Svidchenko_mETodi4ka_po_tOE

uc (0-) = i3 (0-) · R3 = 5· 12 = 60 B ;

E uc (0-) R· i3 (0-)

100 60 4 ·5 20

i L(0-) = i1 (0-) = = = = 1,67 A .

R3

12

12

После коммутации i = i 1

	di1
R i1 + R1 i1 + L· + uc = E
R3 i3 uc = 0	dt
	(1)
duc
i3 + C· = i1	.

dt

В качестве независимой переменной примем не i3 (t) , а uc (t) . При этом применение закона коммутации uc (0-) = uc (0+) реализуется с помощью более простых формул. Искомый ток i3 после нахождения uc можно рассчитать на основе второго уравнения системы (1).

uc (t) = u c уст + uc cв(t) = u c уст + A1 · ep1

·t + A2 · ep2

·t

(2)

E 100

u c уст = i 3уст ·R3 = ·R3 = ·12 = 3,57 ·12 = 42,86 B

R + R1 + R3

4+12+12

i 3 уст = 3,57 A.

Систему (1) в результате преобразований можно свести к дифференциальному уравнению второго порядка относительно выбранной

независимой переменной uc (t) :
d2u c	L	du c	R+ R 1
LC· + C(R + R1) + ·			+ ( +1) ·uc = E .
dt 2	R3	dt	R3

Это уравнение позволяет получить характеристическое уравнение

LC· p2 + [ C(R + R1) + L / R3 ]· p + [(R + R1) / R3 +1] =0,

(3)

11

корни которого р1 и р2 определяют скорость изменения экспоненциальных слагаемых в уравнении (2) . После подстановки в (3) заданных значений имеем :

2,5 ·10 8· p2 +8,73· 10 4 ·p + 2,333 = 0 .

Это уравнение имеет корни р1 = - 32018,3 р/с ; р2 = -2915 р/с . Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 в уравнении

(2)используем начальное условие

-по напряжению :

uc (0-) = uc (0+) = uc уст + A1 + A2			, т. е.
A1 + A2 = uc (0-) uc уст = 60 42,86 = 17,14 ;				uc	duc
	- по току через катушку индуктивности : i 1 = + C· =
1	1	1		R3	dt
= uc уст+ ·А1 ·ep1		·t + ·A2· ep2	·t +C· p1 A1 · ep1	·t + C·p2	A2 · ep2	·t .
R3	R3	R3
При t = 0
	1	1	1
i1 (0-) = i1 (0+)= uc уст + А1 +			A2 + C ·p1 A1 + C ·p2 A2 .
	R3	R3	R3
			1

(1/R3+ C p1) ·A1+ (1/R3 + C p2)·A2 = i1(0-) uc уст=1,67 42,86 / 12 =

= -1,9 .			R3
Таким образом, для нахождения А1			и A2 получена система
A1 +	A2	= 17,14
(1/R3 +C p1) ·A1 + (1/R3 +C p2 )·A2		= -1,9
или после подстановки числовых значений
А1 + А2 = 17,14
3,29· А1+ 76· А2 = - 1899.			(4)
Решение этой системы : А1 = 44,03 ;			А2 = - 26,89 .

Таким образом, uc (t)= 42,86 + 44,03 e -32018,3· t - 26,89 e - 2915 ·t (B) ,

uc (t)

а искомый ток i 3 = = 3,57 + 3,67e -32018,3 ·t - 2,24e -2915 ·t (A). (5)

R3

12

3.2 Решение операторным методом

RОператорная схема замещения (см. рис. 12), составленная для послекоммутационного

E(p)=E/p

LI1(0-) состояния исходной схемы, позволяет для

p·L

нахождения изображения искомого тока

применить метод двух узлов :

(E(p) L I (0 )

1

UC(0 ) p C

Uab(p)

R1

U

1

R R p L

p

I3(p)

ab

1

1

1

R3

R3

a

b

R3 (R R1 p L p C R3)

I3

UC(0-)/p 1

/(p·C)

Рисунок12 Операторная схема замещения

F1 ( p)

100 + p ·19,1· 10 - 3 + p2 ·1,5 ·10 - 6

= =

.

p ·F3 ( p) p· (28 + p· 10,48· 10 - 3 + p2 ·0,3· 10 - 6 )

В соответствии с теоремой разложения :

F1(0)

F1(p1)

F1(p2)

i3 (t) = +

·ep1

·t

+ ·ep2·t =

F3(0)

p1 ·F 3(p1)

p2 ·F 3(p2)

100100 + (- 32018,3) ·19,1· 10 -3 +32018,3 2 ·1,5 ·10 - 6

=+ · e -32018,3 ·t+

28 (- 32018,3) ·(10,48· 10 - 3 0,6 ·10 - 6 ·32018,3 )

100+(- 2915)· 19,1· 10 -3 +2915 2 ·1,5 ·10 - 6

+ ·e -2915 ·t = (- 2915) (10,48 10 - 3 0,6 10 - 6 2915 )

= i3 (t) = 3,57+3,67e -32018,3 ·t 2,24e -2915 ·t .

13

В приведенном примере рассмотрен случай действительных корней характеристического уравнения. Вместе с тем в вариантах задания возможны наборы параметров схемы, когда корни характеристического уравнения получаются комплексными. Это требует некоторых изменений в реализацию и классического, и операторного методов расчета переходных процессов. Рассмотрим такую ситуацию дополнительно. Достижение комплексности корней

характеристического уравнения возможно при соответствующем изменении параметров элементов схемы. Наиболее просто это достигается изменением параметра реактивного элемента схемы, например индуктивности.

Если в заданной схеме взять L = 1 мГн, то корни характеристического уравнения схемы получаются комплексными:

p1 24667 j 18025, p/c; p2 24667 j 18025, p/c .

Видно, что они имеют одинаковую отрицательную действительную часть и одинаковые по модулю, но противоположные по знаку мнимые части (т.е. являются сопряженными).

Комплексность корней приводит к:

-комплексности показателей степеней экспоненциальных слагаемых в решении;

-комплексности постоянных интегрирования А1 и А2 .

В классическом методе для того, чтобы избежать появления в решении комплексных функций и чисел, прибегают к иной его форме, базирующейся на формуле Эйлера:

uc(t) uсуст A e t sin( 0 t ),	(6)
где δ- абсолютная величина вещественной части корней p1	и р2 ;
ω0- абсолютная величина мнимой части корней p1 и р2;

А и ψ – постоянные интегрирования. Для их определения необходимо решить систему типа (4), но для нового значения индуктивности L. Поскольку установившиеся и начальные значения в заданной схеме зависят только от интенсивности источника, схемы и величин сопротивлений резисторов, а они не изменились, то в новом варианте установившиеся и начальные значения останутся неизменными.

u (0		) u (0		) u	A e 0 sin(	0 ) u	A sin	или
c		c		суст	0	суст

A sin 17,14 .

Для тока через катушку:

14

	u (t)		du(t)		uсуст			A
i (t)	c	C	c						e t sin( t )
1	R3		dt		R3			R3		0
C A e t			sin( t ) A e t cos( t ) .
				0				0		0
При t=0 и при подстановке заданных значений

i1(0 ) i1(0 ) 1,67	42,86		A	sin 2,5 10 6 ( 24667sin 18025cos ) A или
12		12
1,902 (0,02163sin 0,04506cos ) A.
Таким образом, для нахождения А и ψ получена система:
1,902 (0,02163sin 0,04506cos ) A					,
A sin 17,14
решение которой А = - 53,3 (В); ψ = - 0,33978 (рад).
Т.е. решение (6) может быть представлено в виде:
uc(t) 42,86 53,3 e 24667 t sin(18025 t 0,3275)					(B),
а искомый ток
i3(t) 3,57 4,44 e 24667 t		sin(18025 t 0,3275)			(A) ,	(7)

не содержащем комплексных параметров. Наличие же функции синуса в последних выражениях позволяет говорить о колебательном характере переходного процесса в случае комплексных корней характеристического уравнения (3).

В операторном методе при L = 1 мГн получается следующее дробнорациональное выражение для изображения искомого тока:

I		(p)	F(p)		100 4,07 10 3 p 0,15 10 6 p2
	3		1				.
			p F (p)		p (28 1,48 10 3 p 0,03 10 9
						p2)
			3

Применив теорему разложения, получаем комплексными не только аргументы экспонент, но множители перед ними:

i3(t) 3,571 (0,714 j 2,104) e( 24667 j18025) t (0,714 j 2,104) e( 24667 j18025) t. (A).

Для получения выражения i3(t), не содержащего комплексные числа, рекомендуется пользоваться формулой [2]:

		F1	(0)				e t sin( t arctg	A2			) ,
	i (t)			2	A2	A2
								A
	3	F(0)			1	2	0		2
		3						1

где A1 - действительная часть множителя перед экспонентой в полученном разложении (здесь A1 =0,714); A2 - абсолютная величина

15

	5
i3(t),А
4,5	4.5
4,0	4
i1(t)
3,5	3.5
i2(t)
												1
3,0	3
2,5	2.5
2,0	2		5		4		4		4		4	2
	0	5 10		1 10		1.5 10		2 10		.5 10		t, мс
		0,05		0,1		0,15t		0,2		0,25
Рисунок 13 1 – решение (7) в случае комплексных корней (3);
		2 – решение (5) в случае действительных корней (3).
мнимой части этого множителя (здесь A2 =2,104) . При правильном
применении теоремы разложения множители должны оказаться
комплексными сопряженными числами. Для рассматриваемого
случая
i (t) 100 2		0,7142		2,1042 e 24667t sin(18025t arctg2,104 ), (A)
3	28									0,714		2
	3,571 4,44 e 24667 t sin(18025t 2,8144									)
	3,571 4,44 e 24667 t				sin(18025t 2,8144 )							(8)
	3,571 4,44 e 24667 t sin(18025t 0,3275									) .
	Последние две строки (8) приведены для получения выражения
i3(t), полностью совпадающего с выражением (5) классического
метода. График кривой i3(t)по (7) или (8) представлен на рис.13
(кривая 1). На нем же приведена зависимость i3(t), полученная для
вещественного варианта корней характеристического уравнения (3)

16

(кривая 2). Сопоставление этих кривых показывает, что в некоторых случаях колебательный характер переходного процесса позволяет заметно сократить его длительность.

4. Контрольные задания задачи № 2

Расчет нелинейного моста

Найти токи в диагоналях и плечах одинарного нелинейного моста, электрическая схема которого представлена на рис. 14. Параметры схемы в зависимости от варианта заданы в таблице 2 и в таблице 3 для резисторов, определяемых в таблице 2 как нелинейные (НЛ1.. НЛ10). Характеристики нелинейных резисторов считать симметричными и имеющими линейное продолжение за пределами указанных в таблице 3 диапазонов токов (напряжений). Метод расчета – графический или итерационный [4, С. 16-23].

R2

R1

R5

R3

E

R4

R0

Рисунок 14 Схема моста

Таблица 2

№	R1,	R2,	R3,	R4,	R5,	R0,	Е,
варианта	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	В
1	2	3	4	5	6	7	8
01	НЛ1	НЛ10	30	10	150	5	60
02	НЛ10	30	10	НЛ1	150	5	80
03	30	10	НЛ1	НЛ2	150	1	100
				17

Продолжение таблицы 2

1	2	3	4	5	6	7	8
04	10	НЛ1	НЛ10	30	150	2	90
05	НЛ2	НЛ9	40	20	140	5	60
06	НЛ9	40	20	НЛ2	140	3	80
07	40	20	НЛ2	НЛ9	140	1	100
08	20	НЛ2	НЛ9	40	140	2	60
09	НЛ3	НЛ7	20	20	130	5	60
10	НЛ7	20	20	НЛ3	130	1	100
11	20	20	НЛ3	НЛ7	130	3	80
12	20	НЛ3	НЛ7	20	130	2	90
13	НЛ4	НЛ6	10	20	120	5	60
14	НЛ6	10	20	НЛ4	120	3	80
15	10	20	НЛ4	НЛ6	120	1	100
16	20	НЛ4	НЛ6	10	120	2	90
17	НЛ5	НЛ5	30	10	100	5	60
18	НЛ5	30	10	НЛ5	100	3	80
19	30	10	НЛ5	НЛ5	100	1	100
20	10	НЛ5	НЛ5	30	100	2	90
21	НЛ6	НЛ4	5	10	200	5	60
22	НЛ4	5	10	НЛ6	200	3	80
23	5	10	НЛ6	НЛ4	200	1	100
24	10	НЛ6	НЛ4	5	200	2	90
25	НЛ7	НЛ3	20	20	100	5	60
26	НЛ3	20	20	НЛ7	100	3	80
27	20	20	НЛ7	НЛ3	100	1	100
28	20	НЛ7	НЛ3	20	100	2	90
29	НЛ8	НЛ2	30	20	120	2	90
30	20	НЛ8	НЛ2	30	120	5	60
31	НЛ2	30	20	НЛ8	120	3	80
32	30	20	НЛ8	НЛ2	120	1	100
33	20	НЛ8	НЛ2	30	120	2	90
34	НЛ2	20	40	НЛ9	130	3	80
35	20	40	НЛ9	НЛ2	130	1	100
36	40	НЛ9	НЛ2	20	130	2	90
37	НЛ10	НЛ1	30	10	140	5	60
38	НЛ1	30	10	НЛ10	140	3	80
				18

Продолжение таблицы 2

1	2	3	4	5	6	7	8
39	30	10	НЛ10	НЛ1	140	1	100
40	40	НЛ10	НЛ1	30	140	2	80
41	НЛ1	40	НЛ6	20	150	5	60
42	40	НЛ2	20	НЛ7	150	3	80
43	НЛ3	20	НЛ8	40	150	1	100
44	20	НЛ4	40	НЛ9	150	2	90
45	НЛ5	50	НЛ10	20	100	5	60
46	50	НЛ6	20	НЛ9	100	3	80
47	НЛ7	20	НЛ8	50	100	1	100
48	20	НЛ8	50	НЛ7	100	2	90
49	НЛ9	10	НЛ6	40	110	5	60
50	10	НЛ10	40	НЛ8	110	3	80
51	НЛ7	20	НЛ1	30	150	1	100
52	20	НЛ1	30	НЛ7	170	2	90
53	НЛ2	40	НЛ8	50	200	5	60
54	50	НЛ2	40	НЛ8	190	3	80
55	НЛ6	10	НЛ5	20	150	1	100
56	20	НЛ6	10	НЛ5	170	2	90
57	НЛ1	60	НЛ4	40	200	5	60
58	40	НЛ1	60	НЛ4	190	3	80
59	НЛ7	30	НЛ9	40	150	1	100
60	40	НЛ7	30	НЛ9	170	2	90
61	НЛ1	НЛ2	30	40	210	5	60
62	40	НЛ1	НЛ2	30	200	2	80
63	30	30	НЛ1	НЛ2	150	1	100
64	НЛ1	40	40	НЛ2	190	2	90
65	НЛ1	20	НЛ2	30	210	5	60
66	НЛ1	30	НЛ3	20	200	3	80
67	60	НЛ1	50	НЛ3	150	1	100
68	НЛ3	60	НЛ1	50	190	2	90
69	50	НЛ3	60	НЛ1	210	5	60
70	НЛ1	НЛ8	20	60	200	3	80
71	60	НЛ1	НЛ8	20	150	1	100
72	20	60	НЛ1	НЛ8	190	2	90
73	НЛ2	НЛ3	35	20	210	5	60
74	НЛ5	НЛ2	20	35	200	3	80
				19

Окончание табл.2

75	НЛ8	НЛ6	40	50	150	1	100
76	50	НЛ10	НЛ3	40	190	2	90
77	10	НЛ4	20	НЛ5	220	5	60
78	НЛ1	20	НЛ8	10	190	3	80
79	НЛ2	30	40	НЛ3	150	1	100
80	40	НЛ2	30	НЛ5	200	2	90
81	20	НЛ8	НЛ6	20	220	5	60
82	20	20	НЛ10	НЛ3	190	3	80
83	НЛ4	30	НЛ5	30	160	1	100
84	НЛ8	НЛ4	40	40	200	2	90
85	10	НЛ9	НЛ4	20	220	5	60
86	НЛ2	НЛ10	20	10	190	3	80
87	30	50	НЛ9	НЛ3	160	1	100
88	50	НЛ7	30	НЛ10	200	2	90
89	НЛ7	40	НЛ10	50	220	5	60
90	50	НЛ8	40	НЛ1	190	3	80
91	30	НЛ2	20	НЛ3	160	1	100
92	НЛ5	НЛ2	20	30	200	2	90
93	40	10	НЛ8	НЛ6	230	5	60
94	НЛ10	НЛ3	40	10	180	3	80
95	20	НЛ4	НЛ5	30	160	1	100
96	10	НЛ8	30	НЛ4	210	2	90
97	30	10	НЛ4	НЛ9	230	5	60
98	10	НЛ10	НЛ2	20	180	3	80
99	НЛ8	НЛ9	20	10	170	1	100
100	НЛ9	30	30	НЛ3	210	2	90

Таблица 3 Характеристики нелинейных элементов

Ток			Н а п р я ж е н и е				в Вольтах
, А	НЛ1	НЛ2	НЛ3	НЛ4	НЛ5	НЛ6		НЛ7	НЛ8	НЛ9	НЛ10
0	0	0	0	0	0	0		0	0	0	0
0,5	17,5	30,0	7,5	12,5	37,0	4,0		2,0	1,5	1,5	1,0
1,0	28,0	38,0	13,0	18,0	42,5	13,0		5,5	3,0	1,7	1,3
1,5	36,0	42,0	17,0	23,5	46,0	36,0		11,0	5,0	2,0	1,6
2,0	40,0	45,0	19,0	27,5	47,5	лин		21,8	7,5	3,0	2,5
					20