3871

Запоминать полученные результаты нет нужды, но следует хорошо продумать и освоить примененные способы преобразований и научиться применять их при самостоятельном решении примеров.

16.

Сделаем замену в интеграле

ln x

dx.

x

Обозначим ln x = z, тогда x

ez , dx (ez )dz

ez dz, следовательно,

ln x

dx

z

ez dz

zdz

z2

c

ln x 2

c.

ez

x

2

2

17.

Вычислим интеграл

arcsin x

dx.

1

x2

Заменим arcsin x = z, тогда x = sin z, dx = cos zdz. Интеграл можно переписать в виде

z

z

z2

arcsin2 x

cos zdz

cos zdz

zdz

c

c.

2

2

1

sin2 z

cos2 z

Полезной замена переменных оказывается и при вычислении инте-

гралов,

содержащих

квадратный трехчлен

ax2 bx

c , в котором

предварительно выделяется полный квадрат. Вычислим для примера два интеграла.

18. Вычислим интеграл

dx

dx

1

dx

.

4x2

8x x

4(x2

2x 1) 1

4

(x 1)2 1

Сделаем замену x + 1 = t, тогда x

t 1,

dx

(t

1) dt dt. Инте-

грал будет равен

1

dt

1

arctg(t)

c

1

arctg(x

1)

c.

4

t2

1

4

4

19. Найти

dx

dx

12x 3x2

4

3(x2

4x) 4

dx

dx

.

3(x2

4x

4

4) 4

3(x

2)2

16

21

20. Найти интеграл 31 3xdx .

Пользуясь результатом примера 2 из предыдущего раздела, получаем

																	1															1											1		4					1
	3 1					3xdx															(1					3x)3 d (1											3x)																(1 3x)
																	3																								3				3
																						1
																									(1 3x) 3 1 3x C.
																					4
																					dx
21.	Найти интеграл																										.
																			2 3x2
Аналогично предыдущему
																								3
																					d								x												1				3							x
					dx							1														2											1
																																															2
																																								ln													C
	2					3x2																									2
												6																									2 6										3
																	1							3					x												1									x
																																													2
																								2
																										x
						1									ln						2										3						C,				x				2					.
																										x																			3
						2						6									2										3
22. Найти интеграл																						dx									.
																					2				3x2
При		x				2 3 имеем

4

3 C

									d			3			x
		dx										2
					1															1			arcsin		3	x C.
																									2
		2 3x2			3												2	3
					1								3				x
												2
							x3dx
23. Найти интеграл										.
							x3 2

22

Так как

x3dx

1 (x a) (x a)

dx

1

x3

2 2a (x a)(x a)

2a

1

d (x

a)

d (x

a)

1

(ln x

2a

x

a

x

a

2a

1

ln

x

a

C.

2a

x

a

24. Найти интеграл

dx

.

x

x2

1

Поскольку

1				1		dx
x	a		x	a
a	ln		x	a		C

d

1

dx

sgn xdx

x

x

1 ,

x x

2

1

x2

1

2

1

1

x

2

1

x

d

1

то

dx

x

arcsin

1

C .

x

x

x2 1

1

2

1

x

dx

25. Найти интеграл

.

ex

e x

Имеем

dx

ex dx

d (ex )

arctgex

C .

ex

e x

e2 x 1

e2 x

1

26. Найти интеграл

dx

.

xlnxln(lnx)

23

Принимая во внимание, что

dx

dln(lnx) , при х >1 имеем

xlnx

dx

dln(lnx)

ln(lnx)

C .

xlnxln(lnx)

ln(lnx)

27. Найти интеграл

dx

.

sin x

Имеем

dtg

x

dx

dx

dx

x

2

dln

tg

,

sin x

2sin

x

cos

x

2tg

x

cos

2 x

tg

x

2

2

2

2

2

2

получаем

dx

x

x

2

d ln

tg

ln

tg

C

(x

k , k

0,

1,

sin x

2

2

28. Найти интеграл

2x3x

dx .

9x

4x

После деления числителя и знаменателя на 4х имеем

3

x

3

x

3

x

dx

d

1

2x3x

1

2

1

dx

2

ln

2

9

x

4

x

3

2 x

3

x

2

3

3

x

ln

3

2ln

1

1

1

2

2

2

2

2

1

ln

3x

2x

C, (x

0).

2 (ln3

ln2)

3x

2x

29. Найти интеграл

x2

dx .

100

(1

x)

Разлагая х2 по степеням 1 – х, имеем х2

(1 – х)2 – 2(1 – х) + 1. По-

этому

24

			x2											(1					x)2				2(1											x)		1												dx												dx
							dx																														dx																			2
(1			100																		(1						100																	(1						100											100
					x)																			x)																									x)											(1 x)
					dx													1																		1														1									C (x		1).
			(1			x)100								97 (1							x)97											49 (1					x)98							99 (1								x)99
30. Найти интеграл																					x			2					5xdx .
Так как х							–		1					2				5x						2				, то
								5															5
																							1																	3													1
							x	2								5xdx																(2				5x)2								2(2					5x)2							dx
																							5
														1															3													1
																		(2					5x)2									2(2						5x)2								d (2					5x)
								25
2								5						4													3											8 30x																								2
																																																(2 5x)3																.
				(2 5x)2														(2 5x)2																C																										C x
125														75																							375																								5
31. Найти интеграл																							xdx											.
																					3 1						3x
Используя тождество х																									–				1			1				3x					1			, получим
																											3														3
														xdx									1														2													1
																																(1 3x)3									(1 3x) 3 dx
										3 1 3x													3
														1															2												1
																			(1 3x)3															(1 3x) 3 d (1 3x)
														9

	1 1 3x		3		1		1 3x		3		C		1 2x 1 3x
			5						2
15					6							10
32. Найти интеграл									xdx				.
								x4	3x2			2

21

3C x 3 .

25

	Поскольку xdx														1			d(x2 )							и
															2
			1																	1																	(x2								2) (x2								1)						1								1		,
		x4	3x2					2						(x2					1)(x2						2)														(x2								1)(x2						2)						x2		1					x2	2
то
								xdx													1 d (x2 )																1							d (x2 )									1	ln			x2				1			C .
						x4			3x2						2 2 x2																		1 2 x2																2				2				x2				2
	33. Найти интеграл																				sin4 xdx .
	Интегрируя тождество
						sin			4 x						1					cos 2x											2						1						1				cos 2x							1	cos2 2x
																				2																		4					2											4
							1				1			cos 2x								1					1			cos 4x															3					1		sin 2x						1		cos 4x,
							4				2											8					8																		8					2								8
получаем
														sin	4 xdx										3x									1		sin 2x													1		sin 4x						C .
																									8						4																		32
	34. Найти интеграл																						dx										.
																				1						ex
														x
	Полагая t							1 e2 , получаем
		dx												dt
					2																	2 ln							t									t2						1			C x 2 ln 1																	ex			1 C .
1			ex								t2				1
	35. Найти интеграл																				arctg										x						dx					.
																										x					1									x
	Положив t										arctg								x , имеем

26

	arctg			x dx
							2 tdt t2	C arctg2 2 C (x 0) .
					1 x
		x

dx

36. Найти интеграл

.

3

(1 x2 )2

Если положить x

sin t, то dx

cos tdt и при

х < 1

dx

dt

tgt C

tg(arcsin x)

C

x

3

2

cos

t

1 x

2

(1 x2 )2

e2 x dx

37. Найти интеграл

.

1 ex

В соответствии с изложенной выше теорией положим ex

Тогда

e2 x dx

dx

udu

u

ln 1 u C ex ln 1 ex

1 ex

1 u

38. Найти интеграл

dx

.

x

x

x

1

e2

e3

e6

x

Положим e 6 u . Тогда

dx

6

du

x

x

x

u 1

u u2

u3

1 e2

e3

e6

du

A

B du

Cu 0

6

du

du.

u 1 u 1 u2

u

1 u

1 u2

C .

и.

C.

После освоения этой темы можно позволить студентам использовать следующие формулы.

27

Формулы интегрирования

1.

dx

1

arctg

x

C (a

0) .

a2

x2

a

a

2.

dx

1

ln

a

x

C (a 0) .

a2

x2

2a

a x

3.

xdx

1

x2

C .

ln

a2

a2

x2

2

4.

dx

arcsin

x

C (a

0) .

a

a2

x2

dx

5.

ln

x

x2

a2

C (a 0) .

x2

a2

x

a2

arcsin

x

6.

a2

x2 dx

a2

x2

C (a

0) .

2

2

a

x

a

2

7.

x

2

a

2

dx

x

2

a

2

ln

x

x

2

a

2

C (a 0) .

2

2

xdx

8.

a2

x2

C (a

0) .

a2

x2

Т Е М А 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Цель занятия – на примерах ознакомиться с техникой интегрирования по частям.

Вычислим дифференциал от произведения двух функций – u(x) и v(x). Используя определение дифференциала, получим

d(u(x)u(x)) (u(x)u(x)) dx (u (x)v(x) u(x)v (x))dx v(x)u (x)dx u(x)v (x)dx v(x)du(x) u(x)dv(x).

Кратко это выражение можно переписать в виде d (uv) vdu udv.

28

Так как d (uv) uv c, то, полагая с = 0, это можно переписать в виде равенства

udv uv vdu,

которое принято называть формулой интегрирования по частям.

	Примеры и решения
1. Найти интеграл	xex dx.
Примем ex dx за d ,	x – за u, т. е. положим
ex dx d ,		, откуда	ex dx ex ,
x u,
			du dx.
Получаем по формуле (*):
xex dx xex	ex dx xex ex		C ex (x 1) C.

Мы видим, как незнакомый интеграл был приведен к хорошо известным.

2. Найти интеграл			xsin xdx.
Положим u	x,	тогда		sin xdx необходимо						обозначить через dv.
Вычислим du	u dx	1dx и v				dv	sin xdx			cos c. Подставив все
это в формулу интегрирования по частям, получим
	x sin xdx			x(	cos x		c)	( cos x		c)dx
		x(	cos x)			xc	cos xdx		cdx
		x cos			xc	cos x c1		(cx		c2 )
		x cos		xc		cos x	cx	(c1	c2 )
					x cos		cos x	c0 ,

где c0 c1 c2 .

Заметим, что появившаяся при вычислении v постоянная С уничтожилась. Такое происходит во всех случаях применения этой форму-

29

лы, поэтому рекомендуем при вычислении v полагать произвольную постоянную равной нулю.

3. Найти интеграл

ln xdx.

Положим u

ln x, тогда

dv

dx, du

(lnx)dx

1

dx,v

dx

dx

x.

x

Из формулы интегрирования по частям следует

ln xdx

ln x

x

x

1

dx

x ln x

x

c.

x

4. Найти интеграл

arctg

xdx .

Интегрируя по частям, получаем

x

arctg

xdx

xarctg

x

2

x (1

x)

xarctg

x

1

1

dx

2

x

2

x(1

x)

d (

x)

xarctg x

x

xarctg

x

x arctg

x

C (x 0).

1

x

5. Найти интеграл

x sin

xdx .

3 d

Учитывая, что xdx

2

x

x

и,

интегрируя по частям, полу-

чаем

x sin

xdx

2

(

x)3 sin xd(

x)

2 (

x)3 d(cos x)

2 x3 cos

x3 cos

x

6

x cos

x d ( x )

2

x 6

xd (sin x )

2 x3 cos

x

6x sin x

12

x sin

x d (

x )

30