Лабораторная работа №3 Приближение функций.

Интерполирование функций

При математическом моделировании часто используются зависимости вида у(х), обычно заданные рядом значений х и у их узловых точек. Однако, когда этих точек мало, такая зависимость оказывается не информативной и не наглядной. Промежуточные точки зависимости у(х) можно получить путем их интерполяции. Интерполирующая функция должна проходить через узловые точки и принимать значения, близкие к точным, в остальных точках. Одной из распространенных интерполирующих функций является интерполяционный многочлен Лагранжа:

. (19)

При n=1 получается формула линейной интерполяции, при n=2 – квадратичной интерполяции и т.д.

В системе MathCad существуют встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. При линейной интерполяции узловые точки соединяются отрезками прямых. Если х выходит за пределы конечных точек, то осуществляется линейная экстраполяция по отрезкам прямых, примыкающим к конечным точкам. При сплайн-интерполяции зависимость у(х) заменяется кусками полиномов третьей степени. Каждый полином проходит точно через три ближайшие узловые точки. Коэффициенты полинома подбираются так, чтобы обеспечить не только непрерывность функции в узловых точках, но и непрерывность ее двух производных. Эти свойства сплайн-интерполяции позволяют эффективно применять ее даже при малом числе узловых точек – до 5-7 для простых функций.

Интерполяция реализуется с помощью следующих функций:

- linterp(X,Y,x) –вычисляет значение у(х) для заданного х при линейной интерполяции,

- cspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и кубической экстраполяции,

- pspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и параболической экстраполяции,

- lspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и линейной экстраполяции,

- interp(V,X,Y,x) – вычисляет значение у(х) для заданного х при сплайн-интерполяции.

Задание 5.1. Определить значения функции в точках Х1 и Х2, используя встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. Построить графики интерполирующих функций в обоих случаях (см. приложение В).

Вариант 1

Х	1,3	2,1	3,7	4,5	6,1	7,7	8,5
У	1,777	4,5634	13,8436	20,3952	37,33,87	59,4051	72,3593

Х1=5,2 Х2=7,9

Вариант 2

Х	1,2	1,9	3,3	4,7	5,4	6,8	7,5
У	0,3486	1,0537	1,7844	2,2103	2,3712	2,6322	2,7411

Х1=2,1 Х2=7,3

Вариант 3

Х	2,6	3,3	4,7	6,1	7,5	8,2	9,6
У	2,1874	2,8637	3,8161	3,8524	3,1905	2,8409	2,6137

Х1=4,1 Х2=7,9

Вариант 4

Х	1,3	2,1	3,7	4,5	6,1	7,7	8,5
У	1,777	4,5634	13,8436	20,3952	37,33,87	59,4051	72,3593

Х1=3,9 Х2=9,3

Вариант 5

Х	1,2	1,9	3,3	4,7	5,4	6,8	7,5
У	0,3486	1,0537	1,7844	2,2103	2,3712	2,6322	2,7411

Х1=2,9 Х2=7,4

Вариант 6

Х	2,6	3,3	4,7	6,1	7,5	8,2	9,6
У	2,1874	2,8637	3,8161	3,8524	3,1905	2,8409	2,6137

Х1=5,5 Х2=9,4

Вариант 7

Х	1,3	2,1	3,7	4,5	6,1	7,7	8,5
У	1,777	4,5634	13,8436	20,3952	37,33,87	59,4051	72,3593

Х1=2,5 Х2=8,3

Вариант 8

Х	1,2	1,9	3,3	4,7	5,4	6,8	7,5
У	0,3486	1,0537	1,7844	2,2103	2,3712	2,6322	2,7411

Х1=4,1 Х2=7,2

Вариант 9

Х	2,6	3,3	4,7	6,1	7,5	8,2	9,6
У	2,1874	2,8637	3,8161	3,8524	3,1905	2,8409	2,6137

Х1=2,8 Х2=9,1

Вариант 10

Х	1,3	2,1	3,7	4,5	6,1	7,7	8,5
У	1,777	4,5634	13,8436	20,3952	37,33,87	59,4051	72,3593

Х1=4,1 Х2=8,2

Вариант 11

Х	1,2	1,9	3,3	4,7	5,4	6,8	7,5
У	0,3486	1,0537	1,7844	2,2103	2,3712	2,6322	2,7411

Х1=2,9 Х2=7,1

Вариант 12

Х	2,6	3,3	4,7	6,1	7,5	8,2	9,6
У	2,1874	2,8637	3,8161	3,8524	3,1905	2,8409	2,6137

Х1=5,5 Х2=8,9

Порядок выполнения задания:

1. Ввести значения векторов Х и У.

2. С помощью функции linterp(X,Y,x) найти значения функции у(х) в заданных точках х при линейной интерполяции.

3. Построить график функции при линейной интерполяции.

4. С помощью функций cspline(X,Y) interp(V,X,Y,x) найти значения функции у(х) в заданных точках х при сплайн-интерполяции.

5. Построить график функции при сплайн-интерполяции.

Задание 5.2. Записать интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить значения функции в указанных точках с помощью системы MathCad. Построить график.

Порядок выполнения задания:

1. Записать формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, используя знаки суммы и произведения и встроенной функции if (условие, выражение 1, выражение 2), которая принимает значение выражения 1, если условие выполняется, и выражения 2, если условие не выполняется.

2. Вычислить значение функции в указанных точках (данные взять из задания 1).

3. Построить график интерполяционного многочлена.

Задание 5.3. По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа (19).

Вариант 1

Х	-1	0	3
У	-3	5	2

Вариант 2

Х	2	3	5
У	4	1	7

Вариант 3

Х	0	2	3
У	-1	-4	2

Вариант 4

Х	7	9	13
У	2	-2	3

Вариант 5

Х	-3	-1	3
У	7	-1	4

Вариант 6

Х	1	2	4
У	-3	-7	2

Вариант 7

Х	-2	-1	2
У	4	9	1

Вариант 8

Х	2	4	5
У	9	-3	6

Вариант 9

Х	-1	0	3
У	-3	5	2

Вариант 10

Х	-3	-1	3
У	7	-1	4

Вариант 11

Х	2	3	5
У	4	1	7

Вариант 12

Х	7	9	13
У	2	-2	3

Методы обработки экспериментальных данных

Предположим, что в результате измерений в процессе экспериментов были получены n пар значений: (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n). Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость y = f(x), значения которой при x = x_i(i=1,…,n) мало отличаются от опытных данных y_i.

Определение 1. Приближенная функциональная зависимость, полученная на основании экспериментальных данных, называется ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛОЙ.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора общего вида этой формулы и определения наилучших значений содержащихся в ней параметров.

Общий вид формулы обычно выбирается из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график, и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций (многочлена, показательной или логарифмической функции и т.п.).

Когда тип эмпирической формулы выбран, ее можно представить в виде:

y=f(x,a₁,a₂,…,a_m). (20)

где f – известная функция, a₁,a₂,…,a_m – неизвестные постоянные параметры, необходимо определить такие значения этих параметров, которые дают наилучшее приближение.

Определение 2. ОТКЛОНЕНИЕМ _i называется разность между значениями эмпирической функции (20) в точках x₁ (i =1,…,n) и опытными данными y_i :

_i=f(x_i,a₁,a₂,…,a_m)-y_i . (21)

Задача нахождения наилучших значений параметров сводится к некоторой минимизации отклонений _i.

Существует несколько методов решения этой задачи.