ALGEBRA

Заключаем, что

\

z 2 fRe(u(z ¡ cu)) ¸ 0g; z 2 Confz1; :::; zsg:

u2Cn0

Доказательство окончено.

Таким образом выпуклая оболочка множества корней производной содержится в выпуклой оболочке самого многочлена, она меньше.

3. Поле вещественных чисел

Вначале выведем следствия из основной теоремы алгебры.

Предложение о корнях многочлена с вещественными коэффициентами

Пусть f(X) 2 R[X] многочлен с вещественными коэффициентами. Тогда вместе с каждым комплексным корнем такого многочленаz

корнем служит и сопряженное комплексное число z.

Это следует из сâîéñтв сопряжения. Действительно,

f(z) = f(z) = f(z) = 0; f(z) = 0:

Это доказывает требуемое.

Теорема о неприводимых многочленах над полем вещественных чисел

Пусть f(X) 2 R[X] неразложимый над полем вещественных чисел

многочлен. Тогда если этот многочлен имеет вещественный корень, то это многочлен первой степени. Если же у него нет вещественных корней, то это квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом.

Действительно, если многочлен f(X) имеет вещественный корень a, то по теореме Безу он делится на многочлен первой степени X ¡ a, â

результате должен получаться обратимый элемент кольца многочленов, вещественное число. Так что в этом случае многочлен имеет первую степень.

Пусть теперь у многочлена нет вещественных корней. Пустьz 2 CnR

его комплексíый корень, тогда по предложению сопряженное комплексное число z тоже корень многочлена. По теореме Безу многочлен

41

f(X)

делится на (X ¡z) è íà (X ¡z), на взаимно простые многочлены. Значит он делится и на их произведение: (X ¡ z)(X ¡ z) = X2 ¡ (z + z) ¢ X + z ¢ z

на квадратный трехчлен с комплексными корнями.

Из свойств сопряжения комплексных чисел легко проверить, что коэффициенты этого многочлена вещественные, они не меняются при действии сопряжения. А дискриминант многочлена отрицателен, так как его корни комплексные.

Наконец результат деления обратимый элемент кольца многочленов в силу непроводимости. Поэтому сам многочлен в этом случае квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом. Доказательство окон- чено.

Теорема о вещественных дробях

Любая рациональная дробь с вещественными коэффициентами представляется в виде суммы многочлена и суммы простейших дробей вида

a=(X ¡ b)r; a; b 2 R; r 2 N

è âèäà	(aX + b)=(X2 + pX + q)s; a; b; p; q 2 R; p2 ¡ 4q < 0:

Это немедленно следует из теоремы о рациональных дробях и теоремы о неприводимых многочленах над полем вещественных чисел.

В заключение этого раздела и всей части приведем метод Штурма определения числа вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами.

Пусть f(X) многочлен с вещественными коэффициентами. Исполь-

зуем теорему об отделении корней полинома и будем считать, что дан полином без кратных корней. Вспомогательным инструментом для определения числа корней такого полинома в любом числовом промежутке слежит следующее понятие.

Системой Штурма полинома называют последовательность

полиномов

f(X) = f0(X); f1(X); :::; fs(X)

ñтакими свойствами:

1)соседние многочлены системы не имеют общих корней;

2)последний многочлен системы fs(X) не имеет вещественных корней;

42

3)åñëè a 2 R корень промежуточного многочлена fk(X), то соседние многочлены при X = a имеют разные знаки;

4)åñëè a 2 R действительный корень f(X), то произведение f(X) ¢

f1(X) меняет знак с минуса на плюс, когда x, возрастая, проходит через a.

Предложение о системе Штурма

Любой многочлен f(X) с вещественными коэффициентами, не име-

ющий кратных корней, обладает системой Штурма.

Построим по такому многочлену f(X) систему Штурма.

Вначале полагаем f1 = f0 производная полинома. Проверим, что

при таком выборе выполняется условие (4).

Действительно, пустьa 2 R действительный корень полиномаf(X).

Полином без кратных корней, при переходе через этот корень он либо возрастает, тогда его производная положительна, либо убывает, тогда его0 производная отрицательна. В любом случае знак произведения f(X)¢f (X) меняется с минуса на плюс. Так что условие (4) выполняется.

Следующие члены системы Штурма построим по такому рекуррентному правилу. Если члены fi¡1; fi уже построены, то делим fi¡1 íà fi ñ

остатком и полагаем fi+1 равным остатку взятому с противоположным знаком

(¤) fi¡1 = fi ¢ h ¡ fi+1; deg(fi+1) < deg(fi):

Такой алгоритм отличается от алгоритма Евклида определения НОД у многочлена и его производной только переменами знака у остатков. Так как такая перемена знака приводит к ассоциированному0 многочлену, то такой алгоритм тоже определяет (f; f ). Но ввиду предположения

об отсутствии у мноочлена кратных корней этот НОД равен единице. В результате наша система завершается некоторым постоянным полиномом fs 2 R. Заключаем, что выполняется и условие (2).

Проверим (1). Для f0 = f; f1 = f0 это условие следует из отсутствия кратных корней полинома f. Если же для некоторого a 2 R имеем

fi+1(a) = 0 = fi(a), то из соотношения (¤) сразу следует, что

fi¡1(a) = 0. Продолжаем применять соотношение и заключаем, что f0 = f; f1 = f0. А это невозможно.

Наконец (3) тоже сразу выводится из соотношения (¤). Доказательство окончено.

43

Для применения системы Штурма

f(X) = f0(X); f1(X); :::; fs(X)

определим число перемен знака W (a) ïðè X = a; a 2 R как число смены

знака в числовой последовательности f(a) = f0(a); f1(a); :::; fs(a) значе- ний многочленов системы Штурма при X = a. При этом нулевые значе- ния в последовательности предварительно вычеркиваем.

Теорема Штурма

Пусть f(X) многочлен с вещественными коэффициентами не име-

ющий кратных корней, а f(X) = f0(X); f1(X); :::; fs(X) его последо-

вательность Штурма. Предположим, что даны вещественные числа a < b, которые не являются корнями f(X); f(a) =6 0 =6 f(b). Тогда

W (a) ¸ W (b) и разность W (a) ¡ W (b) равна числу вещественных корней многочлена на открытом числовом промежутке (a; b).

Для доказательства достаточно определить как изменяетсяW (x) ïðè

возрастании x îò a ê b. Многочлены системы Штурма определяют всюду

непрерывные функции вещественного аргумента. По теореме о промежуточном значении перемена знака такой функции возможна только при переходе через нулевое значение, через корень многочлена. Поэтому достаточно рассмотреть изменение при переходе через корень некоторого промежуточного многочлена, а также при переходе через корень самого многочлена f(X). Покажем, что в первом случае число перемен знака

W (x) не меняется, а во втором уменьшается на единицу.

Дейcтвительно, пусть a 2 R, è fk(a) = 0. Тогда по условию (1) много-

члены fk¡1(a); fk+1(a) принимают ненулевые значения разных знаков по

условию [3]. Поскольку эти многочлены определяют непрерывные функции вещественного аргумента, то для достаточно малого положительного ² > 0 знаки fk¡1; fk+1 на промежутке (a ¡ ²; a + ²) не меняются, а fk íà

этом промежутке меняет свой знак. Тогда каждая из систем чисел:

ffk¡1(a ¡ ²); fk(a ¡ ²); fk+1(a ¡ ²)g;

ffk¡1(a + ²); fk(a + ²); fk+1(a + ²)g

имеет ровно одну перемену знака независимо от знаков выражений. Так что при переходе через такой корень перемены знака в системе Штурма только перемещаются, но общее их число меняться не может.

44

Во втором случае, при переходе через корень самого многочлена. Пусть f(a) = 0. По условию (1) f1(a) 6= 0. Найдется такое ², äëÿ êî-

торого f1 сохраняет постоянный знак на промежутке a ¡ ²; a + ².

Åñëè çíàê f1 положителен, то по условию (4) функция на этом промежутке возрастает и меняет знак с минуса¡ íà ïëþñ +. Теряется одна

перемена знака. Если же знак f1 отрицателен, то функция убывает и меняет знак с плюса + на минус ¡, опять теряется одна перемена знака.

Заключаем, что только при переходе через корень многочленаf ÷èñ-

ло перемен знака в последовательности Штурма меняется, оно уменьшается на единицу. Это доказывает теорему.

Замечание 1. Пусть f(X) = f0(X); f1(X); :::; fs(X) система Штурма полинома f(X), à a0; a1; :::; as положительные константы. Тогда си-

стема

a0 ¢ f0(X); a1 ¢ f1(X); :::; as ¢ fs(X)

тоже образует систему Штурма этого полинома. Это замечание часто упрощает вычисления.

Замечание 2. Условие отсутствия кратных корней у полиномаf(X)

не существенно при подсчете числа вещественных корней. Следует перейти от системы полиномов fn(X) к системе fn(X)=fs(X).

Замечание 3. Общее число вещественных корней полинома можно определить, если вычислить число перемен знака в системе Штурма для некоторых достаточно больших по модулю чисел N < 0; M > 0. Напри-

мер, достаточно определить предел W (x) ïðè x ! +1 è ïðè x ! ¡1.

45

Список литературы

1.Пинус А.Г., Чехонадских А.В. Основные понятия общей алгебры.Новосибирск: НГТУ, 1996.

2.Чехонадских А.В. Системы линейных уравнений и метод Гаусса. Новосибирск: НГТУ, 1996.

3.Пинус А.Г. Векторная алгебра и линейная геометрия объекта. Новосибирск: НГТУ, 1997.

4.Ивлева А.М., Пинус А.Г., Чехонадских А.В. Основы алгебры и аналитической геометрии. Новосибирск: НГТУ, 1998.

5.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.

6.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1994.

7.Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М., 1979.

8.Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М., 1941.

9.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М., 1966.

46