Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

2

2

(x +1)

(y

− 2)

получим

4(x

′

+1)

+

9(y

′

− 2) = 36

или окончательно

′

2

+

′

2

=1,

9

4

′

′

X 2

Y 2

x

+1

= X , y

− 2

= Y , 32

+ 22 =1,

получили эллипс с полуосями a = 3 , b = 2 с центром O′(–1,2), по отношению к

осям x′, y′, повернутым на острый угол α = arcsin 4 / 5

(или arccos 3/ 5 ).

Пример 2. Преобразовать канони-

y

ческое уравнение равносторонней гипер-

y′

болы x2 − y 2 = a2 к новой системе коор-

π

π

динат с углом поворота ( − 4 ) (рис. 4.24).

α =−

4

x

Решение:

0

Преобразуем его к новой системе

координат, приняв за новые оси коорди-

нат асимптоты этой гиперболы (так как

x′

они образуют прямой угол), для чего по-

вернем оси координат xoy на заданный

Рис. 4.24

угол ( − π).

4

Тогда x =

2

(x′+ y′), y = 22 (y′− x′).

2

Подставляя в исходное уравнение

2

2

2

2

= a

2

,

2

(x′+ y′)

−

2

(y′− x′)

получим x′y′ = a22 .

По отношению к новой системе координат x′oy′ гипербола будет распола-

гаться в I и III четвертях. Если α = π4 , то

во II и IV четвертях. При равносторонней гиперболе, отнесенной к асимптотам

xy = m , где a =	2 | m | .
Пример 3.	Построить кривую

xy − x +3y −1 =0 .

Решение:

x(y −1) +3( y −1) +2 = 0,

	Y						y
								y′
						3
						2
	0′				1			X
								x
-3 -2 --1					0

x′

Рис. 4.25

81

(x +3)(y −1) = −2 , m = 2 .

Это уравнение равносторонней гиперболы XY =−2, где X = x +3, Y = y −1 с центром в т.O′( –3,1). Ее асимптоты – прямые x +3 =0, y −1 =0, ее полуось

y

a =

2 2 = 2 . Гипербола лежит во II и IV

y =2

четвертях. Y = −

2

(рис. 4.25).

X

Пример 4. 2xy −4x + y −2 =0 .

x

Решение:

0

(2x +1)(y −2) =0 . Это уравнение опреде-

x =−

1

ляет пару взаимно перпендикулярных

прямых x = −1 ,

y =2 (рис. 4.26).

2

2

Рис. 4.26

y

Y

Пример 5. Построить кривую:

y′

y =

2x + 4

.

x −1

Решение:

(x −1)y = 2x +4 вычтем и прибавим 2

2

X

(x −1)y −2(x −1) =6, (x −1)(y −2) =6 ,

0′

откуда, при

x −1 = X , y −2 =Y , полу-

x

чим Y =

6

,

центр гиперболы распо-

0

1

X

O′(1,2), ее асимптоты

ложен в

т.

x′

x −1 =0, y −2 =0. Гипербола распо-

ложена в I и III четвертях (рис. 4.27).

Рис. 4.27

4.7.Задачи для самостоятельного решения

4.7.1.Окружность. Эллипс

1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1)центр окружности совпадает с началом координат и её радиус R = 3;

2)центр окружности совпадает с точкой С(2; – 3) и её радиус R = 7;

3)окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6; – 8);

4)окружность проходит через точку А(2; 6) и её центр совпадает с точкой

С(–1; 2);

82

5) точки А(3; 2) и В( –1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;

6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3х – 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;

7)центр окружности совпадает с точкой С(1; –1) и прямая 5х – 12у + 9 = 0 является касательной к окружности;

8)окружность проходит через точки А(3; 1) и В(–1; 3), а её центр лежит на прямой 3х – у – 2 =0;

9)окружность проходит через три точки: А(1; 1), B(1; – 1) и С(2; 0);

10)окружность проходит через три точки: M1(– 1; 5), М2(– 2; – 2) и

M3 (5; 5).

2.Точка С(3; – 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х – 5у + 18 = 0 хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

3.Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых: 2х + у + 2 = 0, 2х + у – 18 = 0.

4.Определить координаты точек пересечения прямой 7х – у + 12 = 0 и ок-

ружности (х – 2)2 + (у – 1)2 = 25.

5.Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения двух

окружностей: х2 + у2 + 3х – у = 0, 3х2 + 3у2 + 2х+у = 0.

6.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная что:

1)его полуоси равны 5 и 2;

2)его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3)его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;

4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 53 ;

5)его большая ось равна 20, а эксцентриситет ε = 53 ;

6)его малая ось равна 10, а эксцентриситет ε = 1213 ;

7)расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;

8)его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

9)его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10)расстояние между его директрисами равно 32 и ε = 12 .

83

7. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

x2

y2

x2

2

2

2

1)

+

=1;

2)

+ y

=1;

3) х + 25у

= 25;

16

9

4

4)

х2

+ 5y2 = 15;

5) 4х2 + 9у2 = 25;

6) 9х2 + 25у2 = 1;

7)

х2

+ 4у2 = 1;

8) 16х2 + у2 = 16;

9) 25х2 + 9у2 = 1;

10)9х2 + у2 = 1.

8.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) y = +	3	16 − x2 ;	2) y = −	5	9 − x2 ;
	4			3
3) y = − 2		9 − y2 ;	4) y = + 1		49 − y2 .
	3			7

Изобразить эти линии на чертеже.

9.Эксцентриситет эллипса ε = 23 , фокальный радиус т. М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от т. М до односторонней с этим фокусом директрисы.

10.Точка С (– 3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

4.7.2.Гипербола

1.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1)её оси 2а = 10 и 2b = 8;

2)расстояние между фокусами 2с =10 и ось 2b = 8;

3)расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 32 ;

	4)	ось 2a = 16 и эксцентриситет ε =		5	;
				4
	5)	уравнения асимптот y = ±	4 x и расстояние между фокусами 2с = 20;
			3

6) расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2с = 26;

84

7)расстояние между директрисами равно 325 и ось 2b = 6;

8)расстояние между директрисами равно 83 и эксцентриситет ε = 32 ;

9) уравнения асимптот у = ±		3 x и расстояние между директрисами
		4
равно	64 .
	5

2. Дана гипербола 16х2 – 9у2=144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы;

3)эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

3.Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гипербо-

лы

x2

−

y2

=1

и прямой 9х + 2у — 24 = 0.

4

9

4. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) y = +

2

x2 −9 , 2) y = –3 x2 +1 ,

3

3) y = —

4

x2 +9 , 4) у = +

2

x2

+25 .

3

5

Изобразить эти линии на чертеже.

5. Убедившись, что т. М1(– 5;

9 ) лежит на гиперболе

x2

−

y2

=1, опреде-

16

4

9

лить фокальные радиусы т. M1.

6. Определить точки гиперболы

x2

−

y2

=1,

расстояние которых до правого

64

36

фокуса равно 4,5.

7. Составить уравнение гиперболы, зная, что:

1) расстояние

между её

вершинами

равно

24

и

фокусы суть

F1(– 10; 2), F2(16; 2);

2) фокусы

суть

F1(3; 4),

F2(– 3; – 4)

и расстояние между директри-

сами равно 3,6;

3)угол между асимптотами равен 90° и фокусы суть F1(4; – 4), F2(–2; 2).

8.Составить уравнение гиперболы, если известны её эксцентриситет ε =1213 ,

фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директрисы 13у – 144 = 0.

85

4.7.3.Парабола

1.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1)парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох, и её параметр р = 3;

2)парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох, и её параметр р = 0,5;

3)парабола расположена в верхней полуплоскости, симметрично отно-

сительно оси Оу, и её параметр p = 14 ;

4)парабола расположена в нижней полуплоскости, симметрично относительно оси Оу, и её параметр р =3.

2.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1)парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через т. А (9; 6);

2)парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через т. В(–1; 3);

3) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через т. С(1; 1);

4) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через т. D (4; – 8).

3. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1)	у = + 2 x , 2) у = + − x ,			3) у = – 3 −2x ,
4)	у = – 2 x ,	5)	х = + 5y ,	6) х = – 5 − y ,
7)	х = – 3y ,	8)	х = + 4 − y .

Изобразить эти линии на чертеже.

4. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2 = 24х.

5. Вычислить фокальный радиус т.М параболы у2 = 20х, если абсцисса т. М равна 7.

6.Составить уравнение параболы, если дан фокус F(– 7; 0) и уравнение директрисы х – 7 = 0.

7.Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты её вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:

86

1) у2 = 4х – 8,	2) у2 = 4 – 6х,
3) х2 = 6у + 2,	4) х2 = 2 – у.

8.Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты её вершины А и величину параметра р:

1) х = 2у2 – 12у + 14,	2) х = –	1	у2 + у,
		4

3)х = – у2 + 2у – 1.

9.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1)	у = 3 – 4 x −1 ,	2)	х = – 4 + 3 y +5 ,
3)	х = 2 – 6 −2y ,	4)	у = – 5 – −3x − 21 .
10. Данавершинапараболы		А(–2; –1) иуравнениееёдиректрисы х+ 2у– 1 = 0.

Составить уравнение этой параболы.

4.7.4. Задачи на приведение кривой к канонической форме записи

Привести к каноническому виду и построить следующие кривые второго порядка:

1.5х2 + 9у2 – 30х + 18у + 9 = 0;

2.16х2 + 25у2 + 32х – 100у – 284 = 0;

3.4х2 + 3у2 – 8х + 12у –32 = 0;

4.4. x2 + 14 y2 − 12 x + y −1 = 0 ;

5.x2 + 4 y2 +8 y + 5 = 0 ;

6.3x2 + 2 y2 − 6x −12 y + 22 = 0 ;

7.16x2 + 25 y 2 − 32x + 50 y − 359 = 0 ;

8.x2 + y2 − 6x + 4 y − 23 = 0 ;

9.36x2 + 36 y2 − 36x − 24 y − 23 = 0 ;

10.x2 + 4 y 2 − 4x −8 y +8 = 0 ;

11.4x2 + y 2 −8x + 2 y −11 = 0 ;

12.3x2 +3y 2 −6x −12 y +3 = 0 ;

13.3x2 + 2 y 2 −6x −12 y +15 = 0 ;

14.3x2 + 3y2 −12x +18 y = 0;

15.4x2 + 9 y2 +8x −36 y + 4 = 0;

87

16.16х2 – 9у9 – 64х – 54у –161 = 0;

17.9х2 – 16у2 + 90х + 32у – 367 = 0;

1816х2 – 9у2 – 64х – 18у + 199 = 0;

19.x2 − 4 y 2 + 6x + 5 = 0 ;

20.4x2 − y 2 +8x −8 y −12 = 0 ;

21.16x2 −9 y2 − 64x −18 y +199 = 0 ;

22.x2 − 4 y2 − 4x −16 y −36 = 0 ;

23.3x2 − 4 y2 −8 y + 6x −13 = 0 ;

24.2x2 − 3y2 + 8x + 6 y −13 = 0 ;

25.x2 − y 2 −6x +10 = 0 ;

26.x2 − 2 y2 + 4 y − 4 = 0;

27.4x2 −3y2 +12 y −8x −32 = 0;

28.x2 − 2 y2 − 6x −8 y −1 = 0;

29.2x2 −3y2 +8x − 6 y +11 = 0;

30.2x2 + 4 y − 4x + 6 = 0 ;

31.9x2 − 6x + 2 − y = 0 ;

32.2x2 − y −3 = 0;

33.y2 + 3x + 6 y +12 = 0 ;

34.x2 − 6x − 4 y + 29 = 0 ;

35.y2 + 4 y + 3 = 0 ;

36.2 y2 − x − 4 y −1 = 0 ;

37.y2 − 6x +14 y + 49 = 0 ;

38.4x −3y2 +12 y −12 = 0;

39.y2 −10x − 2 y −19 = 0;

40.x2 −8x +15 − y = 0;

41.x2 − 6x + 4 y + 29 = 0

42.у2= 4х – 8;

43.у2 = 4 – 6х;

44.х2 = 6у + 2;

45.х2 = 2 – у;

88

46.x2 − 4 y2 − 6x −8 y − 7 = 0 ;

47.x2 + 4x − 2 y = 0 ;

48.y2 −3x + 4 y − 2 = 0;

49.x2 + 4xy + y2 −3 = 0;

50.3x2 + 24xy − 4 y2 +10x = 0;

51.2x2 + 24xy − 5 y2 −15x + 20 y −12 = 0;

52.2x2 − 4xy + 2 y2 −5 y + 2 = 0;

53. x2 − 2xy + y2 + 4 y − 5 = 0;

54.x2 − 2xy − y2 +8x + 4 y −8 = 0.

89

5. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

5.1. Эллипсоид

	x2	+	y2	+	z2	=1	(5.1)
	a2		b2		c2

Для анализа этой поверхности воспользуемся методом сечений. Так, приz = h , где h = const , полу-

чим

x

2

+

y2

=

1 −

z2

,

разделив их на

a

2

b2

h2

правую часть и, сделав соответст-

Рис. 5.1

вующие

преобразования,

будем

иметь

x2

2 +

y2

2 =1,

(5.2)

z2

z2

a

1−

b 1−

h2

h2

где a

z2

′

z2

′

– боль-

1 − h2

= a

b

1 − h2 = b

шая и малая полуоси эллипса в плоско-

Рис. 5.2

сти сечения. Хорошо видно, что при

z = h

a′

и b′ = 0 , т.е. эллипс вырожда-

ется в точку. При z = 0 , a′ = a и b′ = b , имеем эллипс,

лежащий в плоскости

xoy. Аналогичный результат получается при сечении плоскостями, параллельными плоскостям yoz и xoz. При этом в сечении мы также будем иметь эллипсы, вывод уравнения которых аналогичен сделанному.

5.2. Однополостный гиперболоид

x2

+

y2

−

z2

=1.

(5.3)

a2

b2

c2

В плоскости xoy при z = 0 имеем эллипс с полуосями a и b. При z = h ,

где h = const , имеем

x2

+

y2

=1 +

z2

, откуда

a2

b2

h2

90