Физика Методичка 3067

Примеры ядерных реакций:

γ распад

Li7	+ H1	→ 2He4				H1 + n1		→ H2		+ γ
3	1			2		1	0		1
F19	+ H1	→ O16		+ He4		H3	→ He3		+ e0
9	1		8		2	1		2		−1
He4	+ Be9		→ C12		+ n1
2		4		6	0

ПРИМЕР. При соударении α-частицы с ядром бора B105 произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода H11 . Определить поряд-

ковый номер и массовое число второго ядра, записать ядерную реакцию и определить энергетический эффект Q.

РЕШЕНИЕ. Пусть X ZA – неизвестное ядро. Так как α-частица есть ядро гелия He42 , то реакция имеет вид

He42 + B105 → H11 + X ZA .

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение:

4 + 10 = 1 + А, А = 13.

Из закона сохранения заряда:

2 + 5 = 1 + Z, Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода C136 . Таким образом, ядерная реакция имеет вид:

He42 + B105 → H11 + C136 .

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле:

Q = (m	X	+ m	) − (m + m	R	) c2 .
		Y	Z

31

Подставив массы атомов, получим

Q = 931,1(4,0026 + 10,01294 – 1,00783 – 13,00335) = 4,06 (МэВ).

Так как Q > 0, то при этой ядерной реакции энергия выделяется.

Закон радиоактивного распада

Количество атомов радиоактивного вещества dN, распадающихся за время dt, пропорционально количеству атомов в настоящий момент времени и определяется соотношением

dN = −λN , dt

где λ – постоянная распада. Интегрируя, получим

N = N0e−λt ,

где N0 – число атомов, имевшихся в момент времени t = 0; N – их число через время t.

Процесс радиоактивного распада является вероятностным, причем величина λN определяет количество ядер, распавшихся в течение секунды.

Постоянная распада λ – отношение количества атомов, распавшихся за 1 с, к количеству атомов радиоактивного вещества, находящегося в нем в данный момент времени. Постоянная распада характеризует величину вероятности того, что атом претерпит в течение секунды распад, и не зависит от физических и химических условий, в которых находится радиоактивный изотоп.

Величина, обратная постоянной распада τ = 1/λ, называется средним временем жизни радиоактивного атома.

Для характеристики степени быстроты распада пользуются величиной, которая называется периодом полураспада Т1/2. Период полураспада Т1/2 есть время, в течение которого распадается половина взятого количества радиоактивного вещества:

32

e−λT1 2 =1/ 2 ,

отсюда следует T1/ 2 = ln 2 = 0,683 . l l

Так как l постоянная, то и соответствующий ей период Т1/2 тоже постоянен (для данного вещества), т. е. какое бы количество радиоактивного вещества ни была взято, половина его претерпит распад за одно и то же время.

Величина А = lN, равная числу ядер атомов вещества, распавшихся в единицу времени, носит название активности радиоактивного веще-

ства. Стандартной единицей измерения активности в настоящее время

является беккерель (Бк). 1 Бк равен одному распаду в секунду.

В течение многих лет применяли единицу активности Кюри (Ки). Исторически сложилось так, что указанная единица была введена применительно к радию, один грамм которого и обладал активностью 1 Ки. Когда начали использовать эту единицу по отношению ко всем остальным радиоактивным элементам, 1 Ки стал выражать количество вещества, в котором за 1 секунду происходит распад 37 млрд атомов:

1 Ки = 3,7×1010 расп/с = 3,7×1010 Бк.

Удельная активность (a) радиоактивного вещества определяется активностью на единицу массы или единицу объема.

Массовая удельная активность – это отношение числа актов рас-

пада в секунду к единице массы радиоактивного вещества, измеряется в Бк/кг:

а = А/m.

Объемная удельная активность – это отношение числа актов распада в секунду к единице объема радиоактивного вещества, измеряется в Бк/м3:

а = А/V.

ПРИМЕР. Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата магния Mg27 массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Для магния период полураспада Т1/2 = 10 мин.

33

-lt .

РЕШЕНИЕ. Активность препарата в момент времени t определяется формулой: А = l × N = N0e

Начальную активность А0 препарата получим при t = 0:

А0 = lN0.

Число N0 радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно:

N0 = mm NA ,

где NА – число Авогадро, m – масса изотопа, M – молярная масса. Таким образом, начальная активность равна:

A =	m		ln 2	N	A	=	0, 2 ×10-9			0,693	× 6,02 ×1023 Бк = 5,13 ТБк .
0	m T1/ 2					27		×10-3 600

Активность препарата в момент времени t = 6 ч = 2,16 × 104 с равна:

	-lt		-	0,693	×2,16×104
A = A0e		12		600
		= 5,13 ×10 e			= 81,3 Бк .

34

Варианты заданий

Вариант 1

1.От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поставили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине пленки это возможно?

2.На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 1 мкм. Какой наибольший порядок спектра дает эта решетка в случае красного света (λ = 0,7 мкм)? Сколько максимумов будет наблюдаться при освещении этой решетки фиолетовым светом (λ = 0,41 мкм)?

3.На пластинку со щелью, ширина которой a = 0,05 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 0,7 мкм. Найти угол, соответствующий первому дифракционному максимуму.

4.Вычислить энергию, излучаемую за t = 1 мин с поверхности S =

=10 см2 абсолютно черного тела, температура которого Т = 1000 К.

5.Энергетическая светимость абсолютно черного тела Rэ = 3 Вт/см2. Найти длину волны, отвечающей максимуму испускательной способности этого тела.

6.Используя формулу Релея– Джинса, найти зависимость между яркостной температурой Тя тела и его реальной Т. Показать, что для

хорошо отражающих тел (ρ ≈ 1) Тя = Т.

7. Определить задерживающее напряжение, если на цинковый элемент падают фотоны с длиной волны λ = 250 нм. Найти частоту, соответствующую «красной границе» фотоэффекта для цинка.

35

8. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен π/2. Найти энергию и импульс рассеянного фотона.

9. Найти длину волны де Бройля электрона, летящего со скоростью V = 108 см/с, и шарика массой m = 1 г, движущегося со скоростью V1 =

=1 см/с. Нужно ли учитывать волновые свойства электрона и шарика?

10.Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы

L. Найти отношение разности энергий соседних уровней Еn, n+1 к энергии Еn частицы в трех случаях n = 2, n = 5, n = ∞.

11. Вычислить удельное сопротивление германиевого полупровод-

ника р-типа, если концентрация дырок р = 3◌ּ1020 м–3 . Найти удельное сопротивление германиевого полупроводника n-типа при той же концентрации электронов n.

12.Определить, во сколько раз различаются вероятности заполнения электронами нижнего уровня зоны проводимости в собственном германии и собственном кремнии при 300 К.

13.Массы нейтрона и протона в энергетических единицах равны

соответственно mn = 939,6 МэВ и mp = 938,3 МэВ. Определить массу ядра дейтрона H2 в энергетических единицах, если его энергия связи

DЕсв =2,2 МэВ.

14. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата радиоактивного изотопа серебра, регистрирует поток β-частиц. При первом измерении поток Ф1 частиц был равен Ф1 = 87 с‾1, а по истечении времени t = 1 сут поток Ф2 оказался равным Ф2 = 22 с‾1. Определить период полураспада Т1/2 изотопа.

Вариант 2

1. На сколько изменится оптическая длина пути луча, если на пути луча света поставлена стеклянная пластинка (n = 1,3) толщиной d = 1 мм так, что угол падения луча на пластинку равен 30°?

2. На экране, расположенном за дифракционной решеткой, освещенной нормально падающим монохроматическим светом, спектр

36

третьего порядка виден под углом 30°. Под каким углом виден спектр четвертого порядка?

3.На непрозрачную пластинку с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая световая волна λ = 0,6 мкм. Угол отклонения лучей, соответствующий второму дифракционному максимуму, равен 20°. Определить ширину щели.

4.Раскаленный шарик площадью S = 10 см2 излучает в одну ми-

нуту 4 × 10 4 Дж. Температура поверхности Т = 2500 К. Найти коэффициент черноты поверхности шарика.

5. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности, изменилась в 1,2 раза. Найти относительное изменение начальной температуры ( DТТ ).

6.Коэффициент отражения никелевой пластины r = 0,7. Найти от-

ношение истинной температуры пластины Т к ее яркостной Тя. (Используйте формулу Релея– Джинса.)

7.Определить максимальную скорость электронов, вырываемых с поверхности платины: а) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ1 = 0,15 мкм; б) γ-лучами с длиной волны λ2 = 1 пм.

8.Фотон с энергией e = 0,4 МэВ рассеялся под углом q = 90° на свободном электроне. Определить длину волны рассеянного фотона и его энергию.

9.Найти длину волны де Бройля электрона, имеющего кинетическую энергию 10 кэВ, 1 МэВ.

10.Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей,

оценить минимальные линейные размеры атома.

11. Удельное сопротивление собственного германия при t = 27 ° С составляет ρ = 0,47 Ом · м. Определить собственную концентрацию носителей заряда.

12.Найти положение уровня Ферми в собственном кремнии при

100 К и при 500 К.

13.Какую минимальную энергию Е нужно затратить, чтобы ото-

рвать один нейтрон от ядра азота N147 ?

14. Вычислить удельную активность а кобальта Со60.

37

Вариант 3

1. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину пленки, если ее показатель преломления

n = 1,4.

2.Постоянная дифракционной решетки d в 4 раза больше длины волны λ монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.

3.На длинную щель шириной a = 30 мкм падает нормально свет с длиной волны λ = 0,65 мкм. Найти положение первых трех максимумов дифракционной картины, которая наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L = 1,5 м от щели.

4.К зачерненному металлическому шарику радиусом r = 5 см подводится мощность P = 1 Вт. При этом его температура равна T = 320 К. Найти температуру окружающей среды. Считать, что вся подводимая к шарику мощность идет на излучение.

5.Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения.

Температура одного из них Т1 = 2500 К. Найти температуру другого, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной спо-

собности, на Δλ = 0,5 мкм больше соответствующей длины волны второго источника.

6.Яркостная температура тела Тя = 30 К, а его реальная Т = 300 К. Найти коэффициент отражения ρ этого тела. (Для нахождения зависимости между Тя и Т используйте формулу Релея– Джинса.)

7.Поверхность некоторого металла сначала освещают светом с

длиной волны λ1 = 0,35 мкм, а затем – светом с длиной волны λ2 = 0,54 мкм. Отношение соответствующих максимальных кинетических энергий фотоэлектронов равно 4. Найти работу выхода электронов с поверхности металла.

8. Энергия рентгеновских лучей равна 0,6 МэВ. Найти энергию электрона отдачи, если известно, что длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на 20 %.

38

9.Вычислить длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 1 МВ, 1 ГВ.

10.Исходя из соотношения неопределенностей оценить энергию основного состояния атома водорода.

11.Вычислить дрейфовую скорость электронов и дырок в кремниевом и германиевом образцах при комнатной температуре в электрическом поле напряженностью Е = 1 кВ/м.

12.Найти положение уровня Ферми в собственном германии при

50 К и при 300 К.

13.Определить удельную энергию Еуд связи атомных ядер алюми-

ния Al1327 и свинца Pb82207 .

14. Найти массу т1 урана U238, имеющего такую же активность А, как стронций Sr90 массой т2 = 1 мг.

Вариант 4

1. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно L = 1 м. Определить расстояние между щелями, если на экране на длине 1 см укладывается 10 темных интерференционных полос. Длина волны

λ= 0,7 мкм.

2.На дифракционную решетку нормально падает параллельный пучок лучей белого цвета. Спектры третьего и четвертого порядков накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка λ4 накладывается граница спектра третьего порядка

λ3 = 0,78 мкм?

3.Определить расстояние между светлыми полосами дифракцион-

ной картины, получающейся от дифракции света с длиной волны λ = 0,55 мкм на щели шириной a = 20 мкм, если расстояние от щели до экрана L = 2 м.

4. Муфельная печь потребляет мощность Р = 1 кВт. Температура ее внутренней поверхности при открытом отверстии площадью S = 25 см2 равна Т = 1,2 кК. Считая, что отверстие печи излучает как абсолютно черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками.

39

5.Определить, как и во сколько раз изменится мощность Р излуче-

ния абсолютно черного тела, если длина волны λmax, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости, сместилась с λ1 = 720 нм до λ2 = 400 нм.

6.Коэффициент отражения тела, соответствующий длине волны

λ0 = 0,65 мкм, равен ρ = 0,9. Яркостная температура тела Тя = 100 К. Найти истинную температуру тела Т.

7.Поток света с длиной волны λ = 220 нм падает на цезиевый катод. Найти: а) длину волны и частоту, соответствующие «красной границе» фотоэффекта для цезия; б) максимальную скорость электронов, вырываемых из цезиевой пластины.

8.При облучении вещества фотонами с длиной волны λ = 0,05 Å

рассеяние фотонов происходит под углом θ = 20°. Каков импульс электрона отдачи?

9. Определить длину волны де Бройля α-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов 1 кВ. Масса покоя α-частицы m = 6,64 ·10–27 кг. Начальные скорости принять равными нулю.

10.Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в основном состоянии. Ширина ямы L. Какова вероятность обнаружить частицу в крайней четверти ямы?

11.Удельная электропроводность в образце арсенида индия (InAs) n-типа равна σ = 400 (Ом · м)–1 . Коэффициент Холла для того же мате-

риала RH = 0,01 м3/Кл. Считая, что проводимость осуществляется носителями заряда одного типа, определить их концентрацию и подвижность.

12.Уровень Ферми полупроводника находится на 0,01 эВ выше потолка валентной зоны. Рассчитать: а) вероятность появления дырки на верхнем уровне валентной зоны при Т1 = 300 К и при Т2 = 50 К; б) ве-

роятность	нахождения электрона на дне	зоны проводимости при
Т = 300 К,	если ширина запрещенной	зоны полупроводника

Eg = 0,67 эВ.

13. Вычислить энергию Q и определить тип следующих ядерных реакций: Li7 ( α , п) В10 и F19(p, α ) O16.

40