- •А.А. Башев, а.А. Кралин, н.Г. Панкова
- •Часть 1
- •140400 «Электроэнергетика и электротехника» Нижний Новгород 2014
- •Оглавление
- •3.1. Основные определения. Трехфазная система эдс …..………….. 69
- •1.2. Источники электрической энергии: источники эдс и источники тока
- •1.3. Законы Ома, Кирхгофа и закон сохранения энергии
- •1.5. Методы расчета линейных электрических цепей Расчет цепей с использованием законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов
- •Принцип и метод наложения (суперпозици)
- •Метод эквивалентного генератора
- •2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •2.1. Основные определения. Изображения синусоидальных функций времени векторами на комплексной плоскости
- •2.2. Активное сопротивление, индуктивность и конденсатор в цепи синусоидального тока
- •2.3. Комплексное сопротивление и проводимость. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. Векторные и потенциальные (топографические) диаграммы
- •2.4. Активная, реактивная и полная мощности. Баланс мощностей
- •2.5. Методы расчета разветвленных цепей синусоидального тока, основанные на свойствах линейных цепей
- •2.6. Резонансные режимы в цепи. Резонанс напряжения, резонанс токов. Частотные характеристики резонансных цепей
- •2.7. Расчет цепей с индуктивно связанными элементами
- •3. Электрические цепи трехфазного тока
- •3.1. Основные определения. Трехфазная система эдс
- •3.2. Схемы соединения трехфазных цепей
- •3.3. Расчет трехфазных цепей
- •Соединение нагрузки треугольником
- •3.4. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной системы
- •4. Практическая часть
- •Раздел 1. Цепи постоянного тока
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Раздел 2. Основы символического метода
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Раздел 3. Расчет цепей символическим методом
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Раздел 4. Трёхфазные цепи. Высшие гармоники в трёхфазных цепях
- •Список литературы
- •Башев Александр Александрович
1.5. Методы расчета линейных электрических цепей Расчет цепей с использованием законов Кирхгофа
Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через b, число ветвей, содержащих источники тока, через bИT, число узлов - у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется (b - bИT). Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. у - 1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений n , равное
n= b - bИT - (у - 1).
При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляются уравнения, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа, т.е. число уравнений по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров.
Пример 1. Найти токи в ветвях схемы рис. 1.13, в которой Е1 = 80 В, Е2 = 64В, R1= 6 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 3 Ом, R4= 10 Ом.
Рис. 1.13
Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 1.13 b=3; bИТ=0; y=2.
Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение y-1=1:
.
По второму закону Кирхгофа составим два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.
Для контура R1E1R2E2
.
Знак плюс перед I1R1 взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура, а знак минус перед I2R2 потому, что направление I2 встречно обходу контура.
Для контура E2R2R3R4:
.
Совместное решение трех уравнений дает
I1 = 14 A, I2 = -15 A, I3 = -1 A.
В рассматриваемом примере отрицательными оказались токи I2 и I3, это следует понимать так, что в действительности токи I2 и I3 направлены в обратную сторону.
Метод контурных токов
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором в качестве неизвестных принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, составляемых для схемы по второму закону Кирхгофа. Преимуществом этого метода, по сравнению с методом на основе законов Кирхгофа, является меньшая вычислительная работа, так как в нем меньше уравнений.
Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 1.14, содержащей два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I11 , а в правой (также по часовой) - контурный ток I22. Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что в смежной ветви (с сопротивлением Rs) течет сверху вниз ток I11 - I22. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.
Для первого контура
или
. (1.24)
Для второго контура
или
. (1.25)
Рис. 1.14
В уравнении (1.24) множитель при токе I11, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R11, множитель при токе I22 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус), – через R12.
В уравнении (1.25) множитель при токе I22, являющийся суммой сопротивлений второго контура, обозначим через R22, множитель при токе I11 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус), – через R21.
Перепишем эти уравнения следующим образом:
Здесь
где R11 и R22 - полное или собственное сопротивление первого и второго контуров соответственно; E11 и Е22 - контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС этих контуров; R12 = R21 -сопротивление смежной ветви между первым и вторым контуром, взятое со знаком минус, так как контурные токи по ветви протекают встречно.
Если в схеме больше контуров, например три, то система уравнений в общем виде выглядит следующим образом:
(1.26)
В результате решения системы уравнений (1.26) какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.
В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами, найденный контурный ток является истинным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяются токи ветвей.
Если в электрической цепи имеется n независимых контуров, то число уравнений тоже равно n.
Общее решение системы n-уравнений относительно тока Ikk таково:
, (1.27)
где - определитель системы.
.
Алгебраическое дополнение ∆km, получено из определителя ∆ путем вычеркивания k-го столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на (-1)k + m.
Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Если для схемы рис. 1.15 принять, что контурный ток I11 = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток I22 = I3 замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током I22:
.
Отсюда и ток второй ветвиI2=I11-I22=J-I22 .
1
E3
Рис. 1.15