Semenova_matem1

1 f(z)

1 f(z)

Если z0 — полюс, то в окрестности точки z0 разложение Лорана имеет

∞

n

C−1

C−2

C−m

вид: f(z) = n=0 Cn(z −z0)

+

+

+: : :+

, C−m 6= 0.

z − z0

(z − z0)2

(z − z0)m

Полюс

z

называется полюсом m-го порядка функции f(z), при этом,

0

∑

если m = 1, то полюс называется простым.

Последнее равенство можно записать в виде:

∞

1

∑

f(z) =

(z − z0)m

· ((z − z0)m n=1 Cn(z − z0)n+

+C−1(z − z0)m−1 + C−2(z − z0)m−2 + : : : + C−m)

=

g(z)

;

(z − z0)m

где g(z) — аналитическая функция для z C, причем

g(z0) = C−m, т.е. g(z0) =6 0. Отсюда получаем, что в окрестности точки

z0 функция f(z) бесконечно велика, lim f(z) = ∞:

z→z0

Лемма. Изолированная особая точка z = z0 является

полюсом, если lim f(z) = ∞: Для того, чтобы определить

z→z0

порядок полюса z0, нужно найти такое число m, что lim (z −

z→z0

z0)mf(z) = A, где A (0; +∞). Это число и будет порядком полюса.

Теорема. Если точка z0 ноль m-го порядка функции f(z), то z0 является полюсом m-го порядка функции ; если точка z0 полюс m-го порядка функции f(z), то z0 является нулем m- го порядка функции .

Если z0 – существенно особая точка, то в силу теоремы Сохоцкого – Вейерштрасса в достаточно малой окрестности точки z0 функция f(z)

становится неопределенной. В такой точке функция не имеет предела.

Замечание. Классификацию изолированных особых точек можно распространить на случай, когда особой точкой функции является точка z = ∞. При этом окрестностью точки z = ∞ называется внешность круга с центром в точке z = 0 и достаточно большим радиусом R. Тогда

41

изучение функции f(z) в окрестности точки z = ∞ можно свести

с помощью подстановки z = w1 к изучению функции f( w1 ) в окрестности точки w = 0.

Пример 3. Найдем особые точки функции f(z) = sinz2z .

B Особой точкой f(z) является точка z = 0, причем так как lim z sinz2z =
1 (0; +∞), то z = 0 – простой полюс. J	z→0

2.5.Вычет функции

2.5.1.Основные понятия

z0

1

2 i

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке

называется комплексное число Resf(z0), равное значению интеграла

H

f(z)dz, взятого в положительном направлении по окружности

L

L = {z : 0 < |z − z0| < R}, лежащей в области аналитичности функции f(z).

Замечание. Если функция f(z) разложима в ряд Лорана в окрест-

ности точки z = z0,то в силу формулы (2:8)
C−1 =	1	I	f(z)dz;	т.е. Resf(z0) = C−1	:	(2:10)
	2 i

L

Теорема Коши. Если функция f(z) является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа точек zk; k = 1; 2; : : : ; n;

лежащих внутри области D, то

H∑n

f(z)dz = 2 i	Resf(zk):	(2.10)
L	k=1

Опишем вокруг каждой особой точки zk окружность lk так, чтобы она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых точек и никакие две окружности lj и lm не имели общих точек (рис. 2.10).

42

Тогда, на основании теоремы Коши для многосвязной области имеем

	I	n
		f(z)dz = k=1 I	f(z)dz:
	L	∑lk
Рис.2.10
Но, согласноnсделанному замечанию, lHk f(z)dz = 2 iResf(zk), поэтому
H	∑
f(z)dz = 2 i	Resf(zk).
L	k=1

2.5.2. Вычисление вычетов

Если z0 – правильная или устранимая особая точка функции f(z), то очевидно, что Resf(z0) = 0, так как в разложении Лорана в этом случае отсутствует главная часть, и C−1 = 0:

Если z0 – простой полюс функции f(z), то разложение в ряд Лорана для функции f(z) в точке z0 имеет вид:

∞

n

C−1

: Отсюда

f(z) = n=0 Cn(z

− z0)

+

z

−

z0

∑

∞

n+1

, и при z

→ z0 получаем, что

f(z)(z − z0)

=

C−1 + n=0 Cn(z − z0)

Resf(z0) = C

1

(z)(z

z )

.

−

= lim f∑

−

0

z

→

z0

Отметим, что если f(z) =

'(z)

, где '(z0) 6= 0, а (z) имеет простой

(z)

нуль при

z = z

, т.е.

(z

) = 0

0

(z ) = 0

, то

0

0

, а

0

6

lim (z

−

z

)

'(z)

=

lim (z

−

z )

'(z)

=

(z) − (z0)

Resf(z0) = z→z0

0

(z)

z→z0

0

=

lim

'(z)

= lim

'(z)

=

'(z0)

:

(z)− (z0)

0(z)

z

→

z0

z z0

0

(z0)

→

z−z0

'(z)

z=z0

=

'(z0)

:

Таким образом, Res

(z)

0(z0)

Если z0 — полюс m-го порядка функции f(z), тогда разложение

43

в ряд Лорана функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид:

∞

n

C−1

C−2

C−m

f(z) = Cn(z − z0)

+

+

+ : : : +

:

z

−

z0

(z

−

z0)2

(z

−

z0)m

∑

n=0

Отсюда

f(z)(z − z0)m =

∑∞

=Cn(z − z0)n+m + C−m + C−m+1(z − z0) + : : : + C−1(z − z0)m−1:

n=0

Продифференцируем последнее равенство (m − 1) раз по z и получим

			dm−1
								((z − z0)mf(z)) =
		∞	dzm−1
		∑
= (m − 1)!C−1 + Cn(n + m)(n + m − 1) : : : (n + 2)(z − z0)n+1:
		n=0
Отсюда, при z → z0					m	−	1
1				d						m
Resf(z0) =									((z − z0)		f(z)) — формула для вычисле-
	(m − 1)!	z→z0		dzm−1
		lim
ния вычета в полюсе m-го порядка.

Если z0 — существенно особая точка функции f(z), то вычет функции в этой точке обычно непосредственно находится как коэффициент C−1

разложения функции в ряд Лорана.

Пример 4. Найти вычет функции f(z) = ctg z в точке z0 = .

B Очевидно, что z0 = простой полюс (проверить самостоятельно), поэтому

	cos z	z=	lim	cos z	= cos	=	1	= 1	J
				(sin z)0
	Resf( ) = Res sin z		= z→∞		cos		−−1

2.5.3. Применение вычетов к вычислению интегралов

Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.

H		√				1
			dz			√
Пример 5. Вычислить	(z−1)2(z2+1)				, L = z : |z − 1 − i| = 2.
L
B Внутри круга |z − 1 − i| <			2	функция f(z) =					имеет
						(z−1)2(z2+1)
простой полюс z1 = i и полюс второго порядка z2						= 1 (проверить

44

eix+e ix

2

dx 2 .

(3+2 cos x)

H

dz

самостоятельно). Тогда

(z−1)2(z2+1)

= 2 i(Resf(i) + Resf(1)) =

L

= 2 i

lim

z i

1

lim

2

1

0

(z−1)2(z−−i)(z+i) +

(z

(z−1)2(z2+1)

)

=

(z→i

1!

z→1

(

− 1)

)

= 2 i

lim

1

+ lim

2z

=

i :

(z−1)2(z+i)

2

2

)

J

(z→i

z→i

(z−+1)

− 2

2∫

Определенный интеграл вида R(sin(x); cos(x))dx с помощью заме-

0

ны z = eix в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по

замкнутому контуру l : |z| = 1 от функции комплексного переменного.

2∫

Пример 6. Вычислим интеграл

0

B Проведем замену переменных z = eiz; dz = ieizdx = izdx;

cos x =

0 ≤ x ≤ 2 , z :

	z+ 1			2
=		z	= z	2+1z . Так как z = eix = cos x + i sin x, то при
		2

|z| = 1. Следовательно,

2

∫0

dx

I

dz

1

I

zdz

=

=

=

(3 + 2 cos x)2

iz(3 + 2

z2+1

)2

i

(z2 + 3z + 1)2

+

2z

+

{|z|=1}

{|z|=1}

2

2

0

= 2 Resf(z)

3+p5

=

−

3+√

)

1

5

z

= 2

lim

z

=

(

3 p

2

( −

3+p

2

−

5

5

·

1! z

→

2

(

−

2

2

)

2

)

)

3+p5 (

z

z

( 3+2√

−z)

5

6√

=

lim

2 = 2

·

3

=

5

: J

√

3

25

3+√5

5

3+p5

5

z→

2

(z+

2

)

Теорема. Если функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости Imz ≥ 0, за исключением конечного числа особых точек, лежащих выше действительной оси, и если при z →

∞ f(z) стремится к нулю быстрее, чем z1 , то несобственный

∫∞

интеграл f(z)dz существует и равен произведению 2 i на

−∞

сумму вычетов f(z) относительно особых точек, лежащих в верхней полуплоскости.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл +∫∞ dx .

x4+4

−∞

45

B Корни знаменателя x4 + 4 = 0, x4 = −4; x = ±1; ±i. В верхней полуплоскости находятся два корня x = 1 + i и x = −1 + i – простые полюсы (проверить самостоятельно). Поэтому

+∞

dx

1

1

−∞

1

1

z

z

∫

x4 + 4 = 2 i (Resz4 + 4 z=1+i

+ Resz4

+ 4 z=−1+i) =

= 2 i (

+

z=−1+i) = 2 i

(

=

4z

3

z=1+i

4z3

4z4

z=1+i +

4z4

z=−1+i)

1 + i

1 + i

2i

= 2 i

+

−

= 2 i

=

:

(4( 4)

4(

16

4

J

−

4) )

−

−

46

Литература

1.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.2./ Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 256 с.

2.Романовский, П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа/ П.И. Романовский.

– М.: Наука, 1980. – 336 с.

3.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа: учебное пособие для втузов/В.А. Болгов и др; под редакцией А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.– М.: Наука, 1986. – 386 с.

4.Свешников А.Г. Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного/Свешников,А.Г., Тихонов А.Н. — М.: Физматлит, 2004. – 334 с.

47

Учебное издание

Семенова Галина Александровна

Никольская Татьяна Александровна

Тюлькина Елена Юрьевна

Математика. Элементы теории функций комплексного переменного

Часть 1

Учебное пособие

Редактор Г.В. Карпушина Технический редактор С.И. Якушина

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет — учебно-научно- производственный комплекс»

Лицензия ИД №00670 от 05.01.2000 г.

Подписано к печати 03.03.2011 г. Формат 60х84 1/16 Усл. печ. л. 3,0. Тираж 100 экз.

Заказ №

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ФГОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК»,

302030, г. Орел, ул. Московская, 65.