Примеры оформления задач РГР приведены в приложении Б.
Рисунок 1
5 ЗАЩИТА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Первоначально работа выполняется в тонких линиях и должна быть представлена студентом на проверку преподавателю в установленные сроки. При правильном выполнении работа окончательно оформляется и представляется на защиту. Форма защиты – собеседование. Студент должен знать ход решения задач, отвечать на вопросы по теме работы.
Защита контрольной работы может быть назначена преподавателем для всей группы или же проводится в соответствии с графиком консультаций преподавателей по расписанию кафедры.
Результаты защиты РГР учитываются в качестве модульного контроля.
6 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
6.1 Задачи, решаемые без преобразования чертежа
Задача 1.1 Отложить на прямой m |
|
|
от точки А отрезок АВ длиной ℓ (рису- |
|
|
нок 2). |
|
|
По виду проекций прямой m опре- |
|
|
деляем, что заданная прямая является |
|
|
горизонтальной прямой уровня: m2 || х |
|
|
m || П1. Следовательно, отрезок АВ, при- |
|
|
надлежащий этой прямой, будет проеци- |
|
|
роваться на горизонтальную плоскость |
|
|
проекций без искажения. Откладываем |
Рисунок 2 |
|
на проекции m1 от точки А1 горизон- |
||
|
||
тальную проекцию отрезка |А1В1| = ℓ. |
|
6
Фронтальную проекцию В2 найдем на пересечении фронтальной проекции прямой m2 с линией проекционной связи, перпендикулярной к оси х.
Задача 1.2 Опустить перпендикуляр из точки А на прямую m (рисунок 3).
Рисунок 3
комого перпендикуляра.
На основании анализа условия задачи определяем, что заданная прямая m является фронтальной прямой уровня:
m1 || х m || П2.
Следовательно, на основании теоремы о проецировании прямого угла можно построить фронтальную проекцию перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую m. Таким образом находим фронтальную проекцию основания перпендикуляра – точку В2. Горизонтальная проекция В1 точки В находится на горизонтальной проекции прямой m1 на линии проекционной связи. А1В1 – горизонтальная проекция ис-
Задача 1.3 Определить натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций П1 и П2 (рисунок 4).
Построим вспомогательный прямоугольный треугольник А1В1В0, один катет которого – горизонтальная проекция А1В1 отрезка, а другой катет равен разности координат z для точек А и В.
Гипотенуза А1В0 определяет натуральную величину отрезка АВ, угол В1А1В0 определяет величину угла наклона отрезка АВ к плоскости П1.
Рисунок 4
7
Для определения величины угла наклона отрезка АВ к плоскости П2 на фронтальной проекции отрезка построим вспомогательный прямоугольный треугольник А2В2А0. Одним катетом треугольника является фронтальная проекция А2В2 отрезка, другой катет равен разности координат y для точек А и В. Повторно определяется длина отрезка АВ. Угол А2В2А0 определяет величину угла наклона отрезка АВ к плоскости П2.
Задача 1.4 Определить расстояние от точки А до прямой m (рисунок 5).
По условию задачи прямая m параллельна плоскости П1. Следовательно, на основании теоремы о проецировании прямого угла можно построить горизонтальную проекцию перпендикуляра, опущенного из проекции А1 на проекцию m1. Находим горизонтальную проекцию основания перпендикуляра – точку В1. Затем определяем фронтальную проекцию В2 точки В. [А2В2] – фронтальная проекция перпендикуляра.
Методом прямоугольного тре- Рисунок 5 угольника определяем натуральную величину отрезка [АВ]. |В1В0| – искомое
расстояние от точки А до прямой m.
Задача 1.5 Построить проекции квадрата ABCD, сторона ВС которого принадлежит прямой m (рисунок 6, а).
На основании анализа условия задачи определяем, что заданная прямая m является горизонтальной прямой уровня: m2 || х m || П1. Следовательно, на основании теоремы о проецировании прямого угла, прямые углы квадрата на горизонтальную плоскость проекций должны проецироваться без искажения.
Построим горизонтальную проекцию перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую m и найдем горизонтальную проекцию В1 вершины квадрата.
8
Фронтальная проекция В2 вершины В находится на фронтальной проекции прямой m2 при помощи линии проекционной связи. Отрезок А2В2 – фронтальная проекция стороны АВ (рисунок 6, б).
|
|
а |
б |
Рисунок 6
Определим натуральную величину стороны квадрата по правилу прямоугольного треугольника (см. задачу 1.3). Гипотенуза В1А0 определяет натуральную величину стороны квадрата АВ.
Прямая m является горизонтальной прямой уровня, следовательно, сторона квадрата ВС, принадлежащая этой прямой, будет проецироваться на горизонтальную плоскость проекций без искажения. Откладываем на проекции m1 от точки В1 горизонтальную проекцию отрезка |В1С1| = |В1А0|. Фронтальную проекцию С2 найдем на фронтальной проекции прямой m2 восстановив линию проекционной связи перпендикулярно оси х.
Для построения вершины D, воспользуемся свойством параллельности противоположных сторон квадрата. При параллельном проецировании сохраняется параллельность отрезков. Построим на горизонтальной проекции отрезки [А1D1] параллельно [В1С1], а [В1D1] параллельно [А1В1]. Фронтальную проекцию точки D построим аналогично.
9
Задача 1.6 В плоскости (a, b) через точку А провести горизонталь (рисунок 7).
Фронтальную проекцию горизонтали h2 проводим через заданную проекцию А2 параллельно оси х: h2 || x.
Горизонтальную проекцию h1 находим с помощью точек 1 и 2. Горизонтальная проекция точки А принадлежит
горизонтальной |
проекции горизонтали: |
Рисунок 7 |
А1 h1. |
|
|
Задача 1.7 |
В плоскости (m, n) че- |
|
|
||
рез точку B провести фронталь (рисунок |
|
|
8). |
|
|
Горизонтальную проекцию фронта- |
|
|
ли f1 проводим через заданную проекцию |
|
|
B1 параллельно оси х: f1 || x. |
|
|
Фронтальную проекцию f2 находим |
|
|
с помощью точек 1 и 2. Фронтальная |
|
|
проекция точки В принадлежит фрон- |
|
|
|
||
тальной проекции фронтали: В2 f2. |
Рисунок 8 |
|
Задача 1.8 Построить недостающую проекцию плоского многоугольника ABCDE (рисунок 9, а).
а |
б |
Рисунок 9
10
Любая из точек плоской фигуры (треугольника, квадрата, окружности и т.п.) принадлежит плоскости этой фигуры. Поэтому проекции плоской фигуры строят по условию принадлежности точек фигуры ее плоскости.
Здесь плоскость многоугольника ABCDE представлена двумя его сторонами АЕ и АВ, заданными на горизонтальной и фронтальной проекциях.
Построим в плоскости многоугольника диагональ BE (ее проек-
ции B1E1 и B2E2) (рисунок 9, б).
На фронтальной проекции диагонали A2C2 и A2D2 пересекают диагональ B2E2 соответственно в точках 12 и 22. Найдем горизонтальные проекции точек 11 и 21 на горизонтальной проекции диагонали B1E1. Через точки 11 и 21 построим горизонтальные проекции диагоналей, на которых расположены проекции вершин C и D. Точки C1 и D1 находим с помощью линий связи.
Задача 1.9 Построить точку пересечения прямой n с фронтально проецирующей плоскостью , заданной треугольником АВС. (рисунок 10).
|
Сначала |
находим |
фронтальную |
|
|
||||
|
проекцию К2 точки К на пересечении |
|||
|
фронтальной проекции n2 прямой n с |
|||
|
фронтальной |
проекцией |
(следом |
2) |
|
плоскости. |
|
|
|
|
Горизонтальная проекция K1 точ- |
|||
|
ки К определяется на пересечении ли- |
|||
|
нии связи с горизонтальной проекцией |
|||
|
n1 прямой n. |
|
|
сле- |
|
Видимость устанавливается |
|||
|
дующим образом: часть прямой, распо- |
|||
|
ложенная правее точки К, находится |
|||
Рисунок 10 |
под плоскостью треугольника ABC, по- |
|||
|
этому на горизонтальной проекции она |
|||
невидима.
Задача 1.10 Построить линию пересечения плоскости общего положения Σ(АВС) c горизонтально-проецирующей плоскостью (рисунок 11).
11
Линия пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью определяется по точкам пересечения двух любых прямых линий плоскости общего положения проецирующей плоскостью. Известно, что любая геометрическая фигура, расположенная в проецирующей плоскости, имеет одну и своих проекций на соответствующем следе этой плоскости. Это свойство проецирующих плоскостей дает возможность легко решать задачи на построение точек пересечения прямых линий проецирующими плоскостями.
Точка пересечения стороны треугольника AВ горизонтальнопроецирующей плоскостью определяется следующим образом. В точке пересечения горизонтального следа плоскости 1 и горизонтальной проекции отрезка А1В1 находим горизонтальную проекцию 11 точки 1. Фронтальная проекция точки 12 определяется как недостающая проекция точки 1, принадлежащей отрезку AВ. Аналогично находим точку 2 пересечения стороны треугольника ВС с горизон- тально-проецирующей плоскостью . Прямая (1-2) является линией пересечения плоскостей.
По горизонтальной проекции видно, что часть плоскости с вершиной В расположена за плоскостью , следовательно, на фронтальной проекции она не видна и изображается на чертеже штриховыми линиями невидимого контура.
Задача 1.11 Найти точку пересечения прямой m c плоскостью
Σ(АВС) |
общего положения (рисунок 12, а). |
|
Решение задачи состоит из трех этапов. |
|
|
1. |
Прямую m заключают во вспомогательную плоскость . В |
|
данном |
случае выбрали горизонтально проецирующую плоскость |
|
(можно заключить и во фронтально проецирующую плоскость). |
||
2. Строят линию пересечения плоскостей |
и Σ. |
|
Эту прямую находят по точкам пересечения двух прямых АВ и |
||
ВС, принадлежащих плоскости Σ, с плоскостью |
: |
|
|
АВ∩Δ = 1, ВС∩Δ = 2. |
|
12
Линией пересечения плоскостей Σ и является прямая (1-2). 3. Находят точку пересечения линий m и (1-2).
|
|
а |
б |
Рисунок 12
Решение задачи приведено на рисунке 12, б.
Сначала определяют фронтальную проекцию искомой точки К – К2. Затем с помощью линии проекционной связи проецируют ее на горизонтальную проекцию прямой m1 и находят проекцию К1.
В точке К прямая m пересекает плоскость Σ.
Видимость прямой определяют по методу конкурирующих точек. Если смотреть по направлению проецирующей прямой, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций, или наиболее близко расположена к наблюдателю.
Так на горизонтально-проецирующей прямой (1-3) находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым m и АВ. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника, точка 3 принадлежит прямой m. По фронтальным проекциям 12 и 32 этих точек устанавливаем, что точка 1 расположена дальше чем точка 3 относительно плоскости проекций П1. Следовательно, на участке (3-K) прямая линия m (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций П1) находится под плоскостью треугольника, т.е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную проекцию прямой m1 на участке (31-К1) покажем штриховой линией.
13
Чтобы определить видимость прямой относительно фронтальной плоскости проекций, воспользуемся фронтально-проецирующей прямой (4-5). Здесь точка 5 принадлежит стороне ВС треугольника, а точка 4 – прямой m. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 5 ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому на участке (К-4) (если смотреть на фронтальную плоскость проекций П2) прямая m закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке (К2-42) проекцию m2 прямой покажем штриховой линией.
|
Задача 1.12 Построить линию пересечения двух плоскостей |
||||||
Σ(АВС) и Г(EF || KL) (рисунок 13). |
|
||||||
|
Прямая линия, полу- |
|
|
||||
чаемая |
при |
пересечении |
|
|
|||
двух плоскостей, определя- |
|
|
|||||
ется двумя точками, каждая |
|
|
|||||
из которых |
принадлежит |
|
|
||||
обеим плоскостям. Следо- |
|
|
|||||
вательно, построение линии |
|
|
|||||
пересечения |
двух |
плоско- |
|
|
|||
стей сводится к нахожде- |
|
|
|||||
нию двух таких точек. Для |
|
|
|||||
их определения воспользу- |
|
|
|||||
емся |
ранее |
рассмотренной |
|
|
|||
задачей о пересечении пря- |
|
|
|||||
мой и плоскости (см. задачу |
|
|
|||||
1.11). Найдем точки пере- |
|
|
|||||
сечения двух прямых ли- |
|
|
|||||
ний, |
принадлежащих одной |
|
|
||||
из плоскостей, с другой |
|
|
|||||
плоскостью. |
Такие |
точки |
|
|
|||
будут |
удовлетворять |
усло- |
|
|
|||
вию |
совместной |
принад- |
|
|
|||
лежности обеим |
плоско- |
|
Рисунок 13 |
||||
стям, а линия пересечения |
|
||||||
плоскостей пройдет через эти точки. |
|
||||||
|
Определим точки пересечения прямых ЕF и KL с плоскостью Σ: |
||||||
|
|
|
|
ЕF∩Σ = М; |
КL∩Σ = N. |
||
14
Найдем пересечение прямой ЕF с плоскостью треугольника ABC. Через прямую ЕF проводим фронтально-проецирующую плоскость . Определяем линию (1-2) пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника ABC. Найденная линия (1-2) пересекается с прямой ЕF в точке М, которая является точкой пересечения линии ЕF с плоскостью Σ.
Аналогично определяем точку N – точку пересечения прямой KL с плоскостью треугольника ABC.
Прямая линия (МN) является линией пересечения двух плоскостей. Видимость плоскостей относительно плоскостей проекций определена с помощью конкурирующих точек.
Задача 1.13 Построить линию пересечения двух плоскостей
Г(АВС) и Λ(EFLK) (рисунок 14).
Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.
Рисунок 14
15