Tatarenkova_nachgeometr

В точке К прямая m пересекает плоскость .

Видимость прямой определяют по методу конкурирующих точек. Если смотреть по направлению проецирующей прямой, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций, или наиболее близко расположена к наблюдателю.

Так на горизонтально-проецирующей прямой (1-3) находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым m и АВ. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника, точка 3 принадлежит прямой m. По фронтальным проекциям 12 и 32 этих точек устанавливаем, что точка 1 расположена дальше чем точка 3 относительно плоскости проекций П1. Следовательно, на участке (3-K) прямая линия m (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций П1) находится под плоскостью треугольника, т.е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную проекцию прямой m1 на участке (31-К1) покажем штриховой линией.

Чтобы определить видимость прямой относительно фронтальной плоскости проекций, воспользуемся фронтально-проецирующей прямой (4-5). Здесь точка 5 принадлежит стороне ВС треугольника, а точка 4 – прямой m. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 5 ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому на участке (К-4) (если смотреть на фронтальную плоскость проекций П2) прямая m закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке (К2-42) проекцию m2 прямой покажем штриховой линией.

Задача 1.7 Построить линию пересечения двух плоскостей

(АВС) и Г(EF KL) (рисунок 8).

Прямая линия, получаемая при пересечении двух плоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух таких точек. Для их определения воспользуемся ранее рассмотренной задачей о пересечении прямой и плоскости (см. задачу 1.6). Найдем точки пересечения двух прямых линий, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Такие точки будут удовлетворять условию совместной принадлежности обеим плоскостям, а линия пересечения плоскостей пройдет через эти точки.

13

Определим		точки
пересечения прямых ЕF и
KL с плоскостью :
ЕF = М;	КL = N.
Найдем	пересечение
прямой ЕF с плоскостью
треугольника	ABC. Через
прямую ЕF	проводим
фронтально-
проецирующую	плоскость
. Определяем линию (1-2)
пересечения этой		плоско-
сти с плоскостью треуголь-
ника ABC. Найденная ли-
ния (1-2) пересекается с
прямой ЕF в точке М, ко-
торая является точкой пе-
ресечения линии ЕF с
плоскостью .
Аналогично		опреде-
ляем точку N – точку пере-

сечения прямой KL с плос-

Рисунок 8

костью треугольника ABC.

Прямая линия (МN) является линией пересечения двух плоскостей. Видимость плоскостей относительно плоскостей проекций определена с помощью конкурирующих точек.

Задача 1.8 Построить линию пересечения двух плоскостей

Г(АВС) и (EFLK) (рисунок 9).

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

Введем вспомогательную плоскость , параллельную горизонтальной плоскости проекций П1, (плоскость может быть проецирующей). Плоскость пересекает плоскость Г(АВС) по горизонтали h, проходящей через точки А и 1, и плоскость (ЕFLК) – по горизонтали h', проходящей через точки 2 и 3. В пересечении горизонталей h и h' получаем точку М.

14

Рисунок 9

Затем вводится вторая вспомогательная плоскость , параллельная фронтальной плоскости проекций П2 , и пересекающая плоскость Г по фронтали F, проходящей через точки А и 4, а плоскость

– по фронтали F', проходящей через точки 5 и 6. В пересечении фронталей F и F' получаем точку N. Прямая (MN), проходящая через точки M и N, является искомой линией пересечения плоскостей.

6.2 Задачи, решаемые с помощью преобразования чертежа

Задача 2.1 Найти натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций методом замены плоскостей проек-

ций П1 и П2.

Для определения натуральной величины необходимо преобразовать отрезок общего положения АВ в положение параллельное новой плоскости проекций.

15

		Введем			новую	плоскость
		проекций		П4	таким	образом,
		чтобы она была параллельна от-
		резку	АВ	и	перпендикулярна
		плоскости П1 (рисунок 10). То-
		гда в новой системе плоскостей
		проекций П1/П4 отрезок АВ зай-
		мет положение прямой уровня.
		Ось проекций х1 проводим па-
		раллельно		горизонтальной про-
		екции отрезка А1В1. Из горизон-
		тальных проекций точек прово-
		дим линии проекционных связей
		перпендикулярно новой оси про-
		екций и откладываем координа-
	Рисунок 10	ты точек z – с заменяемой плос-
		кости	проекций П2.			Проекция

отрезка А4В4 является его натуральной величиной. Угол между проекцией А4В4 и осью проекций х1 – угол наклона отрезка АВ к плоскости П1.

Если задачу решить за-
меняя горизонтальную плос-
кость проекций П1 на плос-
кость П5, перпендикулярную
плоскости П2 и параллель-
ную отрезку АВ. В этом слу-
чае определяется натураль-
ная величина отрезка и угол
наклона его к плоскости П2
– угол .
Задача 2.2 Преобразо-
вать отрезок	АВ общего по-
ложения в	проецирующее
положение методом		замены	Рисунок 11
плоскостей проекций		(рису-

нок 11).

Здесь необходимо выполнить два преобразования чертежа. В результате первого отрезок общего положения в системе плоскостей

16

П1/П4 преобразуется в прямую уровня (решение подробно рассмотрено в задаче 2.1).

Во втором преобразовании плоскость проекций П1 заменяют на новую плоскость П5, перпендикулярную отрезку АВ и плоскости проекций П4. Ось проекций х2 должна быть перпендикулярна проекции А4В4, тогда на плоскости П5 проекции точек А5 и В5 совпадут, а отрезок АВ займет проецирующее положение.

Подобное преобразование можно использовать для определения: расстояния от точки до прямой; расстояния между параллельными прямыми или скрещивающимися прямыми; натуральной величины двугранного угла.

Задача 2.3 Определить величину угла между плоскостями АВС и SАВ методом замены плоскостей проекций.

Рисунок 12

С помощью двух преобразований чертежа переведем отрезок АВ, общее ребро двугранного угла, в проецирующее положение. Тогда примыкающие к ребру грани становятся проецирующими по отношению к плоскости П5. В этом случае на плоскости П5 двугранный угол проецируется в плоский угол в натуральную величину (рису-

нок 12).

Задача 2.4 Плоскость треугольника общего положения АВС преобразовать в проецирующую плоскость.

17

		Для решения задачи
		необходимо ввести новую
		плоскость		проекций П4
		таким	образом,		чтобы
		плоскость		треугольника
		была к ней перпендику-
		лярна.	Для	определения
		направления оси проекций
		х1 проведем в плоскости
		треугольника горизонталь
		h(h1, h2) (рисунок 13).
		Выполним замену плоско-
	Рисунок 13	сти проекций П2			на плос-
		кость П4, перпендикуляр-

ную к горизонтали, ось проекций х1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали: х1 h1.

Построив проекции точек А, В и С на плоскости П4, получим проекцию треугольника в виде прямой линии, следовательно, в сис-

теме плоскостей проекций П1/П4				плоскость АВС заняла проецирую-
щее положение.
Угол	наклона плоскости
треугольника АВС к горизон-
тальной плоскости проекций
(угол ) определяется как угол
между проекцией А4В4С4			и
осью х1.		решить
Задачу можно
заменив	горизонтальную
плоскость	проекций П1		на
плоскость П5 перпендикуляр-
ную плоскостям П2		и тре-
угольника АВС. Для опреде-
ления направления оси проек-
ций х1 в этом случае проведем
фронталь F (F1, F2) (рисунок				Рисунок 14
14). Ось проекций х1		перпен-

дикулярна фронтальной проекции фронтали: х1 F2. Здесь определяется угол наклона плоскости треугольника АВС к фронтальной плоскости проекций (угол ).

18

Задача 2.5 Определить расстояние от точки К до плоскости треугольника ABC (рисунок 15).

	Расстояние от точки
	до плоскости			определя-
	ется отрезком перпенди-
	куляра,	опущенного			из
	точки на эту плоскость.
	Проводим			новую
	плоскость		проекций		П4
	перпендикулярно плос-
	кости	П1	и плоскости
	треугольника ABC. По-
	строениями,			подробно
	рассмотренными в зада-
	че 2.4, определяем новую
	проекцию		треугольника
	А4В4С4	и проекцию точ-
Рисунок 15	ки К4. Опуская из проек-
	ции К4	перпендикуляр на

след плоскости треугольника ABC, находим отрезок К4N4, равный натуральной величине искомого расстояния от точки К до плоскости.

Построениями, выполненными в обратном порядке, определяем проекции K1N1 и К2N2 искомого перпендикуляра в основной системе плоскостей проекций.

Задача 2.6 Плоскость треугольника АВС общего положения преобразовать в плоскость уровня методом замены плоскостей проекций.

Задача решается двумя последовательными преобразованиями:

1.Плоскость общего положения АВС в системе плоскостей проекций П1/П4 переводится в положение проецирующей плоскости – перпендикулярной к плоскости П4 (см. задачу 2.4).

2.Плоскость проекций П1 заменим плоскостью П5, параллельной плоскости треугольника (рисунок 16). Ось проекций х2 в системе плоскостей П4/П5 должна быть параллельна проекции А4В4С4. При построении проекций точек на плоскости П5 определяем координаты точек А1, В1, С1 от оси х1 в системе П1/П4 и откладываем их от оси х2

всистеме П4/П5. В результате в системе плоскостей проекций П4/П5 получаем плоскость треугольника АВС в положении плоскости уровня.

19

Преобразование, описанное в задаче 2.6, используют при определении натурального вида плоской фигуры и натуральных величин отдельных элементов плоских фигур (высота треугольника, центры вписанной и описанной окружностей, биссектрисы плоских

углов и т.д.).

Рисунок 16

ЛИТЕРАТУРА

1Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. – М.: Высшая школа, 2000. – 272 с.

2Гордон, В.О. Сборник задач по курсу «Начертательная геометрия» / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева. – М.: Высшая школа, 2000. – 272 с.

3Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А.Фролов. – М.: Машиностроение, 1983. – 240 с.

4Арустамов, Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии

/Х.А. Арустамов. – М.: Машиностроение, 1971. – 444 с.

5Калашникова, Н.Г. Начертательная геометрия. Учебное пособие / Н.Г. Калашникова, Т.А. Татаренкова. – Орел: ОрелГТУ, 2010.

– 144 с.

20

Приложение А (обязательное)

Задача 1

1.1 Дано: прямая MN и одна проекция прямой EF.

Построить равнобедренный треугольник АВС, исходя из условия, что его основание ВС, длина которого 120 мм, расположено на прямой MN, вершина А – на прямой EF, причем высота треугольника равна 90 мм. Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

Е(105;0; -), F(160;100;-), М(210;10;10), N(10;10;110).

1.2 Дано: прямая MN и точка А.

Построить параллелограмм ABCD c основанием ВС на прямой МN, исходя из условия, что длина боковой стороны равна 1,25 высоты и отношение сторон равно 1,5. Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

А(50;80;70), М(200;80;10), N(20;20;10).

1.3 Дано: прямая MN и точка А.

Построить прямоугольную трапецию ABCD с большим основанием BC на прямой MN, исходя из условия, чтоAD=АВ; DС=1,2АВ. Определить углы наклона стороны АВ к плоскостям проекций П1 и

П2.

А(210;90;90), М(40;10;100), N(190;10;0).

1.4 Дано: прямая MN одна проекция прямой EF.

Построить равнобедренный треугольник АBC с основанием BC на прямой MN, исходя из условия, что высота АD, равная 100мм, лежит на прямой EF и угол при основании равен 30о. Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

Е(100;-;0), F(160;-;100), М(210;0;10), N(40;100;10).

1.5 Дано: прямая MN и точка А.

Построить ромб ABCD со стороной BC на прямой MN, исходя из условия, что длина его стороны равна 1,2 высоты. Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

А(200;70;80), М(190;10;10), N(0;10;76).

21

1.6 Дано: прямая MN и точка А.

Построить равносторонний треугольник АBC с основанием BC, лежащим на прямой MN. Определить углы наклона стороны АВ к плоскостям проекций П1 и П2.

А(140;110;140), М(190;20;10), N(30;20;110).

1.7 Дано: прямые ВМ и EF.

Построить параллелограмм ABCD со стороной BC длиной 140мм, расположенной на прямой ВМ, исходя из условия, что высота АК лежит на прямой EF, а длина боковой стороны равна 120 мм. Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

В(220;30;0), Е(185;70;-), F(150;10;-), М(10;30;90).

1.8 Дано: прямая MN и точка А.

Построить равнобедренный треугольник АBC с основанием BC на прямой MN исходя из условия, что длина боковой стороны равна 1,25 высоты. Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

А(140;80;140), М(210;10;10), N(30;10;110).

1.9 Дано: прямая MN и одна проекция точек А и К.

Построить параллелограмм ABCD с большей стороной ВC на прямой MN, исходя из условия, что точка К, основание высоты, делит ее в отношении 1:2 от точки В к точке С и угол В равен 600 . Определить углы наклона высоты к плоскостям проекций П1 и П2.

А(190;60;-), К(130;10;-), М(180;10;20), N(0;10;100).

1.10 Дано: прямые ВМ и EF.

Построить прямоугольник ABCD с большей стороной BC на прямой ВМ и с вершиной А на прямой EF, исходя из условия, что его диагональ равна 2АВ. Определить углы наклона стороны АВ к плоскостям проекций П1 и П2.

В(160;20;20), Е(230;80;60), F(120;110;100), М(10;110;20).

22