Semenova_matem1

lim

z→0

f (z) 0

f0

(z)f

(z)

−

f (z)f0

(z)

1

=

1

2

1

2

;

при f2

= 0;

(f2(z) )

f22(z)

6

2◦ пусть '(z) дифференцируема в точке z, а f(w) дифференцируема в точке w = '(z), тогда (f('(z)))0=f'0 (')·'0z(z);

3◦ пусть в некоторой точке z функция f(z) дифференцируема и существует функция f−1(w) — обратная данной и дифференцируемая

		w = f(z)	(f−1(w))0 = 0		f0(z) =	1
	в точке			, тогда		(f−1(w))0 .
		, причем	6

Замечание. Основные элементарные функции комплексного пременного

w = ez; w = sin z; w = cos z; w = sh z; w = ch z; w = zn; n N

дифференцируемы в любой точке комплексной плоскости, а функции w = th z; w = tg z дифференцируемы всюду, за исключением точек z = 2 + k и z = ( 2 + 2 k)i соответственно.

2.2.2. Аналитическая функция. Дифференциал

Однозначная функция f(z) называется аналитической (голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности V (z)

этой точки. Функция f(z) называется аналитической в области D R2, если она аналитична в каждой точке этой области.

Замечание. Условие аналитичности функции в точке z более сильное по сравнению с условием дифференцируемости в точке z.

Точки z, в которых однозначная функция f(z) аналитична, называются правильными точками функции f(z). Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z, тогда

w = f0(z), значит w = f0(z) z + z, причем, если f0(z) =6 0, то

z

первое слагаемое f0(z) z является при z → 0 бесконечно малой того же порядка, что и z; второе слагаемое z есть бесконечно малая более высокого порядка, чем z. Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции w = f(z).

21

f0(z) =

Дифференциалом dw аналитической функции w = f(z) в точке z

называется главная часть ее приращения, т.е. dw = f0(z) z. Дифферен-

циалом аргумента dz называется приращение z аргумента. Отсюда

dwdz .

Замечание. Если функция w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y) аналитична в некоторой области D R2, то функции u(x; y) и v(x; y) удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа

@2· @2·

@x2 + @y2 = 0:

Таким образом, функции u(x; y), v(x; y) являются гармоническими

функциями. Действительно, для аналитической функции выполняются условия Коши — Римана @u@x = @y@v и @u@y = −@x@v : Продифференцируем первое равенство по y, а второе по x, получим

@2u @2v

и

@2u

= −

@2v

@2v

= −

@2v

@2v @2v

=

+

= 0:

@x@y

@y2

@y@x

@x2

@y2

@x2

@y2

@x2

Аналогично можно доказать равенство для u(x; y).

2.2.3. Конформное отображение

Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической в точке z0 функции w = f(z); f : D → E; D; E R2. Будем считать, что f0(z0) =6 0. Пусть произвольная точка z = z0 + z из окрестности V (z0) D точки z0 перемещается к точке z0 по некоторой непрерывной кривой l. Тогда во множестве E соответствующая точка w = w0 + w будет перемещатся к точке w0 по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости Ouv (в силу свойств непрерывности функции, рис. 2.3).

22

Y		V
	L	F
			L
		X	U
		Рис. 2.3

По определению

производной f0(z)

=

lim

w

,

следовательно,

z

z→0

lim

w

= lim

w

= lim

w

|f0(z0)| =

z

z

| z

|.

z→0

z→0

z→0

|

|

|

|

z

z

+ z

w

z

0 и

0

, а

Здесь

– расстояние

между

двумя точками

– расстояние между точками w0 и w0 + w, значит, |f0(z)| – предел отношения бесконечно малого расстояния между точками w0 и w0 + w

к бесконечно малому расстоянию между точками z0 и z0 + z при стремлении точки z0 + z к точке z0. Этот предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку z0, а значит, |f0(z0)| в точке z0 одинаков во всех направлениях (рис 2.4).

Таким образом, величина |f0(z0)| определяет коэффициент растяжения в точке z0 при отображении w = f(z). Если, |f0(z)| > (<)1, то

|f0(z)|называется коэффициентом растяжения (сжатия).

Y			V
				W + W
				0
		L	F
Z0+	Z			W
Z				W0
Z0				L
			X	U
			Рис. 2.4

Для аргумента производной функции w = f(z) в точке z0 имеем

arg f0(z0) = lim arg w = lim (arg w − arg z) = 2 − 1, где 1 и 2

z→0 z z→0

— углы, которые образуют касательные к кривым l и L соответственно в точках z0 и w0 с положительным направлением действительных осей

23

на плоскостях Oxy и Ouv. Значит, 2 = 1 + arg f0(z0), т.е. arg f0(z) – это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке z0

для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке w0(рис. 2.5).

Y	V
	F	W
	Z0		0
L	α1
α1	α2	L
	X		U
	Рис. 2.5

Замечание. В силу аналитичности функции w = f(z) в точке z0, угол ' = arg f0(z0)– один и тот же для всех кривых, проходящих через точку z0. Это свойство отображения w = f(z) называется свойством сохранения углов.

Отображение w = f(z), обладающее свойством сохранения углов

и постоянством растяжений в точке z0, называется конформным в точке z0.

Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области.

Очевидно, что если функция f(z) аналитична в точке z0, то отображение w = f(z) конформно в этой точке.

2.3.Интегрирование функции комплексного переменного

2.3.1.Основные понятия

Пусть функция f(z) задана в каждой точке гладкой кривой L с

началом в точке z0 и концом в точке Z.

Разобьем дугу z0Z на n частей точками деления

z

k

: z

0

< z

1

< : : : < z

n−1

< z

n

= Z. На каждой элементарной дуге z

z

k

k−1

выберем произвольную точку Pk (рис. 2.6) и составим интегральную

24

∑n

сумму Sn = f(Pk) zk, где zk = zk −zk−1 = (xk −xk−1)+i(yk −yk−1).

k=1

Предел такой интегральной суммы при n → ∞ и при max zk → 0, если

он существует, называется интегралом от комплекснозначной функции

∫

f(z) по контуру L и обозначается f(z)dz. Таким образом:

	L
∫		n
	lim		f(p	) z :
	f(z)dz = maxnj zkj!0	k=1	k	k
L	!1	∑

Замечание. Если f(z) — непрерывная функция, заданная на гладкой

кривой L, то описанный интеграл существует (в силу леммы Жордана).

Выясним способ вычисления такого интеграла. Пусть L — гладкая

кривая, f(z) — непрерывная функция, тогда

f(z) = u(x; y) + iv(x; y), где u(x; y) и v(x; y) – непрерывные функции двух

действительных переменных.

Пусть Pk = k + i k. Отметим, кроме того,

zk = zk

zk

−

1 = (x

x

) + i(y

k −

y

k−1

) = x + i y :

n

− n

k −

k−n1

k

k

k∑

∑

n

Тогда Sn =

f(Pk) zk =

(u( k; k) + iv( k; k))( xk + yk) =

∑

=1

k=1

∑

k

(v( k; k) xk+u( k; k) yk) →

=

(u( k

; k) xk − v( k; k) yk)+i

k=1

∫

∫

k=1

max

→∞

0

z

|→

udx

vdy + i

vdx + udy:

|

−

−−−−−−−−→

n

L

L

IM Z

Y

K	Z K

P

K

Y

K−1 ZK−1

0	X	X	RE Z
	K−1	K

Таким образом, вычисление интеграла от комплексной функции сводится к вычислению двух криволинейных интегралов второго рода, которые существуют в силу непрерывности составляющих их функций. В результате получим:

∫	Рис.2.6	udx − vdy + i ∫	vdx − udy = ∫ (u + iv)(dx + idy): (2:3)
	f(z)dz = ∫
L	L	L	L

25

Пусть теперь кривая L задана параметрически:

x = x(t);

t1 ≤ t ≤ t2, тогда z = z(t) = x(t) + iy(t) называется

{ y = y(t);

комплексным параметрическим уравнением кривой L в результате по-

лучаем:

t2

t2

∫

f(z)dz = ∫ (u+iv)(dx+idy) = ∫ (u+iv)(xt0 +iyt0)dt = ∫

f(z)zt0dt: (2:4)

L

L

t1

t1

Свойства интеграла от функции комплексного переменного

1◦

∫

dz = Z − z0 = (X − x0) + i(Y − y0);

L

∫

∫

2◦

∫

f(z)dz

;

(g(z)

±

f(z))dz = g(z)dz

±

L

∫

L

L

3◦

∫

, где

a

C

;

af(z)dz = a f(z)dz

L

L

4◦

∫

∫

;

f(z)dz =

−

f(z)dz

AB

∫1

BA

∫2

∫

5◦

f(z)dz =

f(z)dz +

f(z)dz, где L = L1 + L2;

L

L

L

6◦

если |f(z)| ≤ M для z L, то | f(z)dz| ≤ Ml, где l — длина

кривой L.

L

∫

Пусть для z L |f(z)n| ≤ M, тогда по определению

n

→∞

n

∫

lim

∑

L f(z)dz

= maxn| zk|→0

k=1 f(Pk) zk ≤

lim

0 k=1 |

f(Pk)

zk

lim

M

· |

zk

|

=

≤ max zk

||

| ≤ max zk|→0 k=1

n|→∞|→

∑

n

n|→∞n

∑

= M

·

max zk

0 =1 | zk|

= Ml; где k=1 | zk| — длина ломанной,

lim

∑

n|→∞|→ k∑

вписанной в кривую L.

2.3.2. Теорема Коши

Область D называется односвязной, если всякий непрерывный замкнутый путь, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя из области.

26

Теорема Коши. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю.

Пусть L – произвольный фиксированный замкнутый контур, целиком лежащий в области D, а f0(z) – непрерывная в этой области функция. Тогда

I	f(z)dz = I	udx − vdy + i I	vdx + udy;
L	L	L

причем, u(x; y) и v(x; y) – непрерывные и дифференцируемые на области

D функции, и эти функции удовлетворяют условиям Коши-Римана (2:2),

H H

а значит, интегралы udx−vdy и vdx+udy являются криволинейными

LL

интегралами от полных дифференциалов, не зависят от формы пути и равны нулю.

Следствие. Пусть L – замкнутый контур, L1; L2; : : : Ln – замкнутые контуры, лежащие внутри контура L и вне друг друга. Пусть функция f(z) аналитична в области, заключенной между контуром L и контурами

L1; L2; : : : Ln; и на всех этих контурах. Тогда справедливо равенство:

H H H H

f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + : : : + f(z)dz:

L L1

A B C D

Рис. 2.7

	L2	Ln
		Рассмотрим, например,
	трехсвязную			область	D,
	ограниченную			внешним
E	контуром		L и	внутренними
	A 1 контурами L1; L2. Проведем
	две дуги AB и CD области D,
	получим		новую	односвязную
	область D1, ограниченную

замкнутым ориентированным контуром (рис. 2.7).

=AA1 +AB+BC+CD+DED+DC+CB+BA +A1A:H

∫	По теореме		Коши для		односвязной			области	f(z)dz = 0
	∫	∫	∫	H	∫	∫	∫	∫
	+ + + +			+ + + + = 0.
AA1	AB	BC	CD	DED	DC	CB	BA	A1A

27

∫	∫	∫		∫	в силу свойств интеграла, то получим:
Так как	= − и	= −
AB	BA	CD		DC		I	+ ∫
	∫	+ ∫	+ ∫		+			= 0
	AA1	A1A		BC	DED		CB
	I+ f(z)dz + I			f(z)dz + I			f(z)dz = 0
	L		L1			L2
	I+ f(z)dz =			I+	f(z)dz + I+ f(z)dz:
	L		L1				L2

Замечания.

1.Интеграл по внешнему контуру L от функции f(z) равен интегралу от функции f(z) по внутреннему контуру l, при условии, что оба контура обходятся в одном направлении.

2. Если функция f(z) аналитична в окрестности V (a) точки a, то интегралы по всем достаточно малым замкнутым контурам, окружающим точку a, равны между собой.

2.3.3. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D. Уже доказано, что интегралы от этой функции по замкнутым контурам, лежащим в области D, равны нулю. Значит, интеграл от функции f(z) в

этой области не зависит от формы пути, а зависит лишь от начальной и

конечной точек пути. В таком случае используют обозначения						f(z)dz =
					L
z2	z	точку z			∫	z2
f(z)dz					изменять, то	f(z)dz
z∫1	. Если зафиксировать точку 1, а	z		2		z∫1
будет функцией от z2. Обозначают F (z) = z∫1			f( )d :

Лемма. Аналитическая функция всегда имеет первообразную.

Пусть f(z) – аналитическая функция на области D. Зафиксируем

28

произвольную точку z D, тогда

z+z

z

z+z

F (z + z) − F (z) =

∫ f( )d −

∫ f( )d =

∫

f( )d

z1

z1

z

z+z

F

F (z + z)

−

F (z)

1

∫z

=

=

f( )d :

z

z

z

z+z

z+z

z+z

F

− f(z) =

1

∫z

f( )d −

1

∫z

f(z)d =

1

∫z

(f( ) − f(z))d :

z

z

z

z

В точке z D функция f(z) непрерывна, значит, для любого " > 0

найдется такое > 0, что для всех D, удовлетворяющих условию

| − z| < будет выполнено условие |f( ) − f(z)| < ". Зафиксируем

произвольное " > 0, тогда

−

z

∫

−

≤

z

−

z

∫

F

f(z) =

1

z+z(f( )

f(z))d

=

1

z+z(f( )

f(z))d

|

|

z

z

z+z

1

∫z

1

≤

|f( ) − f(z)| d <

|z + z − z|" = ":

| z|

| z|

Следовательно, по определению предела функции

lim

F (z + z) − F (z) =

f(z)

,

т.е.

F 0

(z) =

f(z)

аналитическая

z→0

z

функция всегда имеет первообразную, и одной из первообразных будет

∫z

F (z) = f( )d :

z1

Лемма. Если 0(z) = 0 в некоторой области, то в этой области (z) = const:

Таким образом, всякие две первообразные от одной функции отлича-

ются на некоторую постоянную величину. Значит,

∫ ∫z ∫

f(z)dz = f( )d + C, где f(z)dz – любая первообразная анали-

z1

тической функции f(z), называемая неопределенным интегралом, C –

произвольное комплексное число.

29

z2	Легко убедиться, что справедлива формула Ньютона — Лейбница
z∫1	f(z)dz = F (z2) − F (z1), где F (z) – одна из первообразных функции
f(z).
	Интегралы от элементарных функций комплексного переменного

в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. Например,

∫	ez dz = ez + c;	∫	sin z dz = − cos z + C;							∫	cos z dz = sin z + C
и т.д.
Пример 1. Вычислим				dz	, где L – окружность радиуса R с центром
				z−z0
		L
в точке z0, обходимая противH					часовой стрелки.
B Теорема Коши неприменима, так как							1		– не аналитическая функция
						z−z0
в точке z = z0. Параметрическое уравнение контура
L : x = x0 + R cos t;		y	= y0 + R sin t;					0 ≤ t			≤ 2 . Следовательно,

z = x + iy = x0 + R cos t + iy0 + iR sin t = (x0 + iy0) + iR(cos t + i sin t) = = z0 + Reit. Тогда

					2		R ieitdt			2
		I		dz	= ∫					= i ∫ dt = 2 i:	J
			z	z0		z0 + Reit		−	z0
		L		−	0					0
	Пример 2. Вычислим						(z − z0)ndz, где L – окружность, n Z
	n = 1						L
и		.					H
	6 −
B В общем случае, подинтегральная функция также не аналитична
в точке z = z0. Имеем:
	(z − z0)ndz =			2						2
				(z0 + Reit − z0)niReitdt = i Rneit · Reitdt =
L				0						0
H	2			∫						2 ∫

	= iRn+1				ei(n+1)tdt = iRn+1	1	ei(n+1)t		0	=
						i(n+1)
		R	n+1		0
	=				∫				(cos(0) + i sin(0))) =
		n+1		(cos(2 (n + 1)) + i sin(2 (n + 1))
								−
			n+1
	= Rn+1 (1 + 0 − 1 − 0) = 0: J

30