- •В. Б. Смирнова
- •Первообразная.
- •Определение неопределенного интеграла.
- •Простейшие правила интегрирования.
- •I. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям.
- •7. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических функций.
- •9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •10. Разные задачи.
- •Неопределенный интеграл
10. Разные задачи.
Ниже приведены задачи, решение которых требует применения нескольких приемов интегрирования. Почти во всех этих задачах нужно сначала угадать выгодную замену переменной, которая привела бы в итоге к какой-нибудь стандартной формуле.
Пример 10.1.
. Сделаем замену переменной. Тогда
. Снова введем новую переменную . Тогда. Возвращаясь к старой переменной по формуле, получим
Пример 10.2.
Пример 10.3.
Пример 10.4. .
Пример 10.5. . Введем новую переменнуюи получим(см. пример 6.2. из раздела 6 интегрирование по частям). Тогда
Пример 10.6. . Введем новую переменнуюи найдем. Получим
Пример 10.7. . Сделаем замену переменной. Тогда. Получим
Пример 10.8.
Пример 10.9. . Введем новую переменнуюи найдем. Тогда
Пример 10.10. . Сделаем заменуи найдем. Получим
. Представим правильную дробь как сумму простейших дробей:
.
Для нахождения неизвестных коэффициентов выпишем тождественное равенство исходного и вновь полученного числителей:
.
Придадим переменной значение . Тогда, откуда. Затем притождество примет вид:, откуда. Тогда
Пример 10.11. . Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим. Найдеми. Тогда
Пример 10.12. . Применим здесь формулу интегрирования по частям, полагая. Тогда. Отсюда . Выделим в неправильной рациональной дроби целую часть делением числителя на знаменатель.
Получим
.
Пример 10.13.
Здесь мы заметили, что .
Пример 10.14. . Введем новую переменную. Тогда. Получим. Воспользуемся формулами. Тогда
Пример 10.15. . Введем новую переменную. Найдем. Тогда, откуда. Таким образом. Получили интеграл, вычисленный ранее в примере 6.9.
Пример 10.16. . Сделаем замену переменной. Тогдаи. Разложим правильную дробь в сумму простейших дробей:
.
Из тождественного равенства числителей найдем неизвестные буквенные коэффициенты.
При тождество принимает вид, откуда.
При тождество принимает вид, откуда.
Отсюда
Предложим другое решение, которое использует интеграл, взятый в примере 5.8.
Пример 10.17. . Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби.
Рассмотрим тождественное равенство исходного числителя и вновь полученного
.
Положим в нем последовательно , а затем приравняем друг другу коэффициенты при. Тогда получим систему уравнений для нахождения неизвестных буквенных коэффициентов:
.
Решая ее, найдем . Тогда
Вычислим отдельно . Сделаем замену. Найдем. Получим
. Тогда
Пример 10.18. . Сделаем замену и найдем. Получим. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим из нее целую часть.
Тогда .
Последний интеграл взят в предыдущем примере 10.17. Воспользуемся этим результатом.
Затем вернемся к старой переменной .
Пример 10.19. . Сделаем замену переменной . При этом. Тогда
Пример 10.20. Вычислить .
Пусть .
При :
Рекомендуемая литература
Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: «Наука», 1964.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Изд-во АСТ Астрель, 2006.
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.
Неопределенный интеграл. Методические указания к самостоятельному выполнению задания для студентов всех специальностей. Л.: ЛИСИ, 1989.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Айрис-пресс, 2006.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: «Наука», 1985.
Содержание
1. Первообразная………………………………………………………….…..……3
2.Неопределенный интеграл……………………………………….………………4
3.Таблица неопределенных интегралов…………..………………….…………...6
4. Простейшие правила интегрирования…………………...……….…………11
5. Замена переменной в неопределенном интеграле…………..……….………17
6. Интегрирование по частям……….…………………………………………..20
7. Интегрирование дробно-рациональных функций………..….……….……..25
8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических функций………...36
9. Интегрирование некоторых иррациональных функций……..…..…………40
10.Разные задачи………...………….............................................................42
Рекомендуемая литература……………………………………………………51