Постановка задачи численного расчёта.

Для решения исходной задачи воспользуемся системой (26) и, для удобства, третьим уравнением

Решение будем рассматривать в области

Рассмотрим несколько примеров с конкретными значениями параметров и заданной функцией .

Пример 1. В качестве функции выберем . Тогда исходное уравнение примет вид:

В качестве начального условия возьмём функцию

Дифференцируя (47) по и полагая , , получаем следующее уравнение:

Используя метод характеристик, получаем:

А значит,

Следовательно, , .

Из равенства

cледует .

При а значит,

То есть

Выразив , получаем:

Как видно, решение получилось глобальное, т.е. определена для любого .

Интегрируя, получаем решение исходной задачи – функцию :

Очевидно, что чем больше значение , тем ближе значения функции к нулю. Также можно заметить, что график функции будет симметричен относительно плоскости или .

Теперь найдём решение исходного уравнения с помощью метода дополнительного аргумента.

Имеем:

Второе уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно. Тогда

Подставляя , получаем

Вспоминая, что получаем:

Т.е.

Третье уравнение можно рассматривать как линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно переменной.

Помножим обе части уравнения на

Тогда левая часть уравнения будет производной функции :

И

Тогда, интегрируя, получаем:

Следовательно, функция будет равна

Подставляя находим постоянную :

Тогда

Итак, для программы численного решения исходного уравнения, потребуется три уравнения:

Возьмём , тогда:

Программа численного решения будет основываться на методе последовательных приближений. Поэтому запишем начальные функции, которые будут использоваться для вычисления начальных приближений (подставляем в эти три уравнения ):

Уравнение

не содержит функции , поэтому можно ограничиться вычислением , и затем, пользуясь результатами вычислений , найти из уравнения:

Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями.

Для нахождения функции будут использоваться приближённые сеточные функции. Для простоты воспользуемся равномерной сеткой.

Задача численных расчётов – найти значения функции в узлах сетки и воспроизвести результат на графике. Конечной целью является графическое воспроизведение функции .

Введём три индексные переменные , соответствующие переменным , где – число значений , а число значений . Также необходимо ввести не только индексные, но и физические ограничения. Для абсциссы это будет число , а для времени – . Значения хранятся в массиве

Для того чтобы находить значения функции в конкретной точке , необходимо инициализировать три массива:

– массив значений функции

– массив значений функции

– массив значений функции

Зная, что функции определены на равномерной сетке нетрудно вычислить шаг сетки по и по :

Опишем метод, на котором основано численное интегрирование сеточных функций. Пусть дана следующая задача:

где – известная функция, а - неизвестная функция, которую нужно определить. Сама функция представляетя собой некоторый график:

Известно, что физический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Будем рассматривать метод трапеций как наиболее точный при небольшой затрате процессорного времени на вычисления. Зададим сеточные функции и , будем считать параметром массива, притом . Очевидно, что при большом значении , а, следовательно, при большем количестве узлов, мы получим более точное решение. Итак, как известно, площадь трапеции определяется по формуле:

где – стороны трапеции. В нашем случае мы будем иметь следующую формулу:

Теперь можно записать окончательную формулу для :

В нашей программе, соответсвенно, все интегралы будем считать с помощью цикла .