Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

r

A

B

C

Условие перпендикулярности прямой и плоскости ( N || S )

=

=

.

m

n

p

Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрические урав-

нения прямой

x = mt + a,

y = nt + b,

z = pt + c, подставим в уравнение плос-

кости Ax + By + Cz + D = 0 вместо x,

y,

z их выражения через t. Получим

(Am+Bn+Cp) t +(Aa+Bb+Cc+D)=0.

(1)

1. Если ( A m + B n +Cp ) ≠ 0

(прямая

не параллельна плоскости), то находим

единственное решение

t0 = −

Aa +B b + C c +D

.

Am +B n +C p

Рис. 3.6

Подставляя это решение в исходное уравнение плоскости, находим x0,

y0,

z0 – координаты точки пересечения прямой и плоскости.

2. Если (Am+Bn+Cp) =0 ,

(Aa+Bb+Cc+D)≠0, то прямая

параллельна

плоскости.

(Aa+Bb+Cc+D) = 0, то уравнение (1) примет

3. Если ( Am +B n +Cp ) =0

и

вид 0 t = 0 , т.е. ему удовлетворяет любое t. А значит, любая точка прямой являетсяточкойпересеченияпрямойиплоскости, т.е. прямая лежитнаплоскости.

	x −a			y −b			z −c			x −a	2		y −b			z −c
Две прямые в пространстве		1	=		1	=		1	и			=		2	=		2
	m			n			p			m			n			p	2
	1			1			1			2			2

могут лежать в одной плоскости. В этом случае они либо пересекаются, либо параллельны. В этом случае эти прямые называются компланарными.

Условие расположения двух прямых в одной плоскости( условие компланарности):

	a1 − a2	b1 −b2	c1 −c2
	m1	n1	p1	= 0.
	m2	n2	p2

3.3.1. Примеры решения задач

Пример 1. Найти угол ϕ между прямой, проходящей через точки

A ( –1, 0, –5 ), B ( 1, 2, 0 ), и плоскостью x – 3 y + z + 5 = 0.

		Решение:
		В качестве направляющего			вектора прямой можно взять	вектор
___					имеет координаты { 1, –3, 1 }, то
	P	= AB{2, 2,5}. Так как вектор	N

61

sin ϕ =

N P =

1 2 −3 2 +1 5

=

1

,

N P

1+9 +1 4 + 4 + 25

11 3

1

o

ϕ = arcsin11

3 ≈ 3 .

Пример 2. Найти точку пересечения прямой

x −12

=

y −9

=

z −1

и

4

3

1

плоскости 3 x + 5 y – z – 2 = 0.

Решение:

Приводим уравнения прямой к параметрическому виду, приравнивая к t

каждое из трех данных отношений: x = 12 + 4 t, y =	9 +3 t, z = 1 + t.
Подставляем x, y, z в уравнение плоскости	3 (12 + 4 t) + 5 (9 + 3 t) –

(1 + t ) – 2 = 0, откуда получаем t = –3.

Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты:

x = 12 + 4(–3) = 0,

y = 9 + 3(–3) = 0,

z = 1 – 3 = –2.

Пример 3.

Найти проекцию B точки A ( 5, 2, –1 )

на плоскость

2 x – y + 3 z + 23 = 0.

Решение:

Вектор

{ 2,

–1, 3 },

перпендикулярный

к

данной плоскости,

N

будет направляющим вектором перпендикуляра AB (рис. 3.7).

Канонические уравнения этого пер-

А

пендикуляра имеют вид

N

x −5

=

y − 2

=

z +1

.

В

2

−1

3

Параметрические

уравнения

прямой

AB: x = 5 + 2 t, y = 2 – t, z = –1 + 3 t.

Рис. 3.7

Подставляя значения x,

y, z

из этих

уравнений в данное уравнение плоскости

2 (5 + 2 t) – (2 – t) + 3 (–1 + 3 t ) + 23 = 0, найдем

t = –2

–

значение парамет-

ра,

отвечающее т. B

как точке пересечения прямой

AB

с данной плоско-

стью.

Следовательно, xB = 5 + 2 (–2) = 1,

yB = 2 – (–2) = 4,

zB = –1 + 3 (–2) = –7,

т.е. B (1, 4, –7).

Пример 4. Найти проекцию B

точки

A (4,

3,

10)

на

прямую

x −1

=

y − 2

=

z −3

.

2

4

5

Решение:

Точка B – точка пересечения данной прямой с перпендикулярной к ней

62

плоскостью, проходящей через т.

A. Так как вектор

{ 2, 4, 5 } перпенди-

P

кулярен этой плоскости, то ее уравнение

2 (x – 4) + 4 (y – 3) + 5 (z – 10) = 0,

т.е. 2 x + 4 y + 5 z – 70 = 0.

Тем же методом, что и в предыдущей задаче, найдем т. B пересечения

данной прямой с найденной плоскостью: B (3, 6, 8).

3.3.2. Задачи для самостоятельного решения

1.

Найти угол прямой y = 3x – 1 , 2z = – 3x + 2 с плоскостью

2x + y + z – 4 = 0.

2.

Показать, что прямая

x +1

=

y +1

=

z − 3

параллельна плоскости

2

−1

3

2x + y – z = 0, а прямая

x +1

=

y +1

=

z + 3

лежит в этой плоскости.

−1

2

3

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (– 1, 2, – 3) перпендикулярно к прямой x = 2, y – z = 1.

4.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x−1 2 = y 2− 3 = z 3+1

иточку (3, 4, 0).

5.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x 1−1 = y 2+1 = z +2 2

перпендикулярно к плоскости 2x + 3y – z = 4.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

x −3

=

y

=

z −1

и

x +1

=

y −1

=

z

.

2

2

1

2

1

2

7. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4y = 3x, y = 0 и z = 0. Найти эти углы.

8.Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t с плоско-

стью 3x – 2y + z = 3.

9. Найти точку пересечения прямой	x	=	y −1	=	z +1	с плоскостью
	2
		1		1

x + 2y + 3z – 29 = 0.

10.Найти проекцию точки (3, 1, – 1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 = 0.

11.Найти проекцию точки (2, 3, 4) на прямую x = y = z.

12.Найти кратчайшее расстояние d между непараллельными прямыми:

63

x − a

=

y − b

=

z − c

и

x − a1

=

y − b1

=

z − c1

;

m

p

m

n

n

p

1

1

1

x +1

=

y

=

z −1

и

x

=

y +1

=

z − 2

;

1

1

2

1

3

4

Указание. Предполагая прямые в общем случае скрещивающимися, на-

рисуем параллельные плоскости, в которых они расположены. Из точек
А(a, b, c) и	А1(a1, b1, c1) проведем векторы	AB = A1B1			= Pr{ m; n; p} и
A = A1 = Pr	1{ m1; n1; p1}. Высота призмы ABCA1B1C1 и равна искомому
расстоянию.
13. Показать, что прямые x = z – 2, y = 2z + 1 и		x − 2	=	y − 4	=	z − 2
		3
			1		1

пересекаются, и написать уравнение плоскости, в которой они расположены.

14.Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2, 1, 0) на прямую x = 3z – 1, y = 2z.

15.Построить плоскость x + y – z = 0 и прямую, проходящую через точки A(0, 0, 4) и B(2, 2, 0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

16.Построить плоскость y = z, прямую x = – z + 1, y = 2 и найти: 1) точку их пересечения; 2) угол между ними.

17.Найти проекцию точки (3, 1, – 1) на плоскость 3x + y + z – 20 = 0.

18.

Найти проекцию точки (1, 2, 8) на прямую

x −1

=

y

=

z

.

−1

19.

2

1

Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

x −1

=

y +1

=

z − 2

и

x

=

y +1

=

z −1

.

1

3

1

− 2

− 2

3

20.

Показать, что прямые

x + 3

=

y +1

=

z +1

и

x = 3z – 4, y = z + 2 пересе-

1

2

1

каются, найти точку их пересечения.

21.

Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1, 0, – 1) на

прямую

x +1

=

y −1

=

z

.

1

2

− 3

22.

Найти кратчайшее расстояние между прямыми x = – 2y = z и x = y = 2.

23.

Доказать, что прямая

x = 3t – 2,

y = – 4t + 1,

z = 4t – 5 параллельна плос-

кости 4x – 3y – 6z – 5 = 0.

24.

Доказать, что прямая

5x − 3y + 2z − 5 = 0,

2x − y − z −1 = 0

лежит в плоскости 4x – 3y + 7z – 7 = 0.

64

25.Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1)x 1−1 = y−+21 = 6z , 2x + 3y + z – 1 = 0;

2)x 3+ 3 = y−−12 = z−+51 , x – 2y + z – 15 = 0;

3)x + 2 = y −1 = z − 3 , x + 2y – 2z + 6 = 0.

−2 3 2

26.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(2, – 4, – 1) и середину отрезка прямой

3x + 4 y + 5z − 26 = 0,

3x − 3y − 2z − 5 = 0,

заключенного между плоскостями 5x + 3y – 4z + 11 = 0 и 5x + 3y – 4z – 41 = 0.

27.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M0 (2, – 3, – 5) перпендикулярно к плоскости 6x – 3y – 5z + 2 = 0.

28.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1, –1, –1)

перпендикулярно к прямой

x + 3

=

y −1

=

z + 2

.

2

− 3

4

29.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1, – 2, 1)

перпендикулярно к прямой

x

− 2 y + z − 3

= 0,

+ y − z + 2 = 0.

x

30.

При каких значениях A и D прямая x = 3 + 4t,

y = 1 – 4t, z = – 3 + t ле-

жит в плоскости A x + 2y – 4z + D = 0 ?

31.

При каких значениях A и B плоскость

A x + By + 3z – 5 = 0 перпенди-

кулярна к прямой x = 3 + 2t, y = 5 – 3t, z = – 2 – 2t ?

32.

При каких значениях l C прямая

x − 2

=

y +1

=

z − 5

перпендикулярна к

l

4

− 3

плоскости 3x – 2y + Cz + 1 = 0 ?

33.

Найти проекцию точки P(2, –1, 3) на прямую x = 3t, y = 5t – 7, z = 2t + 2.

34.

Найти точку Q, симметричную точке P(4, 1, 6) относительно прямой

x − y − 4z +12 = 0,

− 2z + 3 = 0.

2x + y

35.Найти точку Q, симметричную точке P(2, –5, 7) относительно прямой, проходящей через точки M1(5, 4, 6) и M2(–2, –17, -8).

36.Найти проекцию точки P(5, 2, –1) на плоскость 2x – y + 3z + 23 = 0.

37.Найти точку Q, симметричную точке P(1, 3, – 4) относительно плоскости

3x + y – 2z = 0.

65

38.Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

x − 2

=

y +1

=

z − 3

,

x −1

=

y − 2

=

z + 3

.

3

− 2

3

2

2

− 2

39.Найти проекцию точки C(3, –4, –2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые

x − 5	=	y − 6	=	z + 3	,	x − 2	=	y − 3	=	z + 3	.
13				− 4		13
	1						1			− 4

40.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 3t + 1, y = 2t + 3, z = – t – 2 параллельно прямой

2x − y + z − 3 = 0,x + 2 y − z − 5 = 0.

41. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

x 2−1 = y−+32 = z −2 2

перпендикулярно к плоскости 3x + 2y – z – 5 = 0.

42.Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точ-

ку M0(3, –2, –4) параллельно плоскости 3x – 2y – 3z – 7 = 0 и пересекает прямую x −3 2 = y−+24 = z 2−1.

43.Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям 3x + 12y – 3z – 5 = 0, 3x – 4y + 9z + 7 = 0 и пересекает прямые

x+2 5 = y−−43 = z 3+1 ,

x − 3		=	y +1	=	z − 2	.
− 2
		3		4

44.Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1)

x + 7

=

y + 4

=

z +3

;

x − 21

y + 5

z − 2

;

=

=

3

4

− 2

6

− 4

−1

2) x = 2t – 4, y = – t + 4, z = – 2t – 1; x = 4t – 5, y = – 3t + 5,

	z = – 5t + 5;
3)		x + 5	=	y + 5	=	z −1		; x = 6t + 9, y = – 2t, z = – t + 2.
	3					− 2
			2

66

4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

4.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек (г.м.т.) плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами

эллипса, постоянна.						y
M –	некоторая точка, принадлежа-
щая эллипсу; F1,		F2 – фокусы эллипса.
По определению эллипса, для любой							M(x,y)
его точки имеем
MF1 + MF2 = 2a,		a = const (рис. 4.1).
Введем обозначения: F1F2 = 2c, очевид-							F2(c, 0) x
но, что	a > c (2а – сумма двух сторон			F1(-c, 0)		0
треугольника F1MF2, а 2с – его третья
сторона).						Рис. 4.1
		MF = (x + c)2 + y 2 ,	MF	=	(x − c)2	+ y2 ,	(4.1)
		1	2
тогда		(x + c)2 + y 2 +	(x − c)2		+ y 2 = 2a .

Приведем это выражение к более простому виду. Перенесем второй корень в правую часть, возведем в квадрат и, проделав несложные преобразования, получим

(a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2),				(4.2)
разделим на a2 (a2 – c2) и получим
	x2		y2
		+	(a2 − c2 )=1.
	a2

Учитывая, что a > c , можно положить a2 – c2 = b2 , тогда окончательно имеем каноническую форму уравнения эллипса

	x2			+		y	2	=1,		c = ± a2 − b2 ,	(4.3)
	a2					b	2
откуда хорошо видно, что
		x2			≤1		,		y2	≤1, а следовательно,
		a2							b2

– a ≤ x ≤ a, – b ≤ y ≤ b, т.е. эллипс лежит внутри прямоугольника, где A1A2 и B1B2 – оси симметрии эллипса, A1A2 – большая ось, B1B2 – малая ось, O –

67

центр эллипса, A1, A2, B1, B2 – вершины эллипса. Если решить уравнение (4.3)

относительно				y, получим y = ±b						a2 − x2 , где (+) соответствует	линии
									a
A1B1A2 а (–) соответствует линии A1B2A2 (рис. 4.2).
			y							Форма эллипса зависит от величины
									отношения b/a. При b = a имеем уравнение
				y = b x = a
	x = – a								окружности
			B1					x		x2 + y2 = a2	(4.4)
										В качестве характеристики формы эл-
A1		0	B2			A2
									липса используется отношение половины
				y = – b					расстояния между фокусами к большой по-
									луоси(эксцентриситет)

Рис. 4.2	ε =	c	=	b	2
		a		1−	,
				a

так как c меняется 0 < c < a, то эксцентриситет для различных эллипсов может меняться от 0 до 1. То есть чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов, тем больше сплющен эллипс.

y

Две вертикальные прямые D1 и D2

называются

директриссами

эллипса.

δ1

M δ2

Их уравнения имеют вид x = ± a .

r1

r2

x

ε

Обозначим r1, r2 за фокальные

0

F1

F2

радиусы. Отношение расстояний лю-

D1

D2

бой

точки

эллипса

до

фокуса

и до

соответствующей

директрисы

Рис. 4.3

a

есть величина постоянная:

d = x − ε .

r1

= ε

r2

= ε. Так как для эллипса ε < 1, то a > a , то есть директрисы рас-

δ

δ

2

ε

1

положены вне эллипса.

4.1.1. Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнение эллипса, если его большая ось расположена на оси OX, эллипс симметричен относительно начала координат и имеет длину 2а = 10 и ε = 0,6.

Решение:

Половина межфокусного расстояния с = аε = 5 0,6 = 3, малая полуось

	b =	a2 − c2	= 4	, откуда уравнение эллипса	x2	+	y2	=1.
					25		9

68

Пример 2. Построить эллипс. Найти большую и малую полуоси, фокусы, эксцентриситет, директрисы.

9x2

+ 25 y2

= 225 .

Решение:

Приведем к виду (4.3), разделив на 225:

x2

+

y2

=1,

25

9

c

4

откуда а

= 5,

b =

3;

c =

25 −9 = 4 ,

F1(–4;0),

F2(4;0);

ε =

=

;

a

5

D1: x = −a

5,5

= −25 = −6 1

25 =

6 1 (рис. 4.4).

= −

, D2: x =

ε

4

4

4

4

4

y

3

–5

0

5

x

F1(-4,0)

0

F1(4,0)

x = −6 1

–3

1

x = 6

4

4

Рис. 4.4

Пример 3. Определить, как расположена прямая относительно эллип-

са: пересекает, касается или расположена вне его.

x2

+

y2

=1,

2x − y −3 =0 .

Решение:

16

9

Выразим y из уравнения прямой y = 2x −3:

x2

(2x −3)2

+

=1,

16

9

x2 + 4x2 −12x + 9 =144 , 5x2 −12x −135 = 0 ,

D > 0, следовательно, прямая пересекает эллипс.

Пример 4. Даны точки A(–3;0), B(3,6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит AB. Найти длину отрезка AB (рис. 4.5).

Решение:

AB = (6 − 0)2 + (3 + 3)2 = 72 = 6 2 .

69

y

Тогда

радиус

окружности

будет

a =

6

2

=3 2 .

2

Найдем центр окружности

3

− 3 + 3

6

+ 0

x0

=

= 0 , y0 =

=3, т.е. 0(0;3).

2

x

2

0

Используя (4.4), запишем уравнение окружности

Рис. 4.5

(x − 0)2 + ( y − 3)2

= (3

2)2 , или

(x)2 + ( y −3)2 =18 .

4.2. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек (г.м.т.), абсолютная величина разности расстояний которых от двух данных точек, на-

зываемых фокусами гиперболы, постоянна.
	y		Делаем такие же преобразования,
			что и в случае эллипса:
		M(x,y)	MF1 – MF2 = 2a – для точек гиперболы,
			лежащих в I, IV	четвертях;
			MF2 – MF1 = 2a – для точек гиперболы,
F1(-c,0)	0	F2(-c,0) x	лежащих в II, III четвертях (рис. 4.6).
			В отличие от эллипса, для гипер-
	Рис. 4.6		болы c > a. Тогда можно записать
			(x +c)2 + y2 −	(x −c)2 + y2 = ±2a . (4.5)

Рассмотрим вывод для точек в I, IV четвертях (вывод для точек, лежащих во II и III четвертях аналогичен). Легко показать, что (4.5) приводится к виду

(a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ),

Деля левую и правую части этого уравнения на a2(a2 – c2) и учитывая, что a2 – c2 < 0, перепишем

	x2	−		y2	=1,
	a2		c2	− a2

обозначив c2 – a2 = b2. Окончательно получим каноническое уравнение гиперболы

	x2	−	y2	=1,	(4.6)
	a2		b2

где c = ± a2 + b2 .

70