3871
.pdf
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2 |
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x3 cos x 6x sin x |
12 |
x d(cos x ) |
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2 x3 cos x |
6x sin |
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x |
12 |
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x cos |
x |
12sin |
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x C |
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2 |
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x (6 |
x) cos |
x |
6 (x |
|
2) sin |
x |
C (x |
0). |
Иногда для получения результата нужно последовательно несколько раз применить интегрирование по частям.
6. Найти интеграл x2 cos x dx. Положим
cos x dx |
d , |
sin x, |
x2 |
u, |
du 2x dx. |
Формула интегрирования по частям дает
x2 cos x dx x2 sin x 2 xsin x dx.
Последний интеграл снова берется по частям. Окончательно получаем
x2 cos x dx x2 sin x 2x cos x 2sin x C.
Многократным интегрированием по частям можно найти интегралы
xm sin x dx, |
xm cos x dx, |
xmex dx |
( m – целое положительное число) и, значит, интегралы
P(x)sin x dx, |
P(x)cos x dx, |
P(x)ex dx, |
где P(x) – любой многочлен.
Повторное интегрирование по частям иногда приводит к первоначальному интегралу, и тогда получается или ничего не дающее тождество (интегрирование было произведено нерационально), или же такое равенство, что из него удается найти выражение для искомого интеграла. Рассмотрим пример.
7. Найти интеграл ex cos x dx.
31
Положим |
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ex dx |
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ex , |
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d , |
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cos x |
u, |
du |
sin x dx. |
Отсюда |
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ex cos x dx |
ex cos x |
e x sin x dx. |
Снова применим интегрирование по частям, положив1:
ex dx |
d |
, |
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ex |
sin x |
u, |
|
du |
cos x dx. |
Тогда получим |
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ex sin x dx |
ex sin x |
ex cos x dx, |
и мы пришли к исходному интегралу. Подставив найденное выражение в результат первой операции, получим
ex cos x dx |
ex (cos x |
sin x) |
C , |
||||||
и, значит, |
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e |
x |
cos x dx |
`1 |
e |
x |
(cos x |
sin x) |
C. |
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2 |
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Никаких общих рецептов, когда и как следует применять метод интегрирования по частям, дать невозможно.
ТЕ М А 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ИГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ
Цель занятия – на примерах ознакомиться с техникой тригонометрических и гиперболических подстановок при взятии неопределенных интегралов.
1 Если |
здесь принять sin xdx за du , то придем к тождеству |
ex cos x dx |
ex cos x dx. |
32
Под тригонометрическими подстановками понимаем подстановки вида x = asint, x = atgt, x = a sin 2 t и т. п. Под гиперболическими подстанов-
ками понимаем подстановки вида x = asht, x = ac t, x = ash2t |
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и т. п. |
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Примеры и решения |
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1. Найти интеграл |
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dx |
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. |
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3 |
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1 |
x |
2 |
2 |
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||
Если положить x |
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sin t, то dx |
cos tdt |
и при |
х |
< 1 |
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dx |
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dt |
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tgt |
C |
tg(arcsin x) |
C |
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x |
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C . |
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3 |
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cos |
2 |
t |
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1 |
x2 |
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1 |
x |
2 2 |
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2. Найти интеграл |
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a2 |
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x2 |
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dx. |
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Полагая x |
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sin t, |
получаем |
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cos2 tdt = |
a2 |
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||||||||||||||||||
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a2 |
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x |
2 dx a2 |
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(1 |
cos 2t)dt = |
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2 |
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||||||
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a2 |
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1 |
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a2 |
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x |
|
x2 |
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|
t |
|
sin 2t |
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C |
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arcsin |
|
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a2 |
x2 |
|
|
C |
|
x |
|
a . |
|||||||||||||||||||||||
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2 |
2 |
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2 |
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a |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3. Найти интеграл |
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dx |
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. |
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(x |
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a)(x b) |
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Положив x |
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a |
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(b |
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a)sin2 t, |
после простых преобразований по- |
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лучаем |
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|||
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dx |
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2 dt |
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2t |
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C arcsin |
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x |
a |
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C |
a |
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x b . |
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b |
a |
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(x |
a)(x b) |
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33
ТЕ М А 5. НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
СРАДИКАЛАМИ ВИДА ax2 bx c
Цель занятия – на примерах ознакомиться с техникой взятия неопределенных интегралов с радикалами.
Выделением полного квадрата в подкоренном выражении интеграл сводится к одному из известных интегралов
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1 |
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x2 dx, |
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x2 |
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1 dx. |
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Помогает взятию подобных интегралов следующая |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. Доказать, что если y = ax2 |
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bx |
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c |
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a |
0 , то |
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dx |
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1 |
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y |
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C при a |
0 |
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ln |
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ay |
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2 |
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y |
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a |
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||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||
и |
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||
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dx |
1 |
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|
arcsin |
|
|
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|
y |
|
|
C при a |
0 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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a |
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b2 |
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4ac |
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||||||||||||||||||||
Доказательство. При a |
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0 имеем |
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d |
ax |
b |
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|||||
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dx |
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adx |
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1 |
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2 |
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|
= |
||||||||||||||
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|
y |
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a2 x2 bax |
|
|
ac |
|
a |
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|
ax |
|
b |
|
2 |
|
4ac b2 |
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2 |
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4 |
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||||
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||||
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1 |
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|
|
b |
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|||||||||||||||||||||||
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Примеры и решения |
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1. Найти интеграл |
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2. Найти интеграл |
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x2 |
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x |
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1 |
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x2 |
1 |
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C |
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sgn xln |
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C. |
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x |
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x2 |
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35
3. Найти интеграл |
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x3 |
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1 2x x2 |
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Применяя предложенную формулу, имеем |
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x3dx |
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Bx |
C |
1 |
2x |
x2 |
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||||||||||
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1 2x x2 |
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1 2 |
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2 |
x |
|
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|||||||
Дифференцируя это тождество и приводя к общему знаменателю, |
||||||||||||||||||||||
получаем x3 2Ax B 1 2x |
x2 |
|
Ax2 |
Bx C 1 |
x |
, откуда |
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x3 |
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1 |
3A, |
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x2 |
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5A 2B , |
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0 |
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x |
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2 A |
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3B |
C , |
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0 |
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x0 |
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B |
C |
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0 |
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A |
1 |
, B |
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5 |
, C |
19 |
, |
4. |
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3 |
6 |
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3 |
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Таким образом, окончательно при |
x |
1 |
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2 имеем |
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x3dx |
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2х2 |
5х |
19 |
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4 arcsin |
х |
1 |
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1 2х |
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х3 |
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С. |
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6 |
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|
1 2x |
x2 |
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|
2 |
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|
|
Т Е М А 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Цель занятия – на примерах ознакомиться с методами взятия неопределенных интегралов от некоторых типов иррациональных функций.
|
Примеры и решения |
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x3 |
|
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1. Найти интеграл |
2 |
x |
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x |
3 2 |
x |
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Полагая х + 2 = t3 , имеем |
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36
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t6 |
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2t3 |
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t2 |
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x3 2 x |
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dх 3 |
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dt |
3 |
t |
3 |
t |
|
2t |
dt |
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x 3 |
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t3 |
t |
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2 |
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t 1 t2 |
t 2 |
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2 x |
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3 |
t |
4 |
3 |
t |
2 |
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3t2 |
6t |
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dt . |
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4 |
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2 |
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t2 |
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t |
1 |
t 2 |
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|
К последнему интегралу применим метод неопределенных коэффициентов:
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3t2 |
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6t |
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, |
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t |
1 t2 |
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t |
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2 t 1 t2 |
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t |
2 |
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t 2 |
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t 2 |
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A |
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B , |
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3 |
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t |
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6 |
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A |
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B |
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C, |
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2 A |
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C, |
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A |
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, B |
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15 |
, C |
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3 |
, |
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4 |
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|
4 |
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2 |
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t |
2 |
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|||||
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3t2 |
6t |
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3 |
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|
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dt |
|
|
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15 |
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|
dt |
|
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5 |
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|
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||
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t 1 t2 |
|
t |
2 |
|
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4 t 1 4 t2 |
|
t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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15 |
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|
t2 |
|
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27 |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
1 |
C . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
|
t |
1 |
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ln |
t |
2 |
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arctg |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8 |
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4 |
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7 |
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7 |
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||||||||||||||||||||
Окончательно имеем |
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x3 2 x |
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dх |
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3 |
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t2 |
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t |
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x |
3 2 |
x |
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2. Найти интеграл |
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sgn xd |
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x |
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38
Т Е М А 7. ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА
Цель занятия – на примерах ознакомиться с приложением формул Эйлера к взятию неопределенных интегралов.
Следующие подстановки называются подстановками Эйлера:
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ax2 |
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1) |
bx |
c |
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ax z , + z, если a > 0; |
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ax2 |
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2) |
bx |
c |
xz |
c , если c > 0; |
||||
3) |
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a x x1 |
x x2 |
z x x1 . |
Пример. Используя подходящую подстановку Эйлера, найти интеграл
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x |
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x2 |
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3x |
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dx. |
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x |
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x2 |
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3x |
2 |
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Здесь x2 +3x+2 |
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x |
1 |
x 2 , |
поэтому можно положить |
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x2 |
3x 2 |
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t x |
1 |
(третья подстановка Эйлера). |
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Имеем |
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x |
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t 2 |
, |
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dx |
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2tdt |
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, |
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||||||||||
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t |
2 |
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t |
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x2 |
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2t2 |
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dt . |
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t 2 t 1 t 1 3 |
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x |
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x2 |
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3x 2 |
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||||||||||||||||||||||||||
Разложение подынтегральной функции ищем в виде |
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2t2 |
4t |
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A |
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B |
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C |
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D |
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E |
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, |
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t |
2 t |
1 t |
1 3 |
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t |
1 3 |
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t |
1 2 |
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t |
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1 t |
1 t |
2 |
||||||||||||||
откуда |
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2t2 |
4t A t 2 t 1 B t 2 t2 |
1 C t2 |
3t 2 t2 |
2t 1 |
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D t 2 t3 |
3t3 |
3t 1 E t 1 t3 |
|
|
3t3 |
3t 1 . |
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39
Полагая |
последовательно t |
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1,1; |
|
2, |
|
находим |
|
A |
1 |
, |
D |
3 |
и |
|||||||||||||||||||||||
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3 |
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4 |
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E |
16 |
. Далее , приравнивая в тождестве коэффициенты при t4 |
и t3 , |
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27 |
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||
получаем систему 0 C |
D |
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E; 0 |
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B |
C |
D |
2E , |
откуда |
|
находим |
||||||||||||||||||||||||||
остальные неизвестные: |
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C |
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17 |
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B |
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108 |
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Таким образом, |
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t |
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t |
1 |
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16 |
ln |
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t |
2 |
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C. |
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6 t |
1 2 |
18 t |
1 |
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108 |
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4 |
27 |
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Список литературы
1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.
2.Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. –
М.: Наука, 1990.
3.Справочное пособие по математическому анализу. Ч. 1. Введение в анализ, производная, интеграл / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай и др. – Киев. Вища школа, 1978.
4.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ: В 2 т. – М.: Высш. шк.,
1973.
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