4.4 Показательная и логарифмическая функции

1. Показательная функция e^z определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = х + iу

e^z = e^{x + iy} = e^x(cos y + i sin y). (21)

Второе равенство в (21) получается, если принять по определению е^{х + iу} = е^хе^iу и применить к е^iу формулу Эйлера . Из (21) следует, что

|e^z| = |е^x+iу| = е^x, Arg e^z = у + 2 πn.

Определение (21) и свойства функции е^iφ позволяют легко доказать, что функция e^z обладает обычными свойствами показательной функции:

e^z1+z2 = e^z1e^z2; e^{z1 – z2} = e^z1/e^z2; (e^z)ⁿ = e^nz.

Докажем, что функция e^z будет аналитической во всей комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши—Римана (7). Если w = u + iv, то в силу (21) u + iv = е^х cos у + iе^х sin у, откуда u = е^х cos у, v = e^x sin y;

Таким образом, условия (7) выполнены, и аналитичность функции e^z доказана. Чтобы вычислить производную (e^z)’, воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:

.

Следовательно, для производной функции e^z имеет место обычная формула

(e^z)’ = е^z .

Следующее свойство функции e^z не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция e^z является периодической с чисто мнимым периодом 2πi. В самом деле, для любого целого n

e^{z +2πni} = e^x(cos(y + 2πn) + i sin(у+2πn)) = е^x(cos y + i sin y) = e^z.

Из периодичности функции w = e^z следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = х₂ + iy₂. В силу (21), равенство e^z1 = e^z2 равносильно следующим условиям:

e^x1 = e^x2, cos y₁ = cos y₂, sin y₁ = sin y₂,

откуда следует х₁ = x₂, y₁ = y₂ + 2πn, где n — произвольное целое число, или

z₁ – z₂ = 2πni. (22)

Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = e^z в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (22). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2π, например полосы

{z : - ∞ < х < ∞, 2πk < у < 2 π(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = e^z = e^xe^iy = ρe^iθ для которых, в силу равенств ρ = е^х, θ = у, имеем

0 < ρ < ∞, 2πk < θ < 2π(k + 1).

Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При этом прямые у = у₀ (показаны на рис. 7, а пунктиром) переходят в лучи θ = у₀ (рис. 7б), а интервалы x = x₀, 2πk< у < 2π(k + 1) (показаны сплошными линиями (рис. 7)

для k = 0) — в окружности ρe^x0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 π показательная функция e^z отображает в углы 0 < θ < h. В частности, полоса 0 < Im z < π переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Логарифмической функцией называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция e^z не является однолистной в С, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = e^w. Положим

w = u + iv, z = r e^iφ = re^{iArg z}.

Тогда

re^{iArg z} = z = e^w = e^{u + iv} = e^ue^iv.

Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что

r = e^u, e ^{i Arg z} = e^iv. (23)

Из первого равенства находим u = ln r, где ln r — обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (23) дает v = Arg z. Таким образом,

Lnz = ln |z| + i Arg z. (24)

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и ∞, формула (24) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 πki, где k — любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 πk, - π < arg z ≤ π,

где arg z — главное значение аргумента. Тогда формула (24) примет вид

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2πk ). (25)

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции e^z. Таким образом, для каждого фиксированного k формула (25) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу

- π + 2 πk < Im w < π + 2πk.

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln |z| + i arg z.

Например, ln i = ln 1 + iπ/2 = iπ/2; ln(-i) = ln 1 — iπ/2 = —iπ/2. Если приближаться к точке z = — 1 по верхней полуплоскости у > 0, то ; если по нижней, — то .

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 8. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ∞,

располагается бесконечно много точек (рис. 8)

римановой поверхности. В точках 0 и ∞ функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = ∞ называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 8 наглядно демонстрирует причину того, что : если предположить, что точки — 1 ± h, h > 0, находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h, к нулю, то предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом θ к оси ОХ. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = e^iφ

Ln z = ln r + i(φ + 2πk), θ < φ < θ + 2 π.

Формула (25) является частным случаем при θ = - π. Производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по формуле , аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (e^z)’ = e^z и формулы (19) производной обратной функции. Действительно, обратной к w = f(z) будет функция z = e^w. Отсюда и из (19) получаем

.