Kalashnikova_Nacher_geom

Из произвольной точки А прямой m проводим прямую n, перпендикулярную к плоскости Σ.

Плоскость Σ	задана линиями
уровня, поэтому строим проек-
ции перпендикуляра следующим
образом:
n1 h1;	n2 f2.
Определяем	величину угла
между прямыми m и n вращени-

ем вокруг горизонтали h. Вычисляем значение искомо-

го угла:

= 90 – .

Рис. 7.15

Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми сечениями граней этого угла плоскостью,

перпендикулярной к их ребру.
Угол между двумя плоскостями Σ и
(рис. 7.16) определяется по следующей
схеме:
1. Выбираем в пространстве произ-
вольную точку А и опускаем из этой точки
перпендикуляры m и n на плоскос-
ти Σ и .
2. Находим точки М и N пересечения
этих перпендикуляров c плоскостями Σ и
, которые совместно о точками А и В яв-
ляются вершинами плоского четырех-
угольника ANBM, у которого углы при
вершинах М и N – прямые. Следователь-	Рис. 7.16
но, между углами при вершинах А и В су-

ществует зависимость, которую можно выразить равенством

= 180 – .

Из рис. 7.16 видно, что вместо угла φ гораздо проще определять дополнительный до 180º угол γ.

Задача 4.7.3. Определить угол между плоскостями: Σ, заданной следами (Σ1, Σ2), и , заданной пересекающимися прямыми h и f

(рис. 7.17).

Рис. 7.17

Проводим через произвольную точку А прямые т и п, перпендикулярные к плоскостям Σ и :

m1 Σ1;	m2 Σ2.
n1 h1;	n2 f2.

Затем вращением вокруг линии уровня – горизонтали h – определяем величину угла γ.

7.5Вращение вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (совмещение)

Вращение вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций, называют методом совмещения. Совмещение является частным случаем вращения плоскости вокруг горизонтали и фронтали. При совмещении за ось вращения принимается не произвольная горизонталь или

фронталь плоскости, а ее горизонтальный или фронтальный след (нулевые горизонталь или фронталь). В этом случае в результате поворота плоскости она совмещается с плоскостью проекций П1, если вращение осуществляется вокруг горизонтального следа плоскости, либо с П2 при вращении вокруг ее фронтального следа.

Совмещение применяется в том случае, если требуется определить натуральный вид фигур, принадлежащих плоскости, или построить в плоскости общего положения фигуру заданной формы и размеров.

Сущность способа совмещения представлена на рис. 7.18.

Плоскость общего				по-
ложения Σ вращается во-
круг следа Σ1		до совпадения
ее с горизонтальной плос-
костью проекций. При этом
след Σ1, как ось вращения,
остается на месте. Поэтому
для нахождения совмещен-
ного положения плоскости
достаточно		найти	совме-
щенное	положение		только		Рис. 7.18
одной	принадлежащей			ей

точки (не лежащей на следе Σ1). В качестве такой точки целесообразно взять точку N, принадлежащую фронтальному следу.

Точка N при вращении вокруг оси Σ1 перемещается по дуге окружности, принадлежащей плоскости В, перпендикулярной к оси вращения. Нахождение совмещенного положения точки N показано на рис. 7.19.

Построения (см. рис. 7.19, а) аналогичны построениям, выполненным при вращении точки вокруг линии уровня.

Нужно иметь в виду, что расстояние от точки схода следов ΣХ до точки N2 в совмещенном положении не меняется. Поэтому положение точки N20 можно определить следующим способом (рис. 7.19, б): достаточно из точки ΣХ описать дугу радиусом, равным расстоянию ΣХN2 до ее пересечения с горизонтальным следом В1 плоскос-

ти В, в которой будет перемещаться точка N. Через полученную точку N20 и точку ΣХ пройдет фронтальный след плоскости Σ20 при совмещении его с плоскостью П1.

а

б

Рис. 7.19

Линии уровня – горизонталь и фронталь – в совмещенном положении показаны на рис. 7.20:

h20 || Σ1; f20 || Σ20.

Рис. 7.20

Задача. По горизонтальной проекции [A1B1] прямой (АВ), принадлежащей плоскости Σ, построить в плоскости равносторонний треугольник ABC (рис. 7.21).

Рис. 7.21

План решения задачи:

1.Определяется фронтальная проекция [A2B2] с помощью линий уровня (фронталей).

2.За ось вращения выбирается горизонтальный след Σ1, и строится совмещенный фронтальный след Σ20.

3.С помощью совмещенных фронталей находится натуральная величина отрезка [АВ] – совмещенное положение отрезка [A20B20].

4.По натуральной величине стороны треугольника строится совмещенное положение треугольника A20B20С20 .

5.Обратными действиями точку С «поднимаем» в плоскость Σ, строим проекции точки C: C1 и С2.

6.Соединив одноименные проекции точек А, В, С, получаем про-

екции треугольника ABC: A1B1C1 – горизонтальную, A2B2C2 – фронтальную.

8 МНОГОГРАННИКИ

8.1 Общие сведения о многогранниках

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскими многоугольниками.

Многоугольники, ограничивающие поверхность многогранника, называют гранями, общие стороны смежных многоугольников – ребрами; вершины многогранных углов, образованных гранями, сходящимися в одной точке, – вершинами многогранника. Вершины и соединяющие их ребра образуют пространственную сетку многогранника.

Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называется выпуклым; все его грани – выпуклые многоугольники. Для выпуклых многогранников имеет место формула Эйлера:

Г + В - Р = 2,

где Г – число граней; В – число вершин;

Р – число ребер выпуклого многогранника.

Наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, призматоиды и правильные выпуклые многогранники – тела Платона (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

8.2 Чертежи многогранников

Чертежи многогранников, как и чертежи любых пространственных фигур, должны быть обратимыми, т.е. такими, чтобы по ним можно было бы точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета. Для получения обратимого чертежа необходимо соблюдать определенные условия расположения ребер каркаса в проекциях.

На чертеже пирамиды SАВС (рис. 8.1) показано определение горизонтальной проекции K1 точки К по известной ее фронтальной проекции K2 при условии, что точка К принадлежит грани SАВ.

Выбираем в грани любую из прямых, проходящих через заданную точку, например, горизонталь h, пересекающую ребро AS в точке 1. На грани SАВ есть еще одна гори-

зонталь – ребро АВ. Все горизонтали одной плоскости между собой параллельны, следовательно,

h2 || (А2В2); h1 || (А1В1).

На горизонтальной проекции горизонтали h1, проведенной через точку 11, определяется проекция K1.

Рис. 8.1

8.3 Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении какой-либо поверхности или тела плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением.

При пересечении многогранника плоскостью в сечении образуется плоский многоугольник с вершинами и сторонами, полученными в результате пересечения ребер и граней многогранника секущей плоскостью.

Различают два способа построения плоского сечения многогранника:

I) построение вершин n-угольника сечения как точек пересечения секущей плоскости с прямыми – ребрами (способ ребер);

2) построение сторон n-угольника сечения как линий пересечения секущей плоскости и плоскостей – граней (способ граней).

При первом способе построение сводится к многократному нахождению точки пересечения прямой с плоскостью, при втором способе

– линии пересечения двух плоскостей. Возможно комбинированное применение обоих способов.

Рассмотрим ряд примеров с характерными особенностями в каждом из них.

Задача 8.3.1. Построить сечение пирамиды SАВС фронтально проецирующей плоскостью Σ и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 8.2).

Подобные задачи решаются весьма просто, поскольку одна из проекций сечения вырождается в отрезок прямой линии.

Многоугольник сечения определяем по точкам пересечения ребер пирамиды с плоскостью Σ. Вначале определяем фронтальные проекции точек 12, 22, 32. С помощью линий связи находим гори-

Рис. 8.2	зонтальные проекции то-

чек 11, 21, 31. Соединив полученные точки, получаем проекции фигуры сечения.

Натуральную величину фигуры сечения можно найти любым из известных способов. В данном случае она определена способом плоскопараллельного перемещения.

Задача 8.3.2. Построить сечение призмы плоскостью общего положения Σ(m, n) (рис. 8.3).

В данной задаче целесообразно применить способ ребер. Найдем точку пересечения ребра АА с секущей плоскостью Σ. Для этого проведем через ребро АА вспомогательную плоскость (горизонтально проецирующую). Плоскость пересекает плоскость Σ по прямой (1-2). Прямые (АА) и (1-2) лежат в одной и той же плоскости . Следовательно, точка А2 является фронтальной проекцией точки А пересечения указанных прямых, горизонтальную проекцию которой А1 находим по линии связи. Итак, точка А – точка, в которой ребро АА пересекается с плоскостью Σ.

Рис. 8.4

Аналогично найдем точки В и С . Полученные точки и есть искомые вершины многоугольника сечения – треугольника A B C . Сечение проецируется на плоскости П1 и П2 с искажением.

Рис. 8.3

Задача 8.3.3. Построить сечение прямой призмы плоскостью общего положения Σ(Σ1, Σ2) (рис. 8.4).

Так как боковые грани призмы являются проецирующими плоскостями, то для решения задачи удобно воспользоваться способом граней.

Так, грань вс является частью ограничивающей многогранник горизонтально проецирующей плоскости Г, которая пересекается с плоскостью Σ по прямой (MN). Отрезок [BC] прямой, заключенный между ребрами в и с, будет тем отрезком, по которому грань вс пересекается с плоскостью Σ.

Таким образом, найдена одна сторона многоугольника сечения.

Грань ас, параллельная плоскости П2, является частью фронтальной плоскости , пересекающейся с плоскостью Σ по фронтали f. Отрезок [AC] этой фронтали – отрезок, по которому грань ас пересекается с плоскостью Σ. Вторая сторона многоугольника сечения построена. Вершины А и В определили и третью, замыкающую сторону сечения. Фронтальная проекция стороны АС сечения изображена штриховой линией, так как фронтальная проекция грани ас не видна.

Задача 8.3.4. Построить сечение пирамиды плоскостью общего положения Σ(Σ1, Σ2) (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Для решения задачи применен способ замены плоскостей проекций. Данным способом плоскость Σ из общего положения переведена в положение проецирующей плоскости. Для этого от системы плоскостей проекций П1/П2 переходят к системе П1/П4. Плоскость проекций П4 проводят перпендикулярно к плоскости Σ. На новую плоскость проекций П4 проецируют пирамиду SABC и плоскость Σ. В дальнейшем решение задачи сводится к разобранной ранее задаче (см. задачу 8.3.1). Найденные точки 14, 24, 34, принадлежащие фигуре сечения, возвращают на их первоначальные проекции.