Свойства

Математическое ожиданиеидисперсиягеометрического распределения соответственно равны:

, где 

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величинывероятность принять любое свое значениев точности равна. Справедливо следующее утверждение:

Теорема. Пусть для любого. Тогда для произвольных

Данному равенству можно придать следующее звучание: если известно, что устройство уже проработало без отказа часов, то вероятность ему работать еще не менеечасов точно такая же, как вероятность проработать не менеечасов для нового устройства.

Геометрическое распределение неустойчиво.

14. Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение.

Пример 6. Из урны, в которой белых и чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают шаров, . Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано белых и чёрных шаров.

Решение. При или искомая вероятность равна нулю, так как соответствующее событие невозможно. Пусть и .

Результатом эксперимента является набор из шаров. Можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров, вероятность не должна зависеть от способа подсчёта.

Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества, состоящего из элементов: (по теореме 3).

Обозначим через событие, вероятность которого требуется найти. Событию благоприятствует появление любого набора, содержащего белых шаров и чёрных. Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать белых шаров из и числа способов выбрать чёрных шаров из , т.е. . Вероятность события равна

(1)

Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить элементов на местах: по теореме 2,

При подсчёте числа благоприятных исходов нужно учесть число способов выбрать белых и чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди . Можно, скажем, посчитать число способов выбрать мест среди (равное ), затем число способов разместить на этих местах белых шаров (равное ), и затем число способов разместить на оставшихся местах чёрных шаров (равное ). Перемножив (почему?) эти числа, получим

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из белых и чёрных шаров вероятность получить этот набор при выборе шаров из урны, содержащей белых и чёрных шаров.

Определение 8. Соответствие между числом и вероятностью

(где таково, что , и ) называется гипергеометрическим распределением.

Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином «распределение» вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами на вещественной прямой.

В гипергеометрическом распределении единичная вероятность распределена между подходящими целыми числами неравномерно. Каждому целому числу сопоставлена своя вероятность . На вещественной прямой можно единичную вероятность распределить по-разному. Этим одно распределение отличается от другого: тем, на каком множестве чисел «распределена» общая единичная вероятность, и тем, какие веса, или вероятности, присвоены отдельным точкам или частям этого множества.

14. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, его вероятностный смысл, свойства.