diff_ur_stud

11

Вариант № 11.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. 2xyy0 + x2 = 3y2; y(1) = p2

2.

y0

=

4x + 2y + 2

, (подстановка z = 2x + y)

2x + y ¡ 2

3.

y0

sin x

¡

y cos x = sin x y(p=2) = 1

;

4.

y0

+ 2y = 2xp

; yy(0) = 0

y

1

5.

³(y + 2) cos x ¡

´dx +

µsin x +

¶dy = 0

x2

x

6.2yy00 + (y0)2 = y10 ; y(0) = y0(0) = 1

7.xy00 = (x ctg x + 1)y0; y(p=2) = 1; y0(p=2) = p=2

8. y00	¡ 4y0	+ 5y =	e2x
			cos x

9.y00 ¡ 3y0 = 18x2 ¡ 1; y(0) = 2; y0(0) = ¡4

10.y000 ¡ 2y00 ¡ 3y0 = (8x ¡ 14)e¡x

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 64y = 16 sin 8x ¡ e8x

12.	A =	1	¡3	¶,		X	0	=	0	¶
	µ	6	¡5					µ	¡1
13.	A = Ã	2	1	1	!, X0 =				Ã	3	!
		0	3	1						2
		0	0	1					¡2

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке в два раза меньше, чем отношение абсциссы точки касания к ее ординате.

15.Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, вы-

делить на плоскости Oxy область, через каждую точку которой проходит единственное решение дифференциального уравнения xy0 = y + px2 ¡ y2.

12

Вариант № 12.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.xy0 + y ln x = y (1 + ln y); y(1) = e

2.y0 = 2 (x ¡ 2y + 1), (подстановка x ¡ 2y = z)

2y ¡ x + 2

3. y0 ¡	2x	¢ y =		x	; y(0) = 0
	1 + x2		p
				1 + x2

4.3xy0 ¡ 2y = x4y¡2 sin x; y(p) = p

5.¡y(3x2 + 2x ln 2)¢dx + ¡x3 + 2x¢dy = 0

	(y0)2
6. y00	¡ y ln y = y0 ln y; y(0) = y0(0) = e

7.y00 + 2x(y0)2 = 0; y(0) = 0; y0(0) = 1

	¡ 6y0	e3x	10. y000 ¡ y00 = 4x2 ¡ 3x + 2
8. y00		+ 10y = cos3 x

9.y00 + y0 ¡ 6y = ¡5e2x; y(0) = 0; y0 = 9

11.	Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + 6y0 + 13y = e¡3x cos 4x + xe¡3x
12.	A =	3	¡5	¶,	X	0	=	5
	µ	5	¡3				µ	3 ¶		!
13.	A = Ã	1	¡0	3	!,		X0 = Ã		0
		3	0	1					2
		1	1	4					1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного осью Ox, радиус-вектором произвольной точки и прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно оси Ox, равна отношению углового коэффициента касательной к абсциссе точки касания.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = exy касаться друг друга в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Ответ объяснить.

13

Вариант № 13.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.y0 = x + 2y ; y(1) = 0 2x ¡ y

2.y0 = 3x ¡ 6y + 2 , (подстановка x ¡ 2y = z)

2y ¡ x ¡ 1

3.

y0 sin x + y cos x = x cos x;

y(p=2) = p=2

1

p8

4.

8xy0 ¡ y +

3

p

= 0; y(1) =

2

y

x + 1

¢

5.

ex+y ¡ 3x2 dx + (ex+y ¡ 1) dy = 0

6.

x2y

00

= 3xy

0¢

4

;

y(1) = 1

;

y

(1) = 5

¡

0

¡

7.

(y0)3 y00 = y4;

y(1) = y0(1) = 1

8.

y00 + 9y =

9 sin 3x

cos2 3x

9.y00 ¡ 4y0 = 16x; y(0) = 1; y0(0) = 5

10.y000 ¡ y00 ¡ 5y0 ¡ 3y = ¡ (8x + 4) ex

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00				¡ 8y0 + 17y = x2e4x ¡ 3e4x sin x
12.	A =	µ	1	¡2	¶,	X	0	=	6
	A =		¡1	¡3				µ	1 ¶		!
13.		Ã	0	2	2	!,		X0 = Ã		2
			¡2	1	¡1					1
			0	1	0					1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 0) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен разности абсциссы и ординаты точки касания.

15.При каких неотрицательных значениях параметров a и b и в каких

точках плоскости Oxy нарушается единственность решения дифференциального уравнения y0 = jxja ¢ jyjb ?

14

Вариант № 14.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. xy0 ¡ y + xey = 0; y(1) = 0

x

2.y0 = 3x + y ¡ 1 , (подстановка 3x + y = z)

6x + 2y + 1

3.xy0 ¡ y + x3e¡x = 0; y(¡1) = 0

4.2y0 sin x + y cos x = y3(x cos x ¡ sin x); y(p=2) =

µ¶

5.p1 y¡ x2 + 5y dx + (arcsin x + 5x) dy = 0

q

2 p

	6.	xy00 ¡ y0 = x2 cos x; y(2p ) = 1; y0(2p ) = 2p
	7.	p		y00	= (y0)23 ; y(0) = 2; y0(0) = 1
			y ¡ 1
	8.	y00 + y =			cos x
					sin2 x

9.y00 + 9y = 18x2 ¡ 5; y(0) = 0; y0(0) = ¡3

10.y000 + 2y00 + y0 = (18x + 21) e2x

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 ¡ 4y0 + 8y = x2e2x + 5e2x sin 2x
12.	A = µ	2	¡0	¶, X0 = µ		2	¶
	A = Ã	0	2		!, X0	3	Ã ¡4	!
13.		5	¡3	0		=
		1	1	0			2
		2	1	¡1			3

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (e; ep2) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен сумме отношений координат точки касания.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = x + y2 + 2y0 без нарушения единственности касаться друг друга в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oyx? Ответ пояснить.

15

Вариант № 15.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. yy0 + x = px2 + y2; y(0) = 1

2.

y0

=

5 ¡ x ¡ 2y

, (подстановка z = x + 2y)

x + 2y + 5

y

y(p) = ¡p

3.

y0

¡

= x2 cos x;

x

4.

xy0 + 2y = xy2 ln x; y(1) = 1

5.

2x(y + ln y)dx + x2 µ1 + y ¶dy = 0

1

6.

y00

3x2 ¡ 2x

¡ y0

(6x ¡ 2) ¡ (y0)2 = 0; y(1) =

1

; y0(1) = ¡1

2

7.

4y00¡py = 1;

¢

0

y(0) = y

(0) = 1

8.

y00

+ y =

1

3 + sin2 x

9.y00 + 4y0 + 3y = (24x + 10)e3x; y(0) = 0; y0(0) = ¡3

10.y000 ¡ y00 = 6x + 5

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00					¡ 4y0		+ 8y = e2x cos 2x + xex
12.	A =			4	¡1	¶,		X	0	=	2	¶
	A =	µ ¡1			¡4					µ	¡1		!
13.		Ã	0	2		1	!,			X0	= Ã	5
			4	2	¡1							2
			0	2		0						1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: длина отрезка от начала координат до точки пересечения любой касательной с осью Oy равна абсциссе точки касания.

15.При каких начальных условиях существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений

dx	=	y3		+ ln(1 + t)
< dt	=		p x¡
dt
8 dy		3			y t		?
:

16

Вариант № 16.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.(x + y) y0 = 2y; y(1) = 2

2.y0 = 3 ¡ 2x + 2y , (подстановка x ¡ y = z) x ¡ y + 1

3.¡1 ¡ x2¢y0 + xy = ¡1 + x2¢p1 ¡ x2; y(0) = 0

4.3y0 + 2xy = 2x3y¡2; y(0) = ¡1

5.(2 ¡ 3 sin(3x ¡ y)) dx + (sin(3x ¡ y) ¡ 1) dy = 0

6.yy00 ¡ (y0)2 = (y0)3; y(0) = 1; y0(0) = 1

7.¡1 + x2¢y00 + 2xy0 = 1; y(0) = y0(0) = 0

	4
8. y00	+ 4y =
		cos 2x

9.y00 + 2y0 ¡ 3y = 8ex; y(0) = 2; y0(0) = 0

10.y(4) + y000 = 12x + 6

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 81y = 3e9x + 3 cos 9x

12.	A =	1	¡5	X		0	=	µ	0	¶
	µ	2	¡1 ¶,						¡3
13.	A = Ã	1	1	0	!, X0 = Ã						2	!
		¡2	¡2	0							¡3
		2	¡1	3							¡1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 0) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен сумме координат точки касания.

15.При каком n (n = 1, n = 2, n = 3) дифференциальное уравнение y(n) = x2 + 3y2 имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y0(0) = 2 ? Почему?

17

Вариант № 17.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. ¡y3 + 2x2y¢dx ¡ ¡2x3 + 2xy2¢dy = 0; y(1) = 1

y0 = 3x ¡ y + 3

3x

y = z

2.

6x ¡ 2y ¡ 1

, (подстановка

¡

)

y

p

3.

y0

¡

= x2 cos 2x; y(p) =

x

4

2y

4.

y0

+2

=2 y2px; xy(1) = 31

x

x

dy = 0

5.

¡3x ¡ (y + 1)e¡ ¢dx + 2ye¡

6.

y00

¡ x2 y0 = x3; y(1) =

1

;

y0(1) = ¡21

10

7.

y00

+ 2y (y0)3 = 0; y(0) = y0(0) = 1

8. y00 + 2y0 + 5y = 4e¡x cos 2x

9.y00 ¡ 5y0 = 15x2 + 4x ¡ 7; y(0) = 1; y0(0) = ¡4

10.y000 ¡ 6y00 + 9y0 = 4xex

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 ¡ 6y0 + 13y = x2e3x ¡ 3 cos 2x

12.	A =	µ	¡3	1	¶,	X	0	=	1	¶
	A =		¡1	¡3				µ	1		!
13.		Ã	0	¡1	¡2	!, X0 = Ã ¡1
			1	2	1					6
			0	¡2	¡2					3

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: угловые коэффициенты касательной в любой точке и радиус-вектора точки касания отличаются только знаком.

15.При каких начальных условиях существует единственное решение

дифференциального уравнения p p

y00 = tg y + y0 + 3 x ?

18

Вариант № 18.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы

AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

³ p ´

1. 2 xy ¡ x y0 + y = 0; y(1) = 1

3 x + y + 1

2. y0 = 2 2 , (подстановка 3x + 2y = z) x + 3 y ¡ 1

3.xy0 ¡ 2y = x ln x; y(1) = 0

4.y0 ¡ y cos x = ¡cosy x; y(0) = 2

5.	µcos2	3x		¡ y	¶dx + y2 dy = 0
	3			1		x

6.y00 + (y0)2 = 2e¡y; y(0) = 0; y0(0) = 2

7.x4y00 (y0)2 = ¡1; y(1) = 0; y0(1) = 1

8. y00	¡ 2y0	+ 10y =	9ex
			sin 3x

9.y00 + 2y0 = 3 cos x; y(0) = 25 ; y0(0) = 15

10.y000 + y00 = 5x2 ¡ 1

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 100y = ¡10e10x + 20 sin 10x

12.	A =	µ	2	¡2	¶,	X		0	=	µ	1	¶
	A =		4	¡2							¡1			!
13.		Ã	1	¡2	¡3		!,			X0 = Ã			3
			1	0		0							6
			1	0	¡5								2

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1) и обладающей следующим свойством: произведение углового коэффициента касательной в любой точке на ординату точки касания больше на единицу, чем квадрат ординаты.

15.При каком n (n = 1, n = 2, n = 3) графики двух решений дифференциального уравнения y(n) = x2 + y2 могут пересекаться в некоторой точке (x0; y0) плоскости Oxy без нарушения единственности? Ответ объяснить.

19

Вариант № 19.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.xy0 ¡ y = px2 ¡ y2; y(1) = 0

2.y0 = 3x +22y + 2, (подстановка 3x + 2y = z) x + 3 y ¡ 1

3.y0 ¡ y sin x = 12 sin 2x; y(2p ) = 1

4.y0 + 2xy = ¡xy2; y(1) = 1

µ¶ µ ¶

5.1 dx + 2yx2 + y1 dy = 02xy2 + x

6.	y00	cos y ¡ (y0)2 sin y + (y0)3 cos2 y = 0; y(1) = 0; y0(1) = 1
7.	y00	= (y0)2 + 1; y(0) = 1; y0(0) = 0
		ctg 4x
8.	y00	+ 16y = ¡16 ¢
			sin 4x

9.y00 ¡ 3y0 ¡ 10y = (12x + 11)e2x; y(0) = 0; y0(0) = ¡12

10.y(4) + 4y000 + 4y00 = x ¡ x2

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 2y0						+ 5y = e¡xx2 + e¡x cos 3x
12.	A = µ	¡1		¡0	¶, X0 =		µ ¡1		¶
	A = Ã	2		2		!, X0	= Ã	6	!
13.		0	1		2			2
		2	1	¡1				1
		0	2		1			0

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке вдвое меньше, чем квадрат ординаты точки касания.

15.Сколько существует решений дифференциального уравнения

y(n) = x2+y2, удовлетворяющих одновременно двум условиям y(0) = 1, y0(0) = 2 при n = 1; 2; 3 ? Ответ объяснить.

20

Вариант № 20.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.y0 = yx +¡ 22xy ; y(1) = 0

2.y0 = 2x ¡ 4y + 1, (подстановка x ¡ 2y = z)

2y ¡ x + 1

			x				1
3.	y0	¡			¢ y =				; y(1) = ¡2
			x2 + 1					x2
4.	y0	+	y	= ¡		1	(x + 1)5 y3; y(1) =			1
			x + 1			2				4

5.(yexy + 1) dx + (xexy ¡ 1) dy = 0

6.	y00(y ¡ 3) + (y0)2 ¡ y0						= 0; y(1) = 1; y0(1) = ¡21
			y0
7.	y00	+		= 2 ln x + 1;			y(1) = ¡41 ; y0(1) = 0
			x
8.	y00	+ y = ¡			tg x		9. y00 ¡ 4y0 + 3y = 4e3x; y(0) = 0; y0(0) = 0
					cos x

10.y(4) + 2y000 + y00 = 2 ¡ 3x2

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 49y = xe7x + 7 cos 7x

	A = µ	0	3	¶, X0 = µ		1	¶
12.		¡3	0			¡2
13.	A = Ã	1	5	0	!, X0 = Ã			6	!
		1	¡3	0				0
		1	¡1	¡2				1

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке вдвое меньше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.

15.Сколько решений дифференциального уравнения

y(n) = x2 + y3 проходит через точку (1; 1) по заданному направлению, образующему угол p=4 с осью Ox при n = 1; 2; 3 ? Ответ объяснить.