Kalashnikova_Nacher_geom

Рис. 8.6

8.4 Пересечение многогранника прямой линией

Прямая линия может пересекать поверхность выпуклого многогранника в одной или двух точках. Точки пересечения прямой с многогранником называют точками встречи.

Общий прием нахождения точек встречи прямой с многогранником основан на задаче на пересечение прямой с плоскостью.

План решения задачи на нахождение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника:

1.Через заданную прямую проводят вспомогательную плоскость.

2.Строят фигуру сечения вспомогательной плоскости с многогранником.

3.Определяют точки пересечения данной прямой со сторонами многоугольника сечения.

Задача. Найти точки пересечения прямой т с поверхностью пирамиды SАВС (рис. 8.6).

Решим задачу по вышеизложенному плану:

1.Прямую m заключаем во фронтально проецирующую плоскость Σ.

2.Строим проекции фигуры сечения плоскостью Σ пирамиды SАВС – четырехугольник 1-2-3-4.

3.В пересечении четырехугольника 1-2-3-4 с прямой т находим искомые точки М и N.

Чтобы определить видимость прямой относительно многогранника, установим, в каких гранях находятся точки

Ми N. Точка М расположена в

передней грани, следовательно, на фронтальной проекции она видима, и левее проекции М2 прямая m2 также видима. Точка N расположена на задней грани, следовательно, на

фронтальной проекции она невидима, и правее проекции точки N2 прямая т2 также невидима. На горизонтальной проекции обе точки видимы, прямая т левее точки M1 и правее точки N1 также видима.

8.5 Взаимное пересечение многогранников

Линиями пересечения многогранников в общем случае являются пространственные замкнутые многоугольники. В зависимости от взаимного расположения двух выпуклых многогранников линиями пересечения могут быть один или два многоугольника.

Линию пересечения многогранников можно построить двумя способами.

1.Определяют точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и наоборот. Это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

2.Находят линию пересечения многогранников как линию пересечения граней многогранников. Это задача на построение линии пересечения двух плоскостей.

Преимущество отдается тому способу, который предлагает наиболее точное и простое решение. Часто эти два способа комбинируют.

Линии пересечения – многоугольники – представляют собой совокупности отрезков прямых, по которым пересекаются грани двух многогранников. Вершины многоугольников являются точками пере-

	сечения ребер одного много-
	гранника с гранями другого и
	ребер	второго		многогранника
	с гранями первого. Стороны
	многоугольников строятся как
	отрезки прямых,				соединяющих
	только те пары вершин, кото-
	рые принадлежат одной и той
	же грани первого многогран-
	ника, а также и одной грани
	второго многогранника.
	Задача.		Построить гори-
	зонтальную		проекцию			пира-
	миды SАВС со сквозным
	призматическим				отверстием
	(рис. 8.7).
	В	данной		задаче		можно
	найти	горизонтальные				проек-
	ции точек		пересечения			ребер
	призматического				отверстия с
Рис. 8.7	поверхностью пирамиды.

Ребро 1-1 пересекается с гранью SАС в точке 1, с гранью SАВ – в точке 1 . Горизонтальные проекции точек 1 и 1 находятся с помощью горизонталей h и h , расположенных соответственно в плоскостях

SАС и SАВ.

Аналогичным образом находим и другие точки пересечения ребер призматического отверстия с поверхностью пирамиды. Затем точки, расположенные в одной грани, соединяются отрезками прямых.

8.6 Развертки многогранников

Совмещение всех граней многогранника с одной плоскостью путем последовательного вращения их вокруг ребер называют раз-

верткой.

У многогранников можно построить точную развертку. Многогранная поверхность и ее развертка на плоскости – это взаимнооднозначное геометрическое преобразование поверхности в плоскую фигуру.

Для получения развертки многогранной поверхности нужно совместить все грани данной поверхности с одной плоскостью так, чтобы образовалась связная фигура. При этом на развертке смежными будут две грани, имеющие общее ребро.

Для одной и той же поверхности вид развертки может быть различным в зависимости от избранной последовательности расположения граней на развертке.

Все грани многогранника на развертке представляются в натуральную величину. Поэтому построение развертки сводится к построению натуральных величин граней многогранника.

Существуют три способа построения развертки многогранников

1)способ нормального сечения;

2)способ раскатки;

3)способ треугольников – триангуляции.

Рассмотрим эти способы на примерах различных задач.

Задача 8.6.1. Построить развертку боковой поверхности призмы

АВСА С В (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Развертку выполним способом нормального сечения.

Пересечем призму фронтально проецирующей плоскостью Σ (Σ П2), перпендикулярной к боковым ребрам призмы. Построим сечение призмы этой плоскостью – треугольник 1-2-3. Определим натуральные величины сторон сечения – треугольник 1 -2 -3 . На свободном месте чертежа проведем прямую ℓ. От произвольной точки 10, взятой на этой прямой, отложим отрезки [10-20], [20-30], [30-10], равные сторонам треугольника. Через точки 10, 20, 30, 10 проведем прямые, перпендикулярные к прямой ℓ, и отложим на них от точек 10, 20, 30, 10 отрезки, равные соответствующим длинам боковых ребер,– [1-A], [1-A ], [2-B], [2-B ]… Полученные точки А0, В0, С0, А0, А0, С0, В0, А0 соединяем прямыми. Плоская фигура А0В0С0А0А0С0В0А0 представляет собой развертку боковой поверхности призмы.

Для получения полной развертки призмы необходимо к полученной развертке построить основания призмы.

Задача 8.6.2. Построить развертку поверхности призмы (рис. 8.9). Развертку построим способом раскатки. Принимаем за плоскость развертки плоскость Г, проходящую через ребро ВЕ, параллельную

фронтальной плоскости проекций.

Г. Для этого мысленно раз-

Рис. 8.9

Совместим грань BEFC с плоскостью

режем боковую		поверх-
ность	призмы	по реб-
ру CF, а затем осущест-
вим поворот грани BEFC
вокруг ребра BE (B2E2).
Для	нахождения совме-

щенного с плоскостью Г положения ребра C0F0 из точки F2 проводим луч, перпендикулярный к B2E2, и засекаем на нем дугой радиусом E1F1, проведенной из точки E2, точку F0. Через точку F0 проводим прямую C0F0, параллельную B2E2.

Принимаем совмещенное положение ребра C0F0 за новую ось вращения и поворачиваем вокруг нее грань FCAD до совмещения с плоскостью Г. Для этого из точки D2 проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру C0F0, а из точки F0 – дугу окружности радиусом, равным F1 D1. Пересечение дуги с лучом определит положение точки D0.

Через точку D0 проводим D0A0 параллельно C0F0. Аналогично на-

ходим положение ребра В0Е0. Соединив точки Е2, F0, D0, Е0 и В2, С0, А0, В0 прямыми, получим развертку боковой поверхности призмы.

Для получения полной развертки призмы достаточно к какому-либо из звеньев ломаных линий Е2F0D0Е0 и В2С0А0В0 пристроить тре-

угольники основания А0В0С0 и D0Е0F0.

Задача 8.6.3. Построить развертку боковой поверхности пирами-

ды SАВС (рис. 8.10).

Для решения задачи применяем способ триангуляции.

Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды.

Определение длин боковых ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси i, перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций П1 и проходящей через вершину S (рис. 8.10).

Путем вращения ребра пирамиды SA и SВ совмещаются с плоскостью Г, которая параллельна фронтальной плоскости проекций П2 и проходит через ось вращения i. Ребро SС занимает частное положение и на фронтальную проекцию проецируется в натуральную величину.

Рис. 8.10

После того как определены натуральные величины ребер S2A2 , S2В2 , S2С2 , приступаем к построению развертки. Для этого через произвольную точку S0 проводим прямую а и откладываем на ней от точки S0 отрезок S0А0 , равный отрезку S2A2 . Из точки А0 проводим

дугу радиусом R A B , а из точки S0 – дугу радиусом R S B . Пе-

1 1 2 2

ресечение дуг укажет положение вершины В0 треугольника S0A0B0, который равен грани пирамиды SAB.

Аналогично находятся точки C0 и A0.

Соединив точки A0, B0, С0, A0, получим развертку боковой поверхности пирамиды.

9 ПОВЕРХНОСТИ

9.1 Основные понятия и определения

До сих пор мы изучали геометрические фигуры, построение которых на комплексном чертеже требовало задания проекций конечного и строго определенного числа точек или прямых. Так, для изображения прямой достаточно задать проекции двух ее точек; плоскость определяется на чертеже проекциями трех ее точек, не лежащих на одной прямой; изображение многогранника сводится к построению его сетки, состоящей из совокупности всех вершин и ребер многогранника. Для изображения кривых поверхностей этот принцип пригоден не всегда, так как существуют поверхности, которые нельзя задать конечным числом случайных точек или линий. Поэтому для задания кривых поверхностей применяют другие способы. Существует несколько способов описания поверхностей.

Аналитический способ – задание множества точек поверхности, координаты которых удовлетворяют заданному математическому уравнению.

Кинематический способ – поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений движущейся в пространстве по определенному закону линии (образующей).

Для получения наглядного изо-
бражения поверхности на чертеже
закон перемещения образующей ai
целесообразно задавать графически
в виде совокупности неподвижных
линий {m1,…} и указаний о харак-
тере перемещения линии ai, при
этом указания могут быть заданы
также графически (рис. 9.1). В про-
цессе образования поверхности ли-
ния ai может оставаться неизмен-	Рис. 9.1
ной или изменять свою форму.
Подвижная линия ai называется образующей,	неподвижные линии

{m1,…} – направляющими.

Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий. Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом.

Многообразие форм поверхностей создает большие трудности при их изучении и классификации. Каждый способ задания поверхностей образует свою базу для их классификации. Поэтому разработка всевозможных классификаций представляет собой сложную задачу.

При задании кинематических поверхностей пользуются понятием определителя.

Определителем поверхности называется необходимая и достаточная совокупность геометрических фигур и связей между ними, однозначно определяющая поверхность.

Определитель поверхности можно представить следующим об-

разом: Ф(Г); [A],

где (Г) – геометрическая часть определителя, содержит перечень геометрических фигур, участвующих в задании поверхности;

[А] – алгоритмическая часть, указывает на характер взаимосвязи между геометрическими фигурами (закон движения образующей и закон изменения образующей).

В основу приведенной классификации (рис. 9.2) положен определитель поверхности. Поверхности разделены на классы, каждый из которых в свою очередь делится на подклассы, группы и подгруппы.

Поверхности принадлежат одному классу, если они имеют одинаковое содержание геометрической части определителя. Используя этот критерий, все многообразие поверхностей можно свести к двум классам:

класс I – поверхности нелинейчатые, образующие которых ai – кривые линии;

класс II – поверхности линейчатые, образованные прямой ли-

нией ai .

Условия алгоритмической части определителя, характеризующие закон движения образующей, позволяют выделить из классов I и II поверхностей три подкласса.

Подкласс 1 содержит поверхности, образованные поступательным перемещением образующей линии, – поверхности параллельного пе-

реноса.

Их определитель: Ф(а,m); [ai = Tm(a)].

Подкласс 2 составляют поверхности, образованные вращением образующей линии, – поверхности вращения.

Их определитель: Ф(а,i); [ai = Ri(a)].

Рис. 9.2. Классификация поверхностей

Подкласс 3 включает поверхности, образованные винтовым пере-

мещением образующей, – винтовые поверхности.

Их определитель: Ф(а,i); [ai = Ti(a)оRi(a)]. Некоторые поверхности можно отнести к

		разным подклассам. Например, цилиндриче-
		ская поверхность рассматривается как по-
		верхность параллельного переноса (рис. 9.3, а)
а	б	или как поверхность вращения (рис. 9.3, б).
	Рис. 9.3

9.2 Линейчатые поверхности с одной направляющей

Поверхностью с ребром возврата (торсом) называют поверхность, описываемую движением прямой – образующей а, касающейся некоторой пространственной кривой – направляющей m. Данная поверхность имеет две полы, а ребро возврата служит границей этих пол (рис. 9.4). Определитель такой поверхности имеет вид:

		a ,m , S ; ai m						Si m ,
		где m – пространственная кривая –
		ребро возврата;
		а – прямая образующая;
		S – точка, принадлежащая кри-
		вой m.
		Условие, отражающее закон дви-
		жения прямолинейной						образующей,
		состоит в том, что она, двигаясь вдоль
		ребра возврата, все время остается ка-
	Рис. 9.4	сательной к нему. Торсы являются
		развертывающимися					поверхностями,

могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок.

Если ребро возврата вырождается в точку, то получается частный вид торса – коническая поверхность (если точка собственная) или цилиндрическая поверхность в случае вырождения ребра возврата в несобственную (бесконечно удаленную) точку.

На рис. 9.5 показано образование конической поверхности, все прямолинейные образующие которой пересекаются в собственной точке S. Определитель такой поверхности имеет вид:

								.
a ,m , S ; ai					m S ai