Корнеев - ТММ. Кинематика

корение не превышало Wкр . При обратном ходе ускорение должно быть больше Wкр , в результате чего материал будет передвигаться по

лотку на расстояние S.

Исходными данными для выполнения задания являются схема механизма с кривошипом АВ, вращающимся по часовой стрелке со скоростью n1 = 158,6 об/мин; размеры звеньев механизма: lO1A = 0,015м,

lAВ = 0,05м, lO2B = 0,045 м, lO2С = 0,05 м, lСD = 0,07 м, а = 0,04 м, b = 0,023м.

3.2. Структурное исследование механизма

Задачей структурного исследования является определение класса механизма на основе классификации, разработанной профессором Л.В. Ассуром и развитой впоследствии академиком И.И. Артоболевским, идея которой состоит в том, что любой плоский шарнирнорычажный механизм может быть образован путем присоединения к ведущему звену групп нулевой подвижности.

Структурный анализ механизма (рис. 3.2) позволяет определить: а) число степеней свободы (подвижности) механизма, которое

равно числу его ведущих звеньев; б) число структурных групп (групп Ассура), входящих в состав

механизма, их класс и порядок.

										0
			5
							3
	4
					2
										1

Рис. 3.2. Структурный анализ механизма

Число степеней свободы плоского механизма определяется по формуле П.Л. Чебышева:

W =3n − 2 p5 − p4 ,

где n – число подвижных звеньев;

31

р5 – число низших кинематических пар (пары пятого класса); р4 – число высших кинематических пар (пары четвертого класса).

Кинематические пары считаются низшими, если соединение звеньев осуществляется по поверхности, и высшими, если соединение звеньев происходит по линии или в точке.

Исследуемый механизм имеет: n = 5; р5 = 7; р4 = 0, а степень его подвижности: W = 3×5 – 2×7 = 1.

Класс и порядок механизма определяется путем последовательного отсоединения групп Ассура начиная с группы, наиболее удаленной от ведущего звена. Структурной группой или группой Ассура называется кинематическая цепь, степень подвижности которой равна нулю. Следуя этому порядку, отделяем двухповодковую группу, состоящую из звеньев 4 и 5 и шарниров С и D (см. рис. 3.2, а). По классификации И.И. Артоболевского – это группа II класса и 2-го порядка. Затем последовательно отделяем группу звеньев 2 и 3 (см. рис. 3.2, б), которая также является группой II класса и 2-го порядка. И, наконец, остается начальный механизм I класса, состоящий из ведущего звена 1 и стойки 0 (см. рис. 3.2, в).

Вцелом, рассматриваемый механизм – это механизм II класса

и2-го порядка. Формула строения механизма записывается в следующем виде:

Ι(0,1) →ΙΙ2 (2,3) →ΙΙ2 (4,5).

3.3. План положений механизма

По исходным данным вычерчивается схема механизма в произвольно выбранном масштабе длин µl (м/мм). Масштаб µl указывает

количество единиц изображаемой величины в 1 мм чертежа. Приняв на чертеже (рис. А.1) отрезок, изображающий длину кривошипа ОА = 15 мм, находим:

µl = lO1A / O1 A = 0,01515 = 0,001 м/мм,

где lO1A – истинная длина звена, м; O1 A – чертежная длина звена, мм.

32

В выбранном масштабе чертежные размеры остальных звеньев определяются соответственно:

AB =lAB	µl = 0,06 0,001 = 60 мм;	О2B =lO2 B µl =0,045 0,001 = 45 мм;
O2C =lO2C µl = 0,05 0,001 =50 мм;		СD =lСD	µl =0,07 0,001 =70 мм;
а = a µl	= 0,04 0,001 = 40 мм;	b =b µl	=0,023 0,001 = 23 мм,

здесь a, b – длины соответствующих отрезков на плане механизма.

Впринятом масштабе длин по заданным координатам опор О1

иО2 и размерам звеньев вычерчивается кинематическая схема механизма в восьми положениях. При построении механизма вначале следует найти его крайние положения, ограничивающие траектории движения точек звеньев, совершающих возвратное движение.

Вкачестве нулевого принимается крайнее левое положение точки D ползуна, которое определяется крайним левым положением

коромысла О2С. Для нахождения крайнего левого положения коромысла О2С из точки О1 описывается дуга радиусом (АВ–О1А), а вокруг точки О2 – дуга радиусом О2В. Пересечение указанных дуг происходит в крайней точке В0. Нулевое положение точки А лежит на продолжении прямой В0О1 за точку О1. Это положение обозначено А0.

При ω = const кривошип О1А перемещается от начального положения через равные промежутки времени на равные углы поворота, а точка А занимает равноотстоящие положения А1, А2, А3,… . Если требуется построить восемь планов механизма, то окружность, описываемую точкой А, следует разделить на восемь равных частей, начиная от положения А0 (оно же А8). Соответствующие восемь положений шарнира В определяют, делая засечки радиусом АВ из каждого положения Аi на траектории движения точки В, получаются точки В0, В1, В2,…, В8. Соединяя точку О2 с точками В0, В1, В2,…, В8

ипродолжая до пересечения с дугой окружности, по которой переме-

щается точка С коромысла О2С, получим точки С0, С1, С2,…, С8. Делая засечки радиусом СD из каждого положения Сi на траектории точки D, определяем соответствующие восемь положений шарнира D ползуна, т.е. D0, D1, D2,…, D8. Соединяя восемь найденных точек Аi

иВi, Сi и Di прямыми линиями, а также с точками О1 и О2 , получаем восемь планов механизма.

Для определения крайнего правого положения коромысла из точки О1 описывается дуга радиусом (АВ+О1А), а вокруг точки О2 – дуга

33

радиусом О2В, пересечение указанных дуг происходит в крайней точке B0' . Положение О1 А0' В0' С0' D0' является крайним правым дополнительным девятым положением механизма.

Обозначим на звене АВ положение его центра масс S2. Последовательно соединяя точки S2 в различных положениях шатуна АВ, можно построить траекторию движения этой точки в виде замкнутой кривой.

3.4. Кинематический анализ механизма

3.4.1. Планы скоростей

Определение линейных скоростей точек механизма начинается с ведущего звена. Так, модуль скорости точки А кривошипа, совершающего вращательное движение, определяется из выражения

VA = ω1lO1A =16,6 0,0015 = 0,25 м/с, где ω1 = πn1 30 =3,14 158,630 =15,61 рад/с.

Вектор скорости VrA направлен перпендикулярно к кривошипу ОА

в сторону вращения.

Далее находятся скорости точек каждой структурной группы в порядке их присоединения. Для этого составляют два векторных уравнения, связывающих искомую скорость точки с известными скоростями точек. Для двухповодковых групп искомой всегда будет являться скорость точки средней кинематической пары, а известными – скорости точек концевых кинематических пар. Переходя к первой двухповодковой группе, присоединенной к ведущему звену, определяют скорость точки В кинематической пары, соединяющей звенья 2 и 3:

			=VA	+VBA ;
		VB
		r	r	r		,
		V	=V	+V	ВО2
где VrBA –		B	О2
		вектор скорости точки В в ее относительном вращате-
льном движении вокруг точки А,				направленный перпендикулярно
к звену АВ;
VrВО	–	вектор скорости точки		В в		ее относительном вращате-
2

льном движении вокруг стойки О2, направленный перпендикулярно к звену ВО2.

34

В последних уравнениях вектор VA известен по величине и по направлению. Вектор VrO2 также известен – модуль его равен нулю, так как точка О2 неподвижна. Векторы VBA и VBO2 неизвестны по величи-

не, но известны по направлению. Подчеркивая векторы, известные по модулю и направлению, двумя черточками, а векторы, известные по направлению, одной черточкой, сводят систему к одному уравнению:

VrB = VA

+ V BA

= VO + VBO .

(3.1)

2

2

OA

= 0

BA

BO2

Два неизвестных параметра V BA

и VBO

2

в уравнении (3.1)

могут

быть определены в результате графического решения последнего, т.е. путем построения плана скоростей. С этой целью выбираем точку р – полюс плана скоростей (рис. 3.3, б).

p

а

б

в

Рис. 3.3. Планы положения (а), скорости (б) и ускорения (в) качающегося грохота-конвейера

35

Из полюса р проводим отрезок (ра), перпендикулярный к звену О1А в сторону ω1 и соответствующий вектору скорости VA

точки А. Величина отрезка (ра) выбирается произвольно, тогда масштаб плана скоростей:

µV =VA (pa).

На рис. А.1 µV = 0,2525 = 0,01 м/с/мм.

Из конца вектора	(ра)	проводится	линия,	перпендикулярная
к направлению ВА, а	через	полюс р –	линия,	перпендикулярная

к звену О2В. Пересечение указанных лучей дает точку b. Отрезок (рb) изображает абсолютную скорость VB точки В, а отрезок (bа) – относи-

тельную скорость VBA . Величины этих скоростей рассчитываются по формулам:

VB =r(рb)µV ; VBA = (ba)µV .

Направление вектора VBA на плане скоростей определяет уравнение (3.1). Вектор VBA направлен от точки а к точке b. Далее, пользуясь

пропорциональностью длин отрезков плана скоростей и схемы механизма, находим скорость точки С:

( рс)( рb) = О2СО2 В, откуда ( рс) = (О2СО2 В)( рb) .

Модуль скорости точки С равен:

VC = (pc)µV .

Аналогичным образом определяем скорость точки D структурной группы 4-5:

VrD			= VC + VDС ,
	|| х− х					DС

где VrDС – вектор относительной скорости точки D при вращении зве-

на DС вокруг точки С, направлен по прямой, перпендикулярной

к отрезкуr СD;

VD – вектор абсолютной скорости точки D, направлен параллель-

но линии, по которой перемещается ползун. r Последнее уравнение имеет две неизвестные величины VD и VDС ,

которые определяются из графического решения построением плана скоростей. Построение последнего производим в том же масштабе

36

и на том же плане. Для этого через точку с плана скоростей проводим линию, перпендикулярную к звену СD, а через полюс р – линию, параллельную линии движения ползуна Х-Х. В пересечении указанных линий получается точка d. Теперь отрезок (pd) изображает скорость VD точки D, а отрезок (cd) – скорость VDС . Значения дейст-

вительных скоростей находятся по формулам:

r VD = (pd )µV ; VDC = (cd )µV .

Вектор VDС на плане скоростей направлен от точки с к точке d. Для положения 2 механизма (см. рис. А.1):

VВ = (pb)µV = 38,5 0,01 = 0,385 м/с;	VDС = (cd )µV = 4,5 0,01 = 0,045 м/с;
VВА = (аb)µV = 25 0,01 = 0,25 м/с;	VD = (pd )µV = 44 0,01 = 0,44 м/с;

( рс) =О2С О2 В ( рb) =0,05 0,045 38,5 = 42,8 мм.

В указанной последовательности производится построение планов скоростей для всех восьми положений механизма (см. рис. А.1). Подсчитанные таким образом величины скоростей сведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Абсолютные и относительные скорости точек звеньев механизма (м/с)

№ положения

Параметры	0 (8)	1	2	3	4	5	6	7
VA	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25
VB	0	0,175	0,385	0,2	0,135	0,265	0,235	0,135
VBA	0,25	0,105	0,25	0,36	0,15	0,03	0,25	0,24
VC	0	0,194	0,426	0,22	0,15	0,29	0,27	0,15
VD	0	0,185	0,44	0,21	0,16	0,31	0,27	0,13
VDC	0	0,04	0,045	0,11	0,08	0,06	0	0,04

3.4.2. Угловые скорости звеньев
Ведущее звено 1 вращается с постоянной	угловой ско-
ростью ω1 =16,6 рад/с. Угловая скорость звена АВ	определяется
по формуле
ω2 =VBA lAB .

37

Направление угловой скорости звена АВ для данного положения механизма (см. рис. 3.3, а) устанавливается следующим образом. Вектор VrBA относительной скорости мысленно переносится в точку В шатуна, и наблюдается направление поворота этого звена вокруг точки А. Угловая скорость ω2 для второго положения механизма (см. рис. 3.3, а, б) направлена против часовой стрелки. Угловая скорость звена СО2:

ω3 =VС lСО2 . r

Направление ω3 совпадает с вектором скорости VС , мысленно перенесенным с плана скоростей в точку С механизма. Вектор VС указывает, что угловая скорость ω3 направлена по часовой стрелке.

Аналогично вычисляется модуль угловой скорости звена 4:

ω4 =VDС lDС .

Для нахождения направления угловой скорости звена 4 вектор скорости VrDС мысленно переносится в точку D звена DС, и определяется согласно движению точки D вокруг точки С, что ω4 направлена по часовой стрелке.

Угловые скорости звеньев механизма для положения 2 (см. рис. А.1) составляют:

- угловая скорость звена АВ

ω2 =VВАlВА = 0,250,05 =5 рад/с,

направлена против часовой стрелки; - угловая скорость звена СО2

ω3 =VС lСО2 = 0,4280,05 =8,56 рад/с,

направлена против часовой стрелки; - угловая скорость звена СD

ω4 =VDС lСD = 0,0450,07 = 0,64 рад/с,

направлена по часовой стрелке.

38

Значения угловых скоростей приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Угловые скорости звеньев (рад/с)

№ положения	0 (8)	1	2	3	4	5	6	7
Параметры
ω1	16,6	16,6	16,6	16,6	16,6	16,6	16,6	16,6
ω2	5,0	2,1	5,0	7,2	3,0	0,6	3,0	4,8
ω3	0	3,9	8,56	4,44	3,0	5,9	5,22	3,0
ω4	0	0,57	0,64	1,57	1,14	1,14	0	0,57

3.4.3. Планы ускорений

Линейные ускорения точек звеньев механизма определяются в той же последовательности, что и линейные скорости. Ускорение точки А кривошипа 1 состоит из нормальной и тангенциальной составляющих:

WA =WAOn 1 +WAOτ 1 .

Нормальное ускорение рассчитывается следующим образом:

WAOn 1 = ω12 lO1A = (16,6)2 0,015 = 4,13 м/с2.

Вектор нормального ускорения направлен вдоль прямой АО1 от точки А к центру О1. Модуль тангенциального ускорения определяется как

WAOτ 1 = ε1 lO1A = ddωt1 lO1A = 0,

так как кривошип АО1 вращается с постоянной угловой скоростью ω1 = const .

Построение плана ускорений рассмотрим для положения механизма, изображенного на рис. 3.3, а. Выбрав полюс π и величину отрезка (πа) (см. рис. 3.3, в), изображающего вектор WA =WrAOn 1 , опреде-

ляют масштаб плана ускорений:

µW =WA (πa).

На рис. А.1 µW = 4,1320,65 =0,2 м/с2/мм.

39

Откладывая отрезок (πа) ускорения точки А из полюса π параллельно звену АО1 в направлении от точки А к точке О1, обозначают конец вектора стрелкой и буквой а. Переходя к первой двухповодковой группе, определяют ускорение точки В – кинематической пары, соединяющей звенья 2 и 3.

Для ускорения точки В составляется система векторных уравнений:

WB =WA +WBA ;

WB =WО2 +WВО2 .

С целью упрощения решения каждый вектор следует разложить на два составляющих вектора: нормального и тангенциального ускорения:

WB =WA +WBAn +WBAτ ;

WB =WBOn 2 +WBOτ 2 .

В систему векторных уравнений не вошли WAτ = 0 и WO2 = 0 по

причине равномерного вращения точки А и неподвижности точки О2. Модули нормальных ускорений определяются по известным формулам:

W n	=V 2	l	AB	;	W n	=V 2	l	BO2	.
BA	BA				BO2	B

Нормальное ускорение WBAn направлено параллельно звену АВ от точки В к точке А. Тангенциальное ускорение WBAτ неизвестно по модулю, но известно по направлению – перпендикулярно к звену АВ.

Нормальное ускорение		W n	направлено параллельно	звену О В
		BO		2
от точки В к точке О		2
	, а тангенциальное ускорение W τ			– перпенди-
2			BO
			2

кулярно к звену О2В. Окончательно уравнение для определения ускорения точки В примет вид:

W

A

+ Wr n

+ W τ

= W n

+ W τ ,

BA

BA

BO2

BO2

A →O1

B → A

B →O2

BA

BO2

в котором два параметра W τ

и W

τ

неизвестны и которое может

BO2

BA

быть решено графически путем построения плана ускорений.

40