- •Поверхностные интегралы
- •Составители: с.Н. Алексеенко
- •Предисловие
- •Определение направляющих косинусов нормами
- •Площадь поверхности
- •Сторона поверхности
- •Орентация поверхности.
- •Поверхностные интегралы первого типа
- •Поверхностные интегралы второго типа.
- •Формула остроградского-гаусса
- •Формула интегрирования по частям
- •Формула грина
- •Формула стокса
- •Литература
- •Задания
Поверхностные интегралы первого типа
Пусть - некоторая двусторонняя гладкая (или кусочно – гладкая) поверхность, ограниченная кусочно – гладким контуром. Пусть на этой поверхности (т.е. в каждой точке поверхности) определена функция.Разобьём поверхность с помощью сети произвольно проведённых кусочно-гладких кривых на части,…,Выбрав в каждой частипроизвольным образом одну точку, вычислим в этой точке значение функции=и умножив его на площадь
,
которая называется интегральной суммой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Конечный предел этой интегральной суммы при бесконечном уплотнении разбиения поверхности , не зависящий ни от способа разбиения поверхностини от выбора точекв пределах каждой частиназывается поверхностным интегралом первого типа от функциипо поверхностии обозначается символом
,т.е.
.
ТЕОРЕМА. Пусть имеется незамкнутая гладкая поверхность заданная явным уравнением. Положим, что прямые, параллельные осипересекают поверхность, не более чем в одной точке, и пустьпроекцияна плоскость
Тогда, какова бы не была функция , определённая в точках поверхностии ограниченная:, имеет место равенство
в предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование второго).
ЗАМЕЧАНИЕ. Так как то формулу (*) можно записать и так:.
Доказательство теоремы. Разложим поверхность на части,,…,с помощью сети произвольно проведённых кусочно – гладких кривых. Спроектируем линии разбиения на плоскостьи получим соответствующее расположение области:. Между построенными разложениями областейимеется то соответствие, что если к нулю стремятся диаметры частей, то к нулю стремятся диаметры частейинаоборот. Выберем в каждой части точкуи составим интегральную сумму
=По определению=.
В силу общей формулы для площади поверхности
=
Обозначим , то есть=.
По теореме о среднем, , где, [- не произвольные, а фиксированные точки, определяемые теоремой о среднем].
В результате получим . Интегральная суммаотличается от интегральной суммы для интеграла:
тем, что в значенияпроизвольно в пределах, а взначения аргумента функции фиксировано теоремой о среднем.
Рассмотрим . Пусть – произвольно малое число. В силу равномерной непрерывности функциипри достаточно малых диаметрах областейбудет
. Отсюда следует, что , то есть
. Так что .
Это значит, что из существования одного предела следует существование другого и обратно. По определению это означает, что
, что и т. д.
ЗАМЕЧАНИЕ В частности двойной интеграл
существует в предложении непрерывности . Напомним, что непрерывность функций,,предполагалось при определении поверхности (только тогда эта функция обозначалась как).
ЗАМЕЧАНИЕ Если или близок к нулю, или по каким-либо другим причинам, поверхностный интеграл первого типа можно с равным успехом выразить через проекции на другие координатные плоскости.
Именно, если , то.
Или если , то.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если , то для любой непрерывной ограниченной функциибудет справедливо равенство.
Если , то
.
Если , то, поэтому эти равенства справедливы и в этом случае.
Доказательство. В основной формуле
возьмём .
СЛЕДСТВИЕ 2. Если , то для любой непрерывной ограниченной функциибудет справедливо равенство
Если , то
.
СЛЕДСТВИЕ 3. Если то для любой непрерывной ограниченной функциибудет справедливо равенство
.
Если , то
.
ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах математической физики часто возникает необходимость выразить поверхностный интеграл первого типа
взятый по поверхности сферы радиуса в сферических координатах. Выведем соответствующую формулу. Рассмотрим отдельно верхнюю и нижнюю часть сферы. Они выражаются явной формулой:
Пусть
По формуле
, .
На плоскости введем координаты:
,
,
(т.е. точка на плоскости рассматриваемая как проекция точки на сфере), и произведем замену переменных интегрирования.
Якобиан перехода
Кроме того
Для верхней половины
.
Для нижней половины с учетом того, что якобиан берется по абсолютной величине
Складывая, получаем требуемую формулу: