Ряды Фурье с периодом

Как уже было отмечено, сумма ряда Фурье с периодом является периодической функцией с периодом. Поэтому функции с периодоместественно раскладывать в ряд Фурье с периодом. Аналогично функции с периодом ()естественно раскладывать в тригонометрический ряд

,

члены которого являются периодическими функциями с периодом (тригонометрический ряд с периодом ). С помощью заменыотрезокпреобразуется в отрезок, а указанный ряд сводится к тригонометрическому ряду с периодом. Поэтому для него справедливы аналоги теорем (3.7), (3.8), (3.9), при этом роль отрезкаиграет отрезок. Соответственно для функции, интегрируемой на отрезке,рядом Фурье с периодом называется тригонометрический ряд с периодом , коэффициенты которого определяются формулами

, ,.

(3.8)

Если - четная функция, то формулы (3.8) принимают вид

, ,.

(3.9)

Если - нечетная функция, то формулы (3.8) принимают вид

, ,.

(3.10)

Пример 3.8. Разложить функцию , заданную на отрезке, в ряд Фурье: 1) по синусам; 2) по косинусам; 3) получить одно из разложений общего вида. Для каждого случая построить графики периодического продолжения функциии суммы ряда Фурье.

Решение. 1) для того, чтобы получить разложение функции по синусам на, продолжим сначала функциюна полуинтервалнечетным образом:

рис. 3.1

Тогда периодическое продолжение функции на всю числовую ось, то есть нечетное продолжение функции , изображено рис. 3.1. Функция ограничена на отрезке (длины периода), а кроме того, непрерывна и монотонна (возрастает) на каждом из интервалови, а следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке. Таким образом,

по теореме Дирихле функция раскладывается в каждой точке непрерывности на отрезке , а по периодичности и на всей числовой оси, в сходящийся к ней ряд Фурье, причем сумма ряда Фурье определена на всей числовой оси, является периодической с периодом (так же, как и функция ), и на отрезке длины периода удовлетворяет условиям:

, , следовательно,,;

;

.

Найдем коэффициенты Фурье по формулам (3.10): ,;

.

Таким образом,

.

График суммы ряда Фурье изображен на рис. 3.2.

рис. 3.2	рис. 3.3

2) для того, чтобы получить разложение функции по косинусам на, продолжим сначала функциюна полуинтервалчетным образом:

Тогда периодическое продолжение функции на всю числовую ось, то есть четное продолжение функции , изображено рис. 3.3. Функция непрерывна на отрезке (длины периода), а следовательно, ограничена на нем, кроме того, монотонна на каждом из интервалови, а следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке. , а в таком случае функция непрерывна сей числовой оси. Таким образом, по теореме Дирихле функция раскладывается на отрезке , а по периодичности и на всей числовой оси - в сходящийся к ней ряд Фурье, причем сумма ряда Фурье определена на всей числовой оси, является периодической с периодом (так же, как и функция ), и на отрезке длины периода удовлетворяет условиям:

, , следовательно,,;

Найдем коэффициенты Фурье по формулам (3.9): ,

;

.

Таким образом,

.

График суммы ряда Фурье совпадает с графиком периодического продолжения (рис. 3.3).

3) разложение общего вида функции получим, используя уже вычисленные коэффициенты. Продолжим сначала функциюнулем на полуинтервал:

а затем рассмотрим периодическое продолжение функции на всю числовую ось (оно же будет периодическим продолжением функции ) (рис. 3.4). Поскольку, то значит ее разложение в ряд Фурье

, ,

где

, ,

то есть функция раскладывается в ряд Фурье по синусам и косинусам:

.

При этом

, .

График суммы ряда Фурье изображен на рис. 3.5.

рис. 3.4	рис. 3.5