Физика Методичка 3067

Распределение энергии в спектре излучения описывается спек-

тральной плотностью энергетической светимости r(ω, Т), ее еще называют лучеиспускательной способностью (или коэффициентом монохроматического излучения). Она определяется энергетической светимостью dRэ, испускаемой в узком спектральном интервале частот dω:

r(ω, Т) = dRэ (Т)/dω.

Спектральная плотность энергетической светимости является функцией частоты ω (или длины волны λ) и температуры Т.

Энергетическую светимость можно выразить через спектральную плотность энергетической светимости:

∞

Rэ = ∫ r(ω, T )dω .

0

Спектральной характеристикой поглощения является лучепоглощательная способность А(ω, Т) (коэффициент монохроматического поглощения), равная отношению потока излучения dФ′ в узком спектральном интервале частот от ω до ω + dω, поглощенного единицей поверхности тела, к потоку излучения dФ, падающего на единицу поверхности тела в этом же интервале частот:

А(ω, Т) = dФ′/dФ.

Если тело поглощает все падающее на него излучение (во всем интервале частот и при любой температуре), т. е. А(ω, Т) ≡ 1, то такое тело называется абсолютно чёрным. Если А(ω, Т) ≤ 1 и не зависит от ω, то тело называется серым.

Закон Кирхгофа

Отношение лучеиспускательной способности тела к его лучепоглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией длины волны λ (или частоты ω) и температуры Т:

11

f (λ, T ) =		r(λ, T )			,
		A(λ, T )
где f (λ, Т) – функция Кирхгофа.
Для абсолютно черного тела:
f (λ, T ) =	2πhc2		1			,
	λ5
				ehc λkT −1

где с – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана.

Приведенное выше соотношение называется формулой Планка.

В области больших длин волн функция Кирхгофа достаточно точно описывается формулой Релея– Джинса:

f(λ,T ) = 2πkT .

λ2

Законы Вина

Лучеиспускательная способность тела зависит от температуры. Первый закон Вина говорит о том, что с ростом температуры тела максимум лучеиспускательной способности смещается в более коротковолновую область, т. е.

λmaxT = c1 ,

где c1= 2,9 ·10–3 м·К – постоянная Вина, λmax – длина волны, на которую приходится максимум лучеиспускательной способности тела.

T3

r(λ, T )					T2		T3>T2>T1
							T1
λmax			3	λmax		2	λmax	λ
							1

12

Второй закон Вина говорит о том, что максимум лучеиспускательной способности тела пропорционален температуре в пятой степени:

r(λmax, T )max = c2T 5 , с2 = 1,29 · 10–5 Вт · м–3 · К–5 .

Закон Стефана– Больцмана

Для абсолютно черного тела

Rэ = σT 4 ,

где σ = 5,67 · 10–8 Дж/с · м2 · К4 – постоянная Стефана– Больцмана. Энергетическая светимость реальных тел Rэ′ всегда меньше энер-

гетической светимости абсолютно черного тела Rэ . Отношение

Rэ′ / Rэ называется степенью черноты αТ тела. Таким образом, для реальных тел:

Rэ′ = αT Rэ = αT σT 4 .

В общем случае αТ может зависеть от температуры. Несложно показать, что степень черноты серого тела совпадает с его лучепоглощательной способностью, т. е. αТ = А(Т).

Пирометры

Законы теплового излучения используются в оптических методах измерения высоких температур. О температуре тела судят по его излучению. Приборы, применяемые для этой цели, называются пирометрами излучения. Они бывают двух типов – радиационные и оптические. Первые регистрируют энергетическую светимость нагретого тела, вторые – его излучение в каком-либо одном или двух узких участках спектра.

С помощью радиационного пирометра можно измерить радиационную температуру Тр, т. е. такую температуру абсолютно черного тела, при которой его энергетическая светимость Rэ(Тр) равна энерге-

13

тической светимости исследуемого тела Rэ(Т). Для нахождения истинной температуры Т тела необходимо знать его степень черноты aТ:

aT sT 4 = sTР4 ,

отсюда T = Tр / 4aT .

Так как aТ £ 1, то Т ³ Тр.

С помощью оптического пирометра можно определить яркостную температуру Тя исследуемого тела, т. е. такую температуру абсолютно черного тела, при которой его лучеиспускательная способность равна лучеиспускательной способности исследуемого тела для монохроматического света с длиной волны l0, т. е.

f(l0, Тя) = r(l0, Т).

Из закона Кирхгофа следует:

f(l0, Тя) = r(l0, Т) = А(l0, Т) f(l0, Т),

А(l0, Т) = f(l0, Тя)/ f(l0, Т).

Так как А(l0, Т) £ 1, то f(l0, Тя) £ f(l0, Т), следовательно, Тя £ Т.

Для определения истинной температуры Т необходимо знать величину коэффициента монохроматического поглощения А(l0, Т):

A(l0, T ) =	ehc kλ0T -1
		.
	ehc kλ0Tя -1

В тепловой радиолокации обычно используется коэффициент отражения r, который связан с коэффициентом поглощения соотношением r = 1 – А.

ПРИМЕР. Начальная температура Т1 абсолютно черного тела за время Dt линейно уменьшилась до Т2. Какое количество энергии излучилось за это время (Dt)? Площадь тела равна S.

РЕШЕНИЕ. Мощность P – это скорость изменения энергии Е,

dE = P = sT 4S , dt

14

отсюдаследует

t

t

t

E = ∫ Pdt = ∫ σT 4Sdt = σS ∫ T 4dt .

0

0

0

По условию задачи температура изменяется линейно, следова-

тельно: Т = ct + T1, где с = (Т2 –

Т1)/

t =

Т/ t. Подставляя под инте-

грал выражение для Т и интегрируя, получаем:

E = σS

t T 4dt = σS

t (ct + T )4dt =

σS

(c t + T

)5

− T 5

=

∫

∫

1

1

1

0

0

5c

= σS (T25 − T15 ) =

σS

t (T25 − T15 ).

5c

5

T

Фотоэффект

Фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

ε = A + Tmax ,

где ε = hcλ = hν – энергия фотонов, падающих на поверхность катода;

А – работа выхода; Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Для того чтобы фотоэлектроны не могли достигнуть анода (фототок равен нулю), необходимо приложить задерживающее напряжение

U0:

eU0 = Tmax .

Кинетическая энергия электронов рассчитывается в зависимости от скорости фотоэлектрона либо по классической формуле

15

T = m0V 2 ,

2

либо по релятивистской

		1
T = m c2								−1 .
0		1 − V		2		2
					с

Скорость фотоэлектрона определяется энергией падающего фотона. Если энергия падающего фотона ε 0,51 МэВ, то применяется классическая формула. Если же энергия падающего фотона сравнима с

энергией покоя электрона E0 = m0c2 = 0,51 МэВ ( m0 – масса покоя

электрона), то применяется релятивистская формула.

Работы выхода для некоторых металлов приведены в табл. 1

			Т а б л и ц а 1
Металл		Работа выхода
	Дж · 10– 19		эВ
Калий	3,5		2,2
Литий	3,7		2,3
Платина	10		6,3
Рубидий	3,4		2,1
Серебро	7,5		4,7
Цезий	3,2		2,0
Цинк	6,4		4,0

ПРИМЕР. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра излучением с длиной волны λ = 0,2 мкм.

РЕШЕНИЕ. Максимальную скорость электронов можно определить из уравнения Эйнштейна

ε = A + Tmax .

Вычислим энергию фотонов

16

e =	hc	=	6, 63 ×10−34 × 3 ×108	= 9, 46 ×10−19 Дж = 6, 2 эВ .
	l		0, 2 ×10−6

Полученная энергия фотона много меньше энергии покоя электрона E0 = m0c2 =0,51 МэВ, поэтому для вычисления кинетической энергии

можно пользоваться классической формулой T = m0V 2 . Работу выхо-

							2
да для серебра возьмем из табл. 1: А = 7,5 · 10–19 Дж.
						2(9, 46 ×10−19 - 7,5 ×10−19 )
		2(e - A)							5
V =			=				= 4, 64		×10	м/с.
						9,1×10−31
max		m0

Эффект Комптона

Эффект Комптона заключается в изменении длины волны фотонов при их рассеянии на свободных или слабо связанных электронах. Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление своего движения (рассеивается). Электрон, который начал двигаться после столкновения с фотоном, называется электроном отдачи. Рассеяние фотона на свободном электроне можно рассматривать как процесс упругого столкновения, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса. Для расчетов удобно выбирать систему отсчета, в которой электрон первоначально покоился.

Закон сохранения энергии запишется в виде

		hc	+ m c2	=	hc	+ mc2 ,
		l	0		l¢
где λ и lў –	длины волн, соответствующие падающему и рассеянному
фотону; m0 –	масса покоя электрона; m =							m0			.
							1 -V 2
									c2

17

По закону сохранения импульса

	R
R	Pe
Pγ	R
	Pγ
	θ
	R
	Pγ′
	Pγ = Pγ′ + Pe .

Применяя теорему косинусов, можно получить выражение для импульса электрона:

2

h 2

h 2

2h2

(mV )

=

+

-

cos q ,

ll¢

l

l¢

где P = mV –

импульс электрона;

P =

h

–

импульс падающего фото-

e

γ

l

на; P =

h

–

импульс рассеянного фотона;

θ – угол рассеяния фотона

γ′

l¢

(угол, на который отклонился фотон от первоначальной траектории). Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии

	Dl = l¢ - l =	h	(1 - cos q) =	2h	sin2 q ,
		m0c		m0c
					2

где lc = h = 2, 426 пм – комптоновская длина волны. m0c

ПРИМЕР. Фотон с энергией ε = 0,51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол θ = 180°. Определить кинетическую энергию электрона отдачи.

РЕШЕНИЕ. Найдем изменение длины волны рассеянного фотона

Dl = 2lc sin2 q	= 2 × 2, 426sin2	180	= 4,852 пм .
2	2

18

Тогда длина волны рассеянного фотона
l¢ = l + Dl =	hc	+ Dl =	6,63×10−34 ×	3×108	+ 4,852 ×10−12	= 7,29 ×10−12 пм.
			0,51×106 ×1,6	×10−19
	e

	Pγ
	θ
Pγ′	Pe

Применим теорему косинусов для вычисления импульса электрона отдачи, и учитывая, что cos 180°= –1:

Pe2 = Pγ2 + Pγ2′ - 2Pγ Pγ′ cos q = Pγ2 + Pγ2′ + 2Pγ Pγ′ = (Pγ + Pγ′ )2 .

Импульс падающего фотона можно вычислить из его известной энергии

P = e		=	0,51×106 ×1, 6 ×10−19	= 2, 72 ×10−22 кг × м/с .
γ	c	3 ×108

Импульс рассеянного фотона вычисляется из найденной длины волны:

P =	h	=	6,	63	×10−34	= 9, 09 ×10−23 кг × м/с .
γ′	l¢	7,		29	×10−12

Таким образом, импульса электрона отдачи:

Pe = Pγ + Pγ′ = 2, 72 ×10−22 + 9, 09 ×10−23 = 3, 63 ×10−22 кг × м/с .

Кинетическая энергия релятивистской частицы – это разница между ее полной энергией (Е) и энергией покоя ( m0c2 ): T = E - m0c2 .

19

Полную энергию частицы можно рассчитать из известного импульса и энергии покоя:

E = ( Pc)2 + (m0c2 )2 .

Таким образом, кинетическая энергия электрона

T = ( Pec)2 + (m0c2 )2 - m0c2 .

Произведение Pec имеет размерность энергии, поэтому для облегчения расчетов вычислим эту величину таким образом:

P c =	3, 63 ×10−22 ×3 ×108		= 0, 68 МэВ.
e		×10−19
1, 6

Энергия покоя электрона m0c2 = 0,51 МэВ.

Подставив эти значения в формулу для кинетической энергии, получим:

T = (0, 68)2 + (0,51)2 - 0,51 = 0,34 МэВ.

Элементы квантовой механики

1. Согласно гипотезе де Бройля каждому микрообъекту можно приписать, с одной стороны, корпускулярные характеристики: энергию Е и импульс Р, а с другой стороны, волновые – частоту ν и длину волны λ, которые связаны между собой соотношениями:

E = hν , P = lh .

2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга: ни при каких обстоятельствах невозможно измерить одновременно координату и соответствующую проекцию импульса микрочастицы:

20