diff_ur_stud

21

Вариант № 21.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1. xy0	sin	y		¡	x2	= y sin	y	; y(1) =	p
		x			y		x		2

2.y0 = 2x ¡ 2y + 1, (подстановка x ¡ y = z)

3x ¡ 3y + 2

3.y0 + p1xy+ x2 = p1 x¡ x2 e¡p1+x2 ; y(0) = 0

4.y0 + y ctg x = sin 2x ¢ esin xy2; y(2p ) = ¡21e

5.(3y cos 3x ¡ 2x) dx + sin 3x dy = 0

	y0
6. y00	¡ x ¡ 1 = (x ¡ 1) sin x; y0(0) = 1; y(0) = ¡1

7.(y2 + 1)y00 + (y0)3 = 0; y(0) = 0; y0(0) = 1

8. y00	¡ 2y0	+ 5y =	4ex
			cos 2x

9.y00 + y0 = e¡x; y(0) = 1; y0(0) = ¡1

10.y000 ¡ 2y00 = 12x ¡ 2

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y000 + 4y0 = xe2x + sin 2x
12.	A =	µ	¡1	¡3	¶, X0 = µ		¡1 ¶
			1	5		!, X0	1		!
13.	A =	Ã ¡2		¡1	¡2		= Ã	1
			2	2	0			2
			0	¡2	0			7

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1) и обладающей следующим свойством: треугольник, образованный осью Ox, любой касательной и прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно оси Ox, является равнобедренным.

15.Используя какое-либо достаточное условие единственности, выде-

лить область на плоскости x0y, в которой через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения y0 = xy + p3 y.

22

Вариант № 22.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

		y		y2			y
1.	yy0ex ¡ x =					ex ; y(1) = 1
					x
2.	y0 =			1 ¡ x ¡ y			, (подстановка x + y = z)
			2x + 2y + 1

3.y0 + y ctg x = sin2 x; y(p=2) = 0

4.

(1 + x2)y0 + xy =

x2

1

;

y(0) = 1

p1 + x2 ¢

y2

1

1

5.

µ

2p

¡ sin(x ¡ y)¶dx + µsin(x ¡ y) ¡

2p

x

y

6.3(y0)3py + 2y00 = 0; y(0) = 1; y0(0) = 1

7. y00 ¡ x ln1 x ¢ y0 = x ln x; y(e) = e93 , y0(e) = e22

8. y00 ¡ 4y0 + 4y =	e2x
	4 + x2

9. y00 + 9y = 36 e3x; y(0) = 2; y0(0) = ¡6

¶

dy = 0

10. y00 + y0 ¡ 2y = 3xex

11.	Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-
ного решения: y00 + y = x2 + sin 3x + x cos 3x
12.	A =	µ 1	¡3 ¶, X0		= µ ¡0	¶
		1	2		1	Ã		!
13.	A =	Ã ¡2	¡2	¡2	!, X0 =		3
		1	2	0			3
		0	¡2	3			6

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке равен отношению ординаты точки касания к квадрату абциссы этой точки.

15.Используя какое-либо достаточное условие единственности, выде-

лить область на плоскости x0y, в которой через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения y0 = px2 ¡ y ¡ x.

23

Вариант № 23.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.xy0(ln y ¡ ln x) + y = y(ln y ¡ ln x); y(1) = e

2.y0 = 6x ¡ 2y + 2, (подстановка 3x ¡ y = z)

3x ¡ y + 2

3.

xy0

+

y

=

e2=x

; y(1) = 0

x

x

4.

3x2y0 + 6xy =

2(ln x + 1)

1

; y(1) = 1

¢ p

x

y

5.

µy +

2

¶ dx + µx ¡

1

¶ dy = 0

2x

y

2x

y

¡

¡

6.

xy00

= (1 + 2x2)y0, y(1) = e=2;

y0(1) = e

7.

yy00

+ y(y0)3 = (y0)2; y(0) = 1;

y0(0) = 1

8. y00 + 4y0 + 4y = 2xe¡2x x2 ¡ 4

9.y00 + y = 4 ex; y(0) = 4; y0(0) = ¡3

10.y000 ¡ 2y00 + y0 = 2x

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 4y = x2ex + 5 sin 2x ¡ cos 2x
12.	A =	µ	2	¡5	¶,	X0	= µ	¡1	¶
			3	5		!,		2		!
13.	A =	Ã ¡2		1	2		X0 = Ã ¡3
			3	0	1				0
			1	0	3				¡2

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке на 2 единицы больше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.

15.При каких начальных условиях существует единственное решение дифференциального уравнения (x + 1)y00 = y + py ?

24

Вариант № 24.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.y 2 + 3 ln xy ´ = xy0; y(1) = 1

2.y0 = x + 2y ¡ 1 , (подстановка x + 2y = z)

2x + 4y + 3³

3y

1

y

y2

3.

y0

¡

= x4 ln x; y(1) = ¡

4. xy0

¡

+

= 0; y(e) = 1

x

4

ln x

2

¡y0

¡

1

¢

ln

x

5.

(2x

ex) y3 dx + 3y2

x2 ¡ ex

dy = 0

6.

y00

¡

= x + 1; y(1) =

;

y0(1) = 1

x

12

7.yy00 = (y0)2; y(0) = 1; y0(0) = 2

8.y00 + 2y0 + 2y = e¡x

1 + cos2 x

9.y00 ¡ 3y0 + 2y = 2x ex; y(0) = 0; y0(0) = 0

10.y(4) + y00 = 12(x2 + x)

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 4y0 + 5y = xe¡2x + e¡2x sin x

12.	A = µ	0	1	¶,	X0 = µ	2	¶
		¡2	2			¡3		!
13.	A = Ã ¡3		4	0	!, X0 = Ã		4
		0	1	0			2
		¡2	1	2			3

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; ¡1) и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного осью 0x, любой касательной и прямой, проходящей через точку касания параллельно оси 0y, равна 2.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения

y00 = 2x2 ¡ 3y2 пересекаться в некоторой точке плоскости (x0y) без нарушения единственности? Ответ объяснить.

25

Вариант № 25.

В задачах 1-10 найти общее или, если даны начальные условия, частное решение уравнения. В задачах 12, 13 найти частное решение системы AX = 0, где A – матрица системы, X0 = X(t = 0) – начальное условие.

1.(x + pxy)y0 = y; y(1) = 1

2.y0 = 6x ¡ 3y + 1, (подстановка 2x ¡ y = z)

2x ¡ y + 2

3.

y0 +

x

y =

xe2x

y(0) = 3

;

+ 1

p

4

x2

x2 + 1

4.

2y0 + y cos x =

sin 2x

; y(0) = 1

2y

p

dx + µ

p

+ 2e2y¶ dy = 0

5.

y

x

2p

2p

x

y

6.2yy00 ¡ 2(y0)2 = y2; y(2) = 1; y0(2) = 1

7.y00 = (y0)2 ¢ sin 2x; y(0) = 0; y0(0) = 1

8. y00	¡ 2y0	+ 2y =	ex
			4 ¡ sin	2	x

9.y00 + 2y0 + 2y = x e¡x; y(0) = 0; y0(0) = 0

10.y000 ¡ 4y0 = 12x2 ¡ 2

11.Найти общее решение уравнения, не вычисляя коэффициентов част-

ного решения: y00 + 16y = e¡4x						+ x sin 2x
12.	A = µ	4	¡0	¶, X0 = µ		¡1	¶
	A = Ã	4	2		!, X0	2		!
13.		3	4	¡2		= Ã ¡1
		1	0	2			2
		¡2	0	1			0

14.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1) и обладающей следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке втрое больше отношения ординаты точки касания к ее абциссе.

15.Могут ли графики двух решений дифференциального уравнения y00 = x2 ¡3y2 касаться друг друга в некоторой точке (x0; y0) плоскости без нарушения единственности? Ответ объяснить.