана. Докажем ее для f.

Вначале докажем существование разложения в произведение неприводимых многочленов.

Действительно, если многочлен f сам неприводим, то указанное разложение состоит из одного множителя самогоf и утверждение доказа-

íî. Åñëè æå f приводим, то он разлагается в произведение многочленов

меньшей степени. К этим многочленам можно применить предположение индукции и получить разложение их на неприводимые множители. Такое разложение приводит к разложению на множители самого многочлена f. Это рассуждение доказывает существование разложенияf â

произведение неразложимых.

Остается доказать единственность разложения на неразложимые множители.

Основной момент доказательства заключен в следующей лемме.

Лемма о неразложимом делителе

Пусть p неразложимый многочлен и он делит произведение pj(f ¢ g). Тогда либо pjg, ëèáî pjf.

Действительно, если pjf, то доказывать нечего. Поэтому предположим, что p 6fj. В силу неприводимости p многочлены f è p взаимно просты (p; f) = 1. По теореме о диофантовом уравнении для многочленов найдутся такие полиномы u; v 2 P [X], для которых pu + fv = 1. Íî

тогда

g = gpu + fgv è g делится на p. Лемма доказана.

Пусть теперь f = p1:::pn = q1:::qm два разложения в произведе-

ние неприводимых. По лемме некоторый неприводимый многочлен из q1; :::; qm делится на pn. Изменим, если это необходимо, нумерацию и бу-

дем считать, что pnjqm. В силу неприводимости многочленов эти делители ассоциированные многочлены pn » qm; pn = a ¢ qm; deg(a) = 0; a 2 P .

Поделим равенство p1:::pn = q1:::qm íà pn и получим разложение част- ного в произведение меньшего числа неприводимых:p1:::pn¡1 = q1:::(qm¡1a). По предположению индукции n ¡ 1 = m ¡ 1; n = m и после подходящей

перенумерации сомножителей в этом произведении они попарно ассоциированы : p1 » q1; :::; pn¡1 » qn¡1. Теорема доказана.

21

4. Поле рациональных дробей

Пусть K поле. Рациональной дробью от переменной X с коэффициентами из поля P называют отношение двух многочленовf(X)=g(X); g 6= 0 со следующим отношение равенства. Два отношенияf=g; h=q считаются равными, если выполнено равенство "перекрестных произведений"f ¢

q = g ¢ h. Так что можно всегда представить рациональную дробь так,

чтобы ее знаменатель делился на любой наперед заданный многочлен. Само кольцо многочленов оказывается вложенным в рациональные дроби. Многочленам отвечают дроби с единичным знаменателем. Операции кольца многочленов легко продолжаются на рациональные дроби. Суммой рациональных дробей f=g; h=q полагаем дробь (fq + hg)=qg, à

произведением дробь fh=qg.

Теорема о поле рациональных дробей

Рациональные дроби с введенными выше операциями образуют поле. Это поле содержит кольцо многочленов P [X] и является наименьшим

полем, содержащим это кольцо.

Доказательство состоит в проверке всех аксиом поля из раздела (2),

(3). Эту несложную, но рутинную проверку предоставляем читателю. Минимальность поля следует из того, что любое поле, содержащее

кольцо многочленов, для любого ненулевого полиномаf =6 0 содержит и

обратную к нему дробь 1=f. Таким образом, такое поле будет содержать

поле рациональных дробей. Это доказывает теорему.

Поле рациональных дробей от переменной X с коэффициентами из поля P принято обозначать как P (X).

В данном разделе получим некоторое каноническое представление рациональных дробей. Оно будет использоваться в приложениях алгебры в математическом анализе при вычислении интегралов от дробнорациональных выражений.

Степенью рациональной дроби f=g называют целое число

deg(f=g) = deg(f) ¡ deg(g):

Дробь f=g называется правильной, если ее степень отрицательнаdeg(f=g) < 0, степень числителя меньше степени знаменателя такой дроби :deg(f) <

deg(g).

22

Теорема о правильной дроби

Каждая рациональная дробь из поля P (X) однозначно представима

в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Действительно, существование такого представления несложное следствие алгоритма деления с остатком. Если f=g 2 P (X), то поделим чис-

литель на знаменатель с остатком

f = gh + r; deg(r) < deg(g):

Тогда f=g = (gh + r)=g = h + r=g; deg(r) < deg(g).

Докажем однозначность. Если f=g = h1 + r1=g1 еще одно представ- ление, то из равенства

f=g = h + r=g = h1 + r1=g1

следует, что h ¡ h1 = (r1g ¡ rg1)=gg1. Из сравнения степеней следует, что это возможно только если

h = h1; r1=g1 = r=g:

Теорема доказана. n, в которой многочлен Примарной дробью называют дробь вида f=p

p неразложим. Если к тому же степень числителя меньше степени этого

неразложимого многочлена: deg(f) < deg(p), то примарная дробь называется простейшей.

Теорема о простейших дробях

Любая рациональная дробь может быть разложена в сумму много- члена и простейших дробей, причем единственным образом.

Вначале докажем вспомогательное утверждение.

Предложение о разложении в сумму примарных дробей

áåé.Любая рациональная дробь представляется суммой примарных дро-

Действительно, пусть f=g 2 P (X). Представим знаменатель в виде

произведения степеней неразложимых многочленов: g = pr11 :::prnn . Äîêà- жем предложение индукцией по числу сомножителей знаменателяn.

Если сомножитель всего один, то сама дробь примарна и доказывать нечего. Это дает нам базу индукции.

23

примарна, g = pn для неразложимого полинома

Предположим, что для дробей с числом сомножителей у знаменателя меньше n предложение доказано. Обозначим g1 = pr11 ; g2 = pr22 :::prnn взаимно простые многочлены. По теореме о диофантовом уравнении найдутся такие u; v 2 P [X], для которых g1u+g2v = 1. Тогда f = fg1u+fg2v

и это делает возможным представить дробь в виде суммы дробей, знаменатели которых имеют меньше сомножителей чемn

f=g = fg1u=g + fg2v=g = fu=(pr22 :::prnn ) + fv=(pr11 ):

Остается применить к этим слагаемым предположение индукции. Предложение доказано.

Обратимся к доказательству теоремы.

Докажем существование разложения в сумму простейших дробей. Применим предложение и сведем доказательство к случаю примарной дроби.

Если же дробь f=g

p степени m = deg(g), то используем теорему о делении с остатком и

представим числитель в виде суммы степеней неприводимого многочлена p с коэффициентами многочленами степени меньшеm

f = g0 + g1 ¢ p + ::: + gk ¢ pk:

Это приводит к разложению самой дроби в сумму простейших и, возможно, многочлена

f=g = g0=pn + g1=pn¡1 + ::: + gk=pn¡k:

Существование доказано.

Единственность разложения оставляем читателю в качестве упражнения. Теорема доказана.

5. Корни многочленов

Пусть K произвольное коммутативное кольцо, аK[X] кольцо многочленов от переменной X с коэффициентами из этого кольца.

Åñëè f = a0 ¢Xn + a1 ¢Xn¡1 + ::: + an; a0; :::; an 2 K некоторый полином этого кольца, то для любого c 2 K определено значение этого полинома при X = c: f(c) = a0 ¢ cn + a1 ¢ cn¡1 + :: + an. Такое значение некоторый элемент кольца K.

24

Корнем полинома f(X) в кольце K называют такой элемент кольца c 2 K, значение в котором полинома равно нулю: f(c) = 0.

Отметим, что если имеется некоторое расширение кольцаK äî áîëü-

шего кольца L, то вообще говоря у того же многочлена в большем кольце имеется больше корней.

Теорема Безу

Элемент кольца c 2 K служит корнем полинома f(X) тогда и только тогда, когда линейный многочлен X ¡ c делит полином f(X),

(X ¡ c)jf(X):

Действительно, поделим многочлен с остатком на линейный много-

÷ëåí: f(X) = (X ¡ c) ¢ h(X) + r(X). Ïðè ýòîì deg(r) < deg(X ¡ c) = 1,

значит, deg(r) = 0; r 2 K. Но полученное тождество многочленов при

X = c приводит к соотношению f(c) = r. Отсюда следует доказательство. Теорема доказана.

Схема Горнера	¢ Xn¡1 + ::: + bn неполное частное от деления
Пусть h(X) = b0

многочлена f(X) íà X ¡ c, f(X) = (X ¡ c) ¢ h(X) + r; r 2 K. Тогда коэф-

фициенты этого неполного частного можно вычислять по следующей рекуррентной схеме:

b0 = a0; :::; bk = bk¡1 ¢ c + ak; :::; bn¡1 = bn¡2 ¢ c + an¡1:

При этом в заключение возможно вычисление

r = f(c) = bn¡1 ¢ c + an:

Для доказательства достаточно подставить многочлен h(X) â âûðà-

жение f(X) = (X ¡ c) ¢ h(X) + r.

Пусть k 2 N. Элемент c 2 K называется k-кратным корнем полинома f(X), åñëè f(X) делится на (X ¡ c)k, но не делится на (X ¡ c)k+1. Иными словами, если имеется разложение в произведение многочленов

f(X) = (X ¡ c)k ¢ g(X); g(c) =6 0:

Говорят о простом корне (при k = 1), о двойном корне (при k = 2), î

тройном корне (при k = 3). Аналогично определяется понятие кратного неприводимого множителя полинома.

25

Теорема о числе корней многочлена

Пусть P некоторое поле, f(X) 2 P [X] многочлен с коэффици-

ентами из этого поля, а c1; :::; cr его корни с кратностями k1; :::; kr соответственно. Тогда в кольце многочленов имеется разложение

f(X) = (X ¡ c1)k1 :::(X ¡ cr)kr ¢ g(X);

âкотором g(ci) 6= 0; i = 1; 2; :::; r.

Âчастности, число корней многочлена с учетом их кратности не превосходит степени многочлена: k1 + ::: + kr · deg(f).

Доказательство. Заключительное утверждение теоремы следует из первого утверждения. Достаточно сравнить степени сомножителей. Поэтому обратимся к получению разложения многочлена.

По определению кратности корня многочлен f(X) делится на мно-

гочлены (X ¡ c1)k1 ; :::; (X ¡ cr)kr . Но это степени попарно различных

неприводимых многочленов. В силу однозначности разложения на множители в кольце K[X] заключаем, что f(X) делится на их произведение.

Это завершает доказательство теоремы.

Теорема об однозначности интерполяции

Пусть f; g 2 P [X] два многочлена степени не выше n. Тогда если эти многочлены принимают одинаковые значения при подстановкеn+1

различных элементов поля P , то эти многочлены равные: f = g.

Действительно, это следствие теоремы о числе корней многочлена. Если обозначить h = f ¡ g, то степень этого многочлена тоже не выше

n и он обращается в нуль при n + 1 различном значении из поля P . Заключаем 0 = h = f ¡ g; f = g, теорема доказана.

Теорема о решении задачи интерполяции

Пусть n 2 N и задана n+1 пара элементов поля P : (a0; b0); :::; (an; bn). Тогда найдется и единственный полином f(X) степени n для которого

ïðè i = 0; 1; :::; n имеем равенство: f(ai) = bi.

Действительно, единственность такого полинома вытекает из предыдущей теоремы. Существование такого полинома следует изинтерполяционной формулы Лейбница :

n	(X ¡ a0):::(X ¡ ai¡1)(X ¡ ai+1):::(X ¡ an)
f(X) = bi											:
Xi	(ai	¡	a1):::(ai	¡	ai	1)(ai	¡	ai+1):::(ai	¡	an)
					¡
=0

26

Другой способ определить кратные корни и отделить их предоставляет следующее понятие.

(Формальной) производной многочлена f = a0 ¢Xn +a1 ¢Xn¡1 +:::+an

называется полином

f0 = n ¢ a0 ¢ Xn¡1 + (n ¡ 1) ¢ a1 ¢ Xn¡2 + ::: + an¡1:

Непосредственно проверяются свойства формальной производной

(f + g)0 = f0 + g0; (fg)0 = f0g + fg0:

Теорема о кратных множителях многочлена и о его производной

Пусть p(X) åñòü k-кратный неприводимый множитель многочлена f 2 P [X]. Тогда p(X) будет k ¡ 1-кратным множителем производной f0. В частности, при k = 1 производная f0 не делится на p(X).

Имеем f = pk ¢ g; (p; g) = 1. По свойствам производной имеем равенство: f0 = pk¡1(kp0g + pg0). Но выражение в скобках не делится на p. Отсюда следует заключение.

Теорема об отделении корней полинома

Рассмотрим произвольный многочлен степени выше нуля

f 2 P [X]; deg(f) > 0:

Пусть (f; f0) наибольший общий делитель многочлена и его производной. Тогда в частном f=(f; f0) 2 P [X] присутствуют все неприводимые множители полинома f, но все они в этом частном простые мно-

жители кратности 1.

Эта теорема прямое следствие теоремы о кратных множителях многочлена и его производной. Обратим внимание, что частное находится из алгоритма Евклида и никак не использует само разложение на неприводимые множители!

Итогом этого раздела служит

Теорема о поле разложения

27

Пусть f(X) многочлен с коэффициентами из поля P ненулевой

степени. Тогда найдется такое расширение поляP äî ïîëÿ L, в котором этот многочлен разлагается на линейные множители:

f(X) = (X ¡ c1)k1 :::(X ¡ cr)kr ; c1; :::; cr 2 L:

Такое поле называется полем разложения f.

Доказательство проведем индукцией по степени полиномаf.

База индукции. Если многочлен первой степени, то доказывать нече- го, это линейный многочлен. Поэтому предположим, что для много- членов степени меньше, чем у f, теорема доказана. Докажем ее для f.

Заметим, что f можно предполагать неразложимым унитарным многочленом над полем P . Действительно, если бы он разлагался на множители f = g ¢ h ненулевой степени, то для сомножителя g меньшей степени, чем у f по предположению инжукции имеется поле разложение

расширение поля P äî ïîëÿ L1. Остается расширить поле L1 äî ïîëÿ разложения полинома h меньшей степени, чем у f. Опять возможно ис-

пользовать индукцию. Далее предполагаем f неприводимым над полем

P .

Построим кольцо классов вычетов многочленов из P [X] по модулю многочлена f.

Многочлены g; h называются сравнимыми по модулю f, если они имеют одинаковые остатки при делении на f. Записывать это отношение между многочленами будем g ´ h(mod f) или просто g ´ h(f).

Легко проверить, что сравнимость многочленов g è h эквивалентна представлению g = h + ft; t 2 P [X] или же делимости разности g ¡ h íà f. Пользуясь этим замечанием, нетрудно установить свойства сравнений,

аналогичные свойствам (1)-(4) сравнений целых чисел.

Классом многочленов по модулю f называют максимальное множе-

ство многочленов попарно сравнимых друг с другом. Каждый класс многочленов образуется всеми многочленами, имеющими один и тот же остаток от деления на f. Так что кольцо многочленов разбивается на

непересекающиеся классы сравнимых многочленов.

Совокупность классов многочленов по модулюf обозначают P [X]=(f).

Определим сложение и умножение классов по представителям. Если g; h два класса с представителями многочленами g; h, то их суммой

будет òот класс многочленов, который содержит сумму представителей g + h: g + h = g + h. А произведением двух классов считаем тот класс,

28

который содержит произведение представителей: g ¢ h = g ¢ h.

Теорема о поле классов многочленов

Совокупность классов многочленов по модулю неприводимого многочлена f P [X]=(f) образует поле относительно введенных выше

операций.

Это поле содержит поле P в качестве собственного подполя.

Вначале проверим, что классы образуют коммутативное кольцо, при этом неприводимость многочлена не нужна.

Как и в случае целых чисел это утверждение легко следует из свойств классов многочленов. Из свойств (2) и (3) следует корректность определения операций, а аксиомы кольца следуют из того, что представители классов складываются и перемножаются как многочлены. Так что это следует из того, что сами многочлены образуют кольцо.

Заметим, что нулевым классом служит класс нулевого многочлена 0 = 0, а единичным элементом классов класс, содержащий единицу

кольца многочленов 1 = 1.

Покажем, что классы образуют поле. Для этого остается проверить только аксиому обратного. Она легко следует из теоремы о диофантовом уравнении для многочленов.

Действительно, пусть многочлен g 2 P [X] представитель ненулевого класса. Это означает, что этот многочлен не делится на многочленf. В силу неприводимости f отсюда следует взаимная простота этих много- членов, (f; g) = 1. Тогда по указанной теореме найдутся такие полиномы u; v 2 P [X], для которых fu + gv = 1. Но тогда для классов этих многочленов имеем равенство: fu + gv = gv = 1: Таким образом, класс v обратный для класса g.

Наконец само поле P содержится в поле P [X]=(f), его элементы от-

вечают классам многочленов нулевой степени. Теорема о поле классов доказана.

Закончим доказательство теоремы о поле разложения. Рассмотрим поле классов L1 = P [X]=(f) некоторое расширение поля P . Покажем,

что многочлен f в этом поле имеет корень.

Действительно, рассмотрим класс X. По построению классов имеем f(X) = 0, так что этот класс действительно представляет корень полино-

ìà f. Заключаем, что над полем L1 многочлен становится разложимым и доказательство теоремы следует из предположения индукции.

29

Теорема о поле разложения доказана.

Теорема о формулах Виета

Пусть P ïîëå, à

f(X) = Xn + a1Xn¡1 + ::: + akXn¡k + ::: + an

приведенный многочлен. Пусть L поле разложения этого многочлена,

à c1; :::; cn все корни многочлена в поле разложения L. Тогда коэффициенты многочлена выражаются через эти корни по формулам Виета

a1 = ¡(c1 + ::: + cn);

:::::::::::::::::::;

ak = (¡1)k	ci1 ci2 :::cik ;
<:::<i	k
i1<iX2

:::::::::::::::::::;

an = (¡1)nc1c2:::cn:

Для доказательства достаточно раскрыть скобки в представлении многочлена в виде произведения

f(X) = (X ¡ c1)(X ¡ c2):::(X ¡ cn):

6. Симметрические многочлены

Многочлен от переменныхX1; X2; :::; Xn называется симметрическим,

если он переходит в тождественно равный ему многочлен при любой перестановке переменных.

Примером симметрического многочлена служит любой элементарный симметрический многочлен порядка k

sk =	ci1 ci2 :::cik ; k = 1; 2; :::; n:
<:::<i	k
i1<iX2

Кроме того, если в произвольный многочлен

g(Y1; :::; Yn) 2 K[Y1; :::; Yn] вместо переменных подставить элементарные

симметрические многочлены

Y1 = s1; :::; Yn = sn, то получится симметрический многочлен. Ниже мы

30