Корнеев - ТММ. Кинематика

На плане ускорений векторы нормальных WBAn , WrBOn 2 и касательных WBAτ , WrBOτ 2 ускорений для удобства записи обозначаются nBA ,

nBO2 , τBA , τBO2 .

Величины нормальных ускорений на плане ускорений находятся аналитически по формулам:

n	BA	=W n	µ ; n	BO2	=W n	µ .
		BA	W		BO2	W

Через точку а (см. рис. 3.3, в) ранее построенного отрезка плана ускорений проводится линия, параллельная звену АВ, и на ней в направлении от точки В к точке А откладывается отрезок nBA . Это век-

тор относительного нормального ускорения WBAn . Через конец вектора

проводится прямая, перпендикулярная к звену АВ, которая является линией действия касательного ускоренияτBA . Затем необходимо по-

строить левую часть последнего векторного уравнения. Для этого из полюса π проводится линия, параллельная звену ВО2, и на ней в направлении от точки В к точке О2 откладывается отрезок nrBO2 . Через

конец этого вектора проводится прямая, перпендикулярная к звену ВО2, которая является линией действия касательного ускорения rτBO2 . Пересечение линий, по которым действуют касательные ус-

корения τBA и τBO2 , позволяет получить точку b. Отрезок (πb) изображает полное ускорение точки В, модуль которого равен:

WB = (πb)µW .

Модули касательных ускорений:

WBAτ = (rτBA )µW ; WBOτ 2 = (τBO2 )µW .

Ускорение WBA находится как

WBА = (аb)µW .

По теореме подобия рассчитываем ускорение точки С:

(πb) (πс) =О2 B О2C , откуда (πс) =О2СО2 В(πb) .

Модуль этого ускорения равен:

WС = (πс)µW .

41

Ускорение точки D определяется решением векторного уравнения:

WrD = WC + WDпС + WDτС ,

|| х−х D →С DС,

где WrDпС и WrDτС – векторы нормального и тангенциального ускорений точки D в ее относительном вращательном движении вокруг точки С.

Вэтом выражении векторы WC и WDCn известны и по величине

ипо направлению. Вектор WDCn направлен параллельно звену DС от точки D к точке С, а модуль вектора определяется по формуле

WDCn =VD2С lDС = ω42 lDС .
Кроме того, известна линия действия вектора WDCτ	– перпендику-
лярно к прямой СD, а линия действия вектора WrD –	вдоль горизон-

тальной линии, по которой перемещается ползун.

Через точку с (см. рис. 3.3, в) ранее построенного отрезка плана ускорений проводится линия, параллельная звену DС, и на ней откладывается отрезок

nDС =WDnС µW ,

направленный от точки D к точке С (см. рис. 3.3, а). Это вектор относительного нормального ускорения WDCn . Через конец данного вектора

проводится прямая, перпендикулярная к звену DС и являющаяся линией действия касательного ускорения τDС . Затем через полюс π про-

водится прямая, параллельная направляющей Х-Х. Точка пересечения двух прямых определит конец вектора (πd). Вычисляется полное ускорение точки D:

WD = (πd )µW .

Затем, измерив длину вектора τDС , находим модуль касательного ускорения:

WDτС = (τDС )µW .

Ускорение WDC рассчитывается следующим образом:

WDС = (cd )µW .

42

Для механизма, изображенного на рис. А.1 в положении 2:

WВАn			=VBA2			lAB =0,252 0,05 =1,25 м/с2;
n	BA	=W n				µ			=1,25 0,2 =6,25 мм;
			BA				W			=0,3852 0,045 =3,3 м/с2;
W n			=V 2			l	O2 B
	ВO2			B
n	BO2		=W n					µ		=3,3 0,2 =16,5 мм;
				BO2					W
WВ = (πb)µW = 2,2 0,2 = 4,4 м/с2;
WÂAτ			= (τBA )µW = 41,5 0,2 =8,3 м/с2;
WВτO			= (τBO )µW =14 0,2 = 2,8 м/с2;
	2					2
WВA = (ab)µW = 42 0,2 =8,4 м/с2;
(πc) =lO2C						lO2 B (πb) =0,05 0,045 22 = 24,4 мм;
W = (πс)µ					W			= 22,4 0,2 = 4,88 м/с2;
	С
WDnС =VDC2						lDС =ω42lDС =0,0452 0,07 = 0,03 м/с2;
n	DС		=W n				µ			=0,029 0,2 =0,15 мм;
			DС					W

WDτС = (τDС )µW = 21,5 0,2 = 4,3м/с2; WD = (πd )µW = 22 0,2 = 4,4 м/с2; WDС = (cd )µW = 21,5 0,2 = 4,3 м/с2.

Аналогично строится план ускорений для другого положения механизма (например, положение 7). Найденные таким образом значения абсолютных и относительных ускорений звеньев в двух положениях сведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значения линейных ускорений характерных точек звеньев механизма (м/с2)

Пара-	W	A	W n	W τ	W	BA	W n	W τ	W	B	W	W n	W τ	W	DС	W	D
метры			BA	BA			BO	BO			C	DС	DС
							2
№ по-
ложения
2	4,13		1,25	8,3	8,4		3,3	2,8	4,4		4,88	0,03	4,3	4,3		4,4
4	4,13		0,6	4,5	4,6		0,5	5,1	5,12		5,7	0,1	2,4	2,4		6,0

43

3.4.4. Угловые ускорения звеньев

Угловые ускорения звеньев определяются на основе построенного плана ускорений. Ведущее звено вращается равномерно, т.е. ε1 = 0. Угловое ускорение звена 2 определяется через тангенциальное ускорение WBAτ :

ε2 =WBAτ lBA ,

аего направление укажет вектор WBAτ (τBA ) , мысленно перенесенный

с плана ускорений (см. рис. 3.3, в) в точку В механизма (см. рис. 3.3, а). Условно закрепляя точку А звена 2, направление вектора WrBAτ пока-

жет, что ε2 направлено по часовой стрелке. Звено 3 вращается с угловым ускорением ε3, определяемым по формуле

	ε3	=WBOτ	lBO .
		2	2
Направление углового		ускорения ε3 находим, перенося
вектор WrBOτ	(τBO ) в точку В механизма и рассматривая действие этого
2	2

вектора относительно шарнира О2. Как это видно из чертежа, звено стремится как бы повернуться по часовой стрелке, следовательно, в этом направлении действует ε3. Угловое ускорение ε4 звена СD равно:

ε4 =WDτС lDС .

Направление ε4 определяется мысленным переносом тангенциального ускорения WDτС (τDС ) в точку D звена DС и в данном случае дей-

ствует по часовой стрелке.

Угловые ускорения звеньев механизма для положения 2 (см. рис. А.1) составляют:

– угловое ускорение звена АВ

	ε2 =WBAτ	lBA =8,3	0,05 =166 рад/с2;
– угловое ускорение звена ВО2
ε3	=WBOτ	lBO = 2,8	0,045 = 62,2 рад/с2;
	2	2

–угловое ускорение звена СD

ε4 =WDС lDС = 4,3 0,07 = 61,4 рад/с2.

44

Значения угловых ускорений звеньев для двух положений механизма сведены в табл. 3.4.

Угловые ускорения звеньев механизма (рад/с2)					Таблица 3.4
№ положения	Параметры	ε2	ε3		ε4
2		166	62,2		61,4
4		90	113,3		34,3

3.5. Построение кинематических диаграмм

Кинематическая диаграмма представляет собой графическое изображение изменения одного из кинематических параметров (перемещение, скорость, ускорение) точки звена исследуемого механизма в функции времени, угла поворота ведущего звена этого механизма.

3.5.1. Диаграмма перемещений

Требуется построить кинематическую диаграмму изменения расстояний точки D ползуна механизма качающегося грохота-конвейера от левого положения D0 (см. рис. А.1).

Построение производится в следующем порядке:

1) строятся оси координат S D −t(ϕ), и на оси абсцисс откладывает-

ся отрезок l, равный 120, 180, 240 или 360 мм, изображающий время одного полного оборота кривошипа в масштабе µt или угол поворота

кривошипа в масштабе µϕ. Отрезок l делится на восемь равных частей, и в соответствующих точках 1, 2, 3… по оси ординат откладыва-

ются расстояния SD = D0 D1 ;	SD	= D1D2 ;…., пройденные точкой D
1	2
от ее крайнего положения D0.
До крайнего правого положения D0′ расстояния возрастают, а на-
чиная с положения D0′ будут уменьшаться; когда кривошип придет
в начальное положение А0,	ордината		кривой ( S D −t ) будет равна
нулю;	′ ′	′	соединяются последовательно
2) полученные точки 0, 1 , 2 , 3 ,...

плавной кривой, которая и будет диаграммой перемещения точки D.

45

Если величины расстоянийSD1 , SD2 , SD3 .. откладывать прямо со схемы (см. рис. А.1), то масштаб µS диаграммы ( S D −t ) будет равен масштабу µl ; если эти расстояния приходится уменьшать в m раз, то масштаб µS соответственно увеличивают в m раз, т.е. µS = mµl . В нашем случае µS = 0,001 м/мм.

Если по оси абсцисс откладывать углы поворота кривошипа φ, отсчитывая их по ходу часовой стрелки от начального положения О1А0, то данная диаграмма представит функциональную зависимость S D = S D (ϕ) и масштаб по оси абсцисс:

µϕ = 2π l0−8 =6,28 72 =0,0872 рад/мм.

Масштаб времени: µt = µϕ ω1 =0,0872 16,6 =0,0053 с/мм.

3.5.2. Диаграмма скоростей

Диаграмма скоростей точки D (VD − t ) строится следующим

образом:

1) проводятся оси координат VD −t(ϕ) под диаграммой ( S D −t ),

и на оси абсцисс откладывается точно такой же отрезок l (120, 180, 240 или 360 мм), что и на диаграмме ( S D −t ), изображающий время

одного полного оборота кривошипа в масштабе µt . Отрезок l делится

на восемь равных частей, и в соответствующих точках 1, 2, 3… по оси ординат откладываются отрезки p1d , p2 d , p3d и т.д. с планов скоро-

стей, которые в масштабе µV представляют собой истинные значения

скорости точки D в соответствующих положениях механизма.

До крайнего правого положения D0′ значения скоростей откладываются вверх от оси абсцисс, а начиная с положения D0′ – вниз;

2) ряд полученных точек 0, 1" , 2" , 3" , … соединяется плавной кривой, которая является диаграммой скорости (VD − t ).

Масштабы µt и µϕ диаграммы (VD −t ) остаются такими же, как и

раньше. Масштаб оси ординат для диаграммы скоростей следующий: если величины отрезков p1d , p2 d , p3d ,… откладывать прямо с пла-

нов скоростей (см. рис. А.1), то масштаб µV′ диаграммы (VD − t ) будет равен масштабу µV плана скоростей; если же эти расстояния прихо-

46

дится уменьшать в m раз, то масштаб µV′ увеличивается в m раз, т.е. µV′ = mµV . В нашем случае (см. рис. А.1)

µV′ = 2×0,01= 0,02 м/с/мм.

3.5.3. Диаграмма ускорений

Графическим дифференцированием (методом хорд) диаграммы скоростей (VD −t ) строится диаграмма скоростей точки D (WD −t ):

1) под диаграммой (VD −t ) строятся оси координат WD −t(ϕ)

(см. рис. А.1) и на продолжении оси Ot влево откладывается отрезок OP2 = H2, мм;

2) из точки Р2 проводятся лучи Р21, Р22, Р23,… параллельно хордам кривой (VD −t ) на участках 01" , 1"2" , 2"3" , … . Эти лучи отсекут на оси OWD отрезки 01, 02, 03,…, пропорциональные среднему ускорению WD на соответствующем участке диаграммы;

3)эти отрезки откладываются в виде ординат посередине соответствующих участков;

4)ряд полученных точек 1"' , 2"' , 3"' ,… соединяется плавной кривой, которая является диаграммой ускорений (WD −t ).

График ускорения, построенный путем графического дифференцирования кривой графика скорости, изображает закон изменения лишь касательного (тангенциального) ускорения. Только в случае прямолинейного движения точки или звена, когда нормальное ускорение равно нулю, построенный график изображает закон изменения полного ускорения.

Чтобы уточнить начальную ординату графика ускорений, удобно график скоростей продолжить вправо на один-два интервала следующего цикла и построить для этих интервалов среднее значение WD .

Соединив плавной кривой точки, соответствующие последним участкам первого цикла и первым участкам следующего цикла, отсечем на крайней правой оси ординат отрезок, который нужно отложить на крайней левой оси ординат цикла.

Находится начальная ордината графика ускорений:

W0 =(01 + 08)/ 2 мм.

47

Масштаб по оси ординат диаграммы ускорений определяется по формуле

µW′ =µV′ (H 2µt ), м/с2/мм.

Приняв полюсное расстояние H2 =10 мм, получим

µW′ = 0,02(10 0,0053)= 0,38 м/с2/мм.

Величина масштаба µW′ дифференциальной кривой зависит от соответствующего полюсного расстояния ( H 2 ), которое выбирают так,

чтобы дифференциальная кривая вместилась на отведенном для нее месте чертежа.

3.5.4. Контроль точности построений

Контроль точности построенных кинематических диаграмм проводится путем сравнения полученных на них величин с аналогичными на планах ускорений.

Определим, например, расхождения в значениях ускорений для положений 2 и 4. Из диаграммы ускорений:

WD′2 = y2µW′ =11,5×0,38 = 4,37 м/с2;

WD′4 = y4µW′ =16 ×0,38 = 6,08 м/с2,

где y2 и y4 – значения ординат в миллиметрах на диаграмме ускоре-

ний в положениях 2 и 4 соответственно.

По планам ускорений для этих положений (см. табл. 3.3)

WD2 = 4,4 м/с2;

WD4 = 6,0 м/с2.

Процентная разница соответственно составляет:

δW2 = (WD2 −WD′2 )WD2 ×100 % =(4,4 − 4,37)4,4 ×100 % =0,68 % <5 % ; δW4 = (WD′4 −WD4 )WD′4 ×100 % =(6,08 −6,0)6,08 ×100 % =1,32 % <5 % .

48

ЛИТЕРАТУРА

1.Артоболевский, И.И. Теория механизмов / И.И. Артоболевский.

–М.: Наука, 1967. – 720 с.

2.Баранов, Г.Г. Курс теории механизмов и машин / Г.Г. Баранов.

–М.: Машгиз, 1959. – 488 с.

3.Курсовое проектирование по теории механизмов и машин / под ред. проф. С.И. Артоболевского. – М.: Высшая школа,1960. – 248 с.

4.Курсовое проектирование по теории механизмов и машин/ под ред. А.С. Кореняко. – Киев: Высшая школа, 1970. – 332 с.

5.Кожевников, С.Н. Теория механизмов и машин / С.Н. Кожевников. – М.: Машиностроение, 1973. – 592 с.

6.Юдин, В.А. Теория механизмов и машин / В.А. Юдин, Л.В. Петрокас. – М.: Высшая школа, 1977. – 528 с.

7.Богданов, В. Н. Справочное руководство по черчению / В.Н. Богданов [и др.]. – М.: Машиностроение, 1989. – 840 с.

49

ПРИЛОЖЕНИЕ А Первый лист курсового проекта

50

Рис. А.1