- •Т.А. Павлова дифференциальные уравнения
- •Печатается по решению редакционно- издательского совета ОрелГту Орел 2004
- •302030, Г. Орел, ул. Московская, 65.
- •Введение
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения первого порядка
- •3. Линейные уравнения первого порядка
- •3. 1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2). Будем считать произвольную постоянную снеизвестной функциейс(х), т.Е.
- •3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
- •4. Уравнение Бернулли
- •5. Уравнения в полных дифференциалах
- •6. Метод изоклин
- •6.1. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •7. 1. Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную
- •7. 2. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
- •7. 3. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной
- •8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •8. 1. Метод неопределенных коэффициентов
- •8. 2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •9. Литература
6.1. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
Взадачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и следующие общие формулы для определения длин отрезков касательнойt, нормали n, подкасательной St и поднормали Sn «рис.2.»:
Рис. 2. Касательная t, нормаль n, подкасательная St и поднормаль Sn
При решении таких задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:
выполнить чертеж и ввести обозначения;
отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках (начальных условиях);
выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значения производной;
по условию задачи составить дифференциальное уравнение, для которого искомая кривая является интегральной кривой.
Задача№9. Найти линию, проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор с концом на осиOY имеет проекцию на ось OY, равную a.
M0(e, 0), a=1.
Решение. Ищем функцию y=y(x). Воспользуемся геометрическим свойством производной: y/ представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (с положительным направлением оси OX), т.е..
Найдем
Рисунок №3 .
С другой стороны (из треугольника AMN):
.
Тогда
.
Решая это уравнение, найдем, что
.
Подставим M0(e;0) и a=1: 0=-1+c, отсюда c=1. Тогда линия, проходящая через точку M0 удовлетворяющая условиям нашей задачи, будет иметь вид
.
7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
7. 1. Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную
Это уравнения вида . Если удается разделить их относительно, то. Общее решение последнего уравнения имеет вид:
.
Т.е. решение получается путем n-кратного интегрирования.
7. 2. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
Такое уравнение имеет вид: . Порядок его может быть понижен с помощью подстановки:, где- новая искомая функция.
Если уравнение имеет вид , то подстановкапонижает порядок наk единиц.
7. 3. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной
.
Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где– новая искомая функция.
Частный случай. Если уравнение имеет вид , и его удается решить относительнотак, что, то интегрирование можно привести так. Умножим обе части на:
.
Т.к. и, то. Отсюда,
и
.
Задача №10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
10.31. .
Решение. Имеем неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка не содержащее искомой функции y. Порядок его может быть понижен с помощью подстановки , где- новая искомая функция. Эта подстановка приводит к уравнению:
.
Это линейное уравнение относительно z и z/. Разделим его обе части на коэффициент при z/ и получим
.
Решением этого уравнения является функция . (Способы решения см. в задаче№4). Но, а потому.
Пришли к случаю, когда уравнение содержит только производную и независимую переменную, т.е. . Такие уравнения решаются путем интегрированияn-раз обеих частей уравнения, причем общее решение должно содержать в себе n констант. В нашем случае n=1.
- общее решение.
Уравнение действительных решений не имеет, поэтому нет и особых решений.
Задача №11. Найти решение задачи Коши.
11.31. .
Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , гдеP(y) – новая искомая функция.
Уравнение перепишется так:
.
Тогда . Но.
Для облегчения решения этого уравнения найдем c1, воспользовавшись начальными условиями, т.е. . Подставляя их в последнее уравнение, получимc1=0.
Тогда - уравнение с разделяющимися переменными, решением которого будет.
Подставляя начальные условия, установим, что .
Ответ. .
Существует и второй способ решения этого уравнения. Если разрешить его относительно y//, т.е. и умножить обе части на, то.
Левая часть этого уравнения ,а в правой -, поэтому последнее уравнение перепишется так:
.
Отсюда следует, что.
Последнее уравнение допускает разделение переменных. Предварительно с помощью начальных условий можно установить, что c1=0,а . С помощью начальных условий найдем, что. Таким образом, пришли к тому же результату, что и вI способе.