1 Критерий базиса.

𝒜_n базис ⇔ 𝒜 линейно независима.

2 Критерий базиса.

𝒜_n базис ⇔ 𝒜_n полная система.

Доказательство: 𝒜_n линейно независима ∀𝑎̅∊V

𝒜_n+1=(𝑎₁,𝑎₂, …, 𝑎_n,𝑎̅) – линейно зависима.

𝒜_n+1 линейно зависима через базис.

n+1 ≥ n по теореме о линейной зависимости, что 𝑎_n+1 – линейно зависим ⇒

_{Если коэффициент при 𝑎 не 0 то 𝑎 выражается ⇒ полная система.}

_{Если коэффициент при 𝑎=0 то не существует 𝑎n+1 элементов ⇒ противоречие.}

_{Пусть 𝒜n – полная.}

_{∀𝑎̅ из V}

_{[e̅1, e̅2,…, e̅n]=V}

_{𝒜n – полная [𝒜n] = V}

_{Отступление: Ранг системы векторов.}

_{Пусть дано 𝒜n.}

_{Определение: Максимальное число линейно независимых векторов, называется её рангом, а векторы входящие в это число образуют ранговую подсистему.}

_{𝒜n – полная [𝒜n] = V}

_{r = rang 𝒜n= rang𝒜r}

_{𝒜r ⊂ 𝒜n}

_{𝒜r - ранг подсистемы.}

_{Справедливы следующие утверждения:}

1. _{Любая система 𝒜n линейно выражается через любую свою ранговую подсистему.}

2. _{Линейная оболочка совпадает с любой своей оболочкой подсистемы.}

3. _{[𝒜r] = [𝒜n]}

_{dim[𝒜r] = dim[𝒜n]=r}

3Критерий базиса.

_{Замена базиса.}

_{V – векторное пространство, dimV=n}

_{Имеется базис e̅1, e̅2,…, e̅n}

_{i′ - №столбца}

_{i - №строки}

_{1столбец – координаты 1 вектора}

_{2столбец – координаты 2 вектора}

_{…………………………………………………..}

_{Эйнштейн предложил писать так e̅i′ = ti′}ⁱ_ei

_{Если один и тот же индекс встречается 2 раза, 1 раз вверху и один раз внизу, предполагается, что по этому индексу осуществляется суммирование в заданных индексах. (Немой индекс) Все прочие индексы могут быть и верхними, и нижними, свободное указание.}

_{Формулировка 3 критерия базиса.}

_{Система е′ (упорядоченная) является базисом ⇔ матрица перехода Т для этой системы исходного базиса – невырождена, её определитель не нуль.}

_{Доказательство:}

- элементы обратной матрицы

_{Ранг системы векторов.}

_{См. отступление.}

_{Элементарные преобразования системы векторов.}

1. _{Перемена местами 2 векторов в системе.}

2. _{Умножение какого-либо вектора системы на любое не нулевое число.}

3. _{Прибавление к какому-либо вектору любого другого вектора.}

4. _{Отбрасывание с противоположным(прибавление) знаком любого не нулевого вектора.}

_{Лемма1: Каждое элементарное преобразование обратимо.}

_{Лемма2: Две системы векторов 𝒜n и 𝓑k называются эквивалентными, если одна из другой получается элементарными преобразованиями.}

_{Если 𝒜n эквивалентно 𝓑k , то ранг𝒜n равен рангу𝓑k}

_{dim[𝒜m]=rang𝒜m}

_{Подпространство натянутые на эквивалентные системы имеют одну и ту же размерность.}

_{𝒜m линейно выражается через 𝓑n∼𝒜m⊂[𝓑n].}

_{В силу свойства транзетивности линейной выражаемости, которое мы применяем в следующей ситуации:}

_{[𝒜m] Линейно выражается через 𝒜m и 𝒜m линейно выражается через 𝓑n ⇒ [𝒜m] линейно выражается через 𝓑n ⇒ [𝒜m]⊂[𝓑n] – по свойству транзетивности линейной выражаемости.}

_{Если системы векторов эквивалентны:}

_{Пусть одна система получается элементарными преобразованиями из 𝓑n.}

_{Система 𝒜m получается элементарными преобразованиями из 𝓑n ⇔ 𝒜m линейно выражается через 𝓑n⇒[ 𝒜m]⊂[𝓑n].}

_{Если 𝒜m∼𝓑n.⇔ [𝒜m]=[𝓑n]⇔𝒜m и 𝓑n линейно выражаются одна через другую.}

_{Ранг матрицы.}

_{Берем произвольную прямоугольную матрицу}

_{Рангом матрицы 𝒜 – называется ранг системы столбцов.}

_{rang𝒜 ≝ rang𝒜∙n}

_{Следствие}

1. _{rang𝒜 ≤ n}

2. _{Так как 𝒜∙n⊂R}^m_{⇒ rang𝒜 ≤ m}

_{Мысленно перебераем миноры матрицы.}

_{Рассмотрим миноры порядка k, 1 ≤ k ≤ min(m,n)}

_{Обязательно найдется ненулевой минор высшего порядка.}

_{Он всегда существует для каждой фиксированной тматрицы.}

_{Теорема о ранге матрицы.}

_{Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы.}

_{Замечание: Если все миноры порядка k равны нулю, то равны нулю и все миноры более старшего порядка( более высоких порядков, если они есть).}

_{По теореме Лапласа: более высокий минор можно разложить по минорам наименьшего порядка.}

_{Доказательство: Обозначим r наивысший порядок миноров матрицы отличных от нуля.}

_{Предположим, что некоторый минор стоит в левом верхнем углу( r первых столбцов занимаем этот минор).}

_{Если D≠0, то r – наивысший порядок отличный от нуля.}

_{∆i=0 при r≤i≤m, т.к. в этом случае ∆i – минор матрицы А порядка r+1 для любого i ∆i=0⇒Мы приходим к выводу, что ∆i=0 ∀1≲i≲m.}

_{Каждый столбец с номером l ≥ r есть линейная комбинация первых r столбцов.}

_{Это означает, что первые r столбцы образуют ранговую подсистему системы всех столбцов.}

_{Мы рассмотрели случай, когда минор в левом верхнем углу. А если в другом месте? Общий случай сводиться к рассмотренному путем перемены местами строк и столбцов. Тогда наш минор всегда загониться в левый верхний угол.}

_{При этом не ранг матрицы, не порчее не меняется.}

_{Следствие 1}

_{Если исходная матрица квадратная m = n , то мы получаем, что определитель её равен нулю ⇔ система её столбцов линейно зависимая.}

_{Получаем критерий равенства нуля определителя.}

_{Вспомним свойство определителя, как транспонирование.}

_{При транспонирование определитель не меняется.}

_{Определитель – ранг матрицы – ранг системы её столбцов}

_{Определитель – наивысший порядок отличен от 0}

_{Определитель – ранг системы её строк}

_{Способы вычисления рангов:}

1. _{Метод окаймляющих миноров}

2. _{Метод элементарных преобразований}

_{Алгоритм:}

1. _{Смотрим, перебираем все миноры 1-го порядка:}

_{а) все они 0 ⇒ матрица нулевая, ранг = 0}

_{б) Существует по крайней мере один не нулевой минор, ранг не меньше 1.}

2. _{Перебираем все миноры 2 порядка:}

_{а) все миноры 2-го порядка 0, то ранг = 1}

_{б) среди миноров 2-го порядка есть не нулевой, ранг≥2}

3. _{……( и т.д. перебирать)}

_{Но метод №1 надо перебирать на 2 шаге не все миноры, а окаймляющие, тот минор не нулевого порядка(т.д. надо рассматривать только лишь окаймляющие найденного не нулевого минора).}

_{Пример на метод окаймления:}

_{1) Существует минор 1-го порядка, например 𝑎11=2≠0 ⇒ r≥1}

₂₎

₃₎

_{Теорема: С помощью элементарных преобразований систем векторов строк и векторов столбцов.}

_{Всегда можно получить единичную матрицу, порядок которой равен рангу исходной матрицы.}

_{Ранги матрицы(продолжение).}

_{Ранг произведения матриц не выше рангов каждого из сомножителей.}

_{А ∙ В = С}

_{mxn nxl mxl}

_{i-ая строка Ci матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В}

_{[C1∙,C2∙, ,C m]⊂[b1∙,b2∙,…,bn∙]⇒[CM∙]⊂[BN∙]⇒rangC≤rangB}

_{Следствие:}

_{Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на квадратную невырожденную матрицу Q равен рангу матрицы А.}

_Д

C = A x Q (или C=Q x A)

mxn nxn mxm mxn

оказательство:

_{а) C=AxQ⇒rangC≤rangA}

_{|Q|≠0⇔∃Q}^-1

_CxQ^-1_=AxQxQ^-1_{=A⇒rangA≤rangA⇒rangA=rangC}

_СЛАУ

_{Критерий совместности СЛАУ}

_Ax=B

_{Частным решением такой системы называется всякий упорядоченный набор, при подстановки которых уравнения становятся верным числовым неравенством.}

_{Теорема Кронекера-Капелли(критерий совместности СЛАУ)}

_{СЛАУ совместна⇔ ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной её матрицы rangA≤rangA̅}

_{Доказательство:}

_{Необходимость:Если система совместна, следовательно ранг совпадает.}

_{Пусть (1) совместна, значит существует решения ,при подстановки которых получаем верные равенства.}

- верно ⇒В линейная комбинация столбцов матрицы А⇒rangA=rangA̅

_{Если Ar – ранг системы столбцов матрицы А, то она будет ранговой и для А̅.}

_{Линейные оболочки столбцов А и столбцов А̅ - одинаковы ⇒ ранги одинаковы.}

_{И наоборот:}

_{Достаточность: Пусть ранги одинаковы.}

_{Берем Аr ранговая подсистема системы столбцов матрицы А. она же будет ранговой подсистемой системы столбцов матрицы А̅, и как была так и остается линейно ⇒ если мы ранговой подсистеме добавляем вектор любой подсистемы, то мы получаем систему линейно зависимую ⇒ существуют такие числа (λ1,λ2,…,λr) что λ1(α∙1)+ λ2(α∙2)+…+ λr(α∙r)=В ⇒ упорядоченный набор чисел λ=(λ1,λ2,…,λr,0,0,0,…,0) – решение СЛАУ.}

_{Т.е. система совместна.}

_{Алгоритмы решения СЛАУ.}

1. _{Исследование на совместность.}

2. _{Находим решение}

_{В случае совпадения двух, фиксируем ранговый минор, то есть минор наивысшего порядка = k. Какой-то один (их несколько).}

3. _{Как только выбран ранговый (базисный) минор, нужно разбить неизвестные на две группы}

_{1 группа – основные неизвестные, т.е. из коэффициентов при которых состовляем ранговый минор. Неизвестные с теми номерами, которые имеют столбцы, в которых стоит ранговый минор.}

_{2 группа – свободные неизвестные.Т.е. все остальные(n-r).}

4. _{Все уравнения, коэффициенты из которых не входят в ранговый минор – вычеркиваются, остаются только r-уравнений. Потому что все остальные строки – решение линейно-ранговой подсистемы. Все члены со свободными неизвестными переносятся в правые части. Получается новая подсистема с числом неизвестных r. Имеется новая СЛАУ – квадратная относительно основных неизвестных. Но в правой части комбинация с коэффициентами неизвестных. Свободным неизвестным придаем мысленно какие-либо значения, фиксируем, т.е. получаем полную новую систему, но их бесконечное множество. Система получается крамеровской. Определитель ≠0⇒ всякая такая система, получающаяся фиксацией, будет иметь одинаковые решения, которые можно найти по формуле Крамера. Но т.к. свободных членов >0(0,когда n=r), то сводится к виду трапеции.}

_{Важнейший случай СЛАУ.}

_{Однородные СЛАУ – называется однородной, если все её свободные члены нули( столбцов свободных членов 0).}

- приведенная однородная система

_{1≤i ≤m}

- в вещественном виде

- в комплексном виде

_{L – множество решений однородной СЛАУ(1).}

_{Теорема о L подпространство в R}ⁿ

_{Сумма любых двух решений вновь решение.}

_{λ=(λj) и β=(βj)∊L}

_{γ=λ+β=(γj=λj+βj)⇒}

_{Система совместна всегда, так как есть всегда 0 решений.}

_{Теорема о базисе и размерности пространства решений однородной СЛАУ.}

_{Пусть задана произвольная однородная СЛАУ(1).}

1. _{r=rangA=rang(αij) (r≤m)}

2. _{фиксируем ранговый минор, не ограничивая общности.}

3. _{Разбиваем на 2 группы}

_{x1, x2,…, xr - основные}

_{xr+1, xr+2,…, xn - свободные}

_{1≤i≤r, n≤m}

	xr+1	xr+2	.	.	xn
λ 1	λ 1,r+1	λ 1,r+2	.	.	λ 1,n
λ 2	λ 2,r+1	λ 2,r+2	.	.	λ 2,n
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
λ n-r	λ n-r,r+1	λ n-r,r+2	.	.	λ n-r,n

_{n-r – серия свободных неизвестных, определитель должен быть отличен от нуля.}

_{λ 1=(λ1,1,…, λ1,r, λ1,r+1,…, λ1,n)∊L}

_{λ 2=(λ2,1,…, λ2,r, λ2,r+1,…, λ2,n)∊L}

_{…………………………………}

_{λ n-r=(λn-r,1,…, λn-r,r, λn-r,r+1,…, λn-r,n)∊L}

_{Пусть β – произвольные решения}

_{β =(β1,…, βr, βr+1,…, βn) , где (β1,…, βr) – основные, (βr+1,…, βn) – свободные.}

_{Пример:}

_dimL1

_rangL1=2

_rangL2=2

_{Связь решений произвольной СЛАУ и её приведенной однородной.}

_{Теорема 1. Разность любых двух решений СЛАУ(1) будет решением её приведенной системы.}

_{Теорема 2. Сумма любого частного решения системы(1) и любого решения системы(2) является частным решением системы(1).}

_{Теорема 3. Сумма любого частного решения системы(1) и общего решения его приведенной системы(2) является общим решением системы(1).}

_{Доказательство Т.1.}

_{Доказательство Т.2.}

_{Доказательство Т.3.}

_{В силу Т.2 сумма любого частного решения системы(1) и любого решения системы(2), будет новым частным решением системы(1).}

_{Берем любое решение системы(1) λ=(λj)}

_{β=(βj) тоже любое решение системы(1).}

_{Фиксируем.}

_{γ=λ-β(по Т.1)⇒решение системы(2) (по Т.2)⇒λ=λ+β}

_{Линейные отображения векторных пространств(Морфизмы).}

_{Обратное отображение – есть композиция f с g - это id на y, и наоборот id на x.}

_{Рассмотрим 2 векторных пространства. V,W – векторные пространства на одном и том же числовом полем P(≡Rn,Cn)}

_{1. Говорят, что отображение φ линейно, если оно сохраняет линейные операции, т.е. образ суммы любых двух векторов равной сумме их образов.}

_{2. Произведение образ на число равно произведению образа этого вектора на число}

_{Теорема: Условие линейности 1.+2.⇒равносильны следующие условия:}

_{4. Образ любой линейной комбинации векторов равен линейной комбинации образов этих векторов с теми же самыми коэффициентами.}

Отображение: Правило ставит (x, f, y) в соответствие элементу из первого множества – единственный элемент из второго множества.

Обратное отображение существует  когда исходное отображение биективно.

Любой инъективный гоморфизм – мономорфизм.

Любой сюръективный гоморфизм – эпиморфизм.

Любой биективный гоморфизм – изоморфизм.

Два вектора пространства V и W называют изоморфными, если между ними можно установить изоморфное соответствие.

Координатный изоморфизм.

– гомоморфизм.

– базисV.

;

Соглашение о суммирование. Если в некотором выражении с индексом один и тот же индекс встречается два раза как верхний, так и нижний индекс, то предполагается, что по данному индексу в выражении произведено суммирование в данном (от e до n) отрезке.

(2)

– лин.

Координаты суммы равны сумме координат и с произведением на число.