3.2. Элементарный и полный импульс силы

Действие силы на материальную точку за малый промежуток временихарактеризуется элементарным импульсом силы, определяемым по формуле

.

Полный импульс силыза времяопределяют по формуле

. (4.7)

Проецируя на оси координат, получим

;

; (4.7^/)

.

В системе единиц (СИ) импульс силы измеряется в кг · м / с или Н · с.

.

3.3. Теорема об изменении количества движения для точки

Представим дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы в виде

,

где - масса материальной точки,

- скорость движения материальной точки.

Если масса материальной точки постоянна, то ее можно внести под знак производной, тогда получим

. (4.8)

Формула (4.8) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме, которая формулируется следующим образом: первая производная по времени от вектора количества движения материальной точки равна действующей на точку силе.

Проецируя (4.8) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.8^/)

,

где ,,- проекции вектора скорости точкина оси координат.

Умножив обе части равенства (4.8) на , получим

. (4.9)

То есть дифференциал от вектора количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Проецируя (4.9) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.9^/)

.

Проинтегрировав обе части равенства (4.9) в пределах от нуля до t, получим

, (4.10)

где – скорость точки в момент времениt,

–скорость точки в момент времени t₀ = 0,

–импульс силы за время t.

Уравнение (4.10) представляет собой теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной или конечной форме, которую формулируют следующим образом: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на эту точку за этот же промежуток времени.

Проецируя выражение (4.10) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.10^/)

.

3.4. Теорема об изменении количества движения для системы

Рассмотрим механическую систему из n точек. Пусть к каждой точке системы массой и движущейся со скоростьюприложены равнодействующая всех внешнихи всех внутреннихсил. Применяя теорему об изменении количества движения для каждой точки системы (4.8), получим

, .

Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим

.

Учитывая свойство внутренних сил системы (4.1) и определение количества движения (4.5) системы

,,

получим

.(4.11)

Формула (4.11) выражает теорему об изменении количества движения для системы в дифференциальной форме. Эта теорема формулируется следующим образом: производная по времени от вектора количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя (4.11) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.11^/)

.

Таким образом, производная по времени от проекции вектора количества движения системы на какую-либо координатную ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Умножая обе части (4.11) на dt, получим

.(4.12)

То есть дифференциал от вектора количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на рассматриваемую механическую систему.

Интегрируя (4.12) по времени от нуля до t, получим теорему об изменении количества движения (теорему импульсов) для системы в конечной или интегральной форме

,(4.13)

где– вектор количества движения системы в моментt₀ = 0,

–вектор количества движения системы в момент t,

–импульс внешней силы, действующей на k – ю точку за время t;

.

Теорема об изменении количества движения для системы в интегральной форме (4.13) формулируется следующим образом: изменение вектора количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время.

Проецируя (4.13) на оси декартовой системы координат, получим

,,. (4.13^/)

Внешние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы и, следовательно, не могут напрямую влиять на изменение количества движения системы. Они могут влиять на изменение количества движения только через внешние силы.