Версия от 18.10.10

Сравнивая результаты вычисления интеграла

∫1	dx
0	1 + x

методами средних треугольников и трапеций с его точным значением, можно отметить их хорошее совпадение .

Метод Симпсона

Этот метод основан на замене на промежутках [xi , xi+1] функции f(x) на параболу. Для построения этой формулы число точек n должно быть чётным, то есть n=2m.

b	h		2 m−1		2 m−2
∫ f ( x )dx ≈	3	f ( a ) +	f ( b ) +4 ∑ f ( xi	) +2	∑ f ( xi ) (10)
a			i=1,3 ,5		i=2 ,4 ,6
Для этого метода принципиально важно, чтобы n было четным,
иначе невозможно построить параболы.
В дальнейшем мы будем сравнивать результаты,						полученные

тремя методами, поэтому число разбиений n должно быть одинаковым во всех трех формулах.

	Sтрап	S симпс	0,0556
f(x i )	0,00000	0
1	0,15476	0,055556
0,85714	0,28869	0,246032
0,75	0,40675	0,329365
0,66667	0,51230	0,477513
0,6	0,60776	0,54418
0,54545	0,69488	0,665392
0,5		0,693170
	Sтрап	S симпс	0,02778
f(x i )	0,00000	0,000000
1	0,08013	0,027778
0,92308	0,15430	0,130342
0,85714	0,22335	0,177961
0,8	0,28793	0,266850
0,75	0,34860	0,308516
0,70588	0,40579	0,386948
0,66667	0,45988	0,423985
0,63158	0,51120	0,494160
0,6	0,56001	0,527494
0,57143	0,60654	0,590986
0,54545	0,65101	0,621289
0,52174	0,69358	0,679260
0,5		0,693149

6	Любимов Е.Б.

Версия от 18.10.10

Правило Рунге

Для того чтобы оценить точность полученного значения интеграла на практике используется правило Рунге. Вычислив значение интеграла с шагом h, определённым по формуле (3) (обозначим это значение In), увеличим значение n в два раза и вычислим новое значение интеграла I2n . После чего можно выполнить оценку точности найденного значения интеграла по формуле

I 2 n − I n		≤ ε	(11)

где ε - заданная точность определения значения интеграла.

Для уточнения значения интеграла при вычислениях, выполненных по методу Симпсона, можно использовать поправку Рунге. В этом случае значение интеграла определяется равным

	I = I2n +	I2n − In	(12)
		15

Пример.

Вычислим значение	2
	I = ∫x2dx	(13)

1

с точностью ε =10-3.

Вообще говоря, для решения этого примера не требуется численного интегрирования. Первообразная функции х2 равна х3/3 и, следовательно, точное значение этого интеграла равно

	2	x	3	2		8		1		7		1
	∫x2dx =			|	=		−		=		= 2
		3				3		3		3		3
	1			1

или 2,333(3).

На этом примере можно сравнить алгоритмы и оценить точности решений, получаемых при использовании различных численных методов. Пусть n=10,тогда h=(2-1)/10=0.1

Для вычисления интеграла сформируем таблицу значений интегрируемой функции (см. рис. 3).

7	Любимов Е.Б.

Версия от 18.10.10

Методы прямоугольников

Метод левых прямоугольников: Sлев.прямоуг=0,1*(1,00+1,21+1,44+1,69+1,96+2,25+2,56+2,89+3,24

+3,61) =2,185

Этот же результат мы получим, если в какую-либо ячейку таблицы запишем формулу:

=СУММ(С2:С11)*0,1

Метод правых прямоугольников: Sпр.прямоуг=0,1*(1,21+1,44+1,69+1,96+2,25+2,56+2,89+3,24+3,61+4,00)=

=2,485

Формула правых прямоугольников, записываемая в ячейку таблицы для вычисления значения интеграла:

=СУММ(С3:С12)*0,1

Метод средних прямоугольников: Sср.прямоуг=0,1*(1,1025+1,3225+1,5625+1,8225+2,1025+2,4025+2,7225+

3,0625+3,4225+3,8025)=2,3325

Формула средних прямоугольников, записываемая в ячейку таблицы для вычисления значения интеграла:

=СУММ(D2:D11)*0,1

Метод трапеций

Вычисляя значение интеграла по формуле (10) получим следующее значение: Sтрап=0,05*(1.0+4.0)+0.1*(1,21+1,44+1,69+1,96+2,25+2,56+2,89+3,24

+3,61)=2,335

Этот же результат мы получим, если в ячейку таблицы запишем формулу:

=0,05*(C2+C12)+0,1*СУММ(C3:C11)

Метод Симпсона

Выполняя суммирование по формуле метода Симпсона (11) мы получим следующий результат:

Sсимпс=0,1/3*(1,00+4,00+4*(1,21+1,69+2,25+2,89+3,61)+ 2*(1,44+1,96+2,56+3,24)) = 2,33333333

Это же значение мы получим, если в ячейку таблицы запишем формулу:

=0,1/3*(C2+C12+4*(C3+C5+C7+C9+C11)+2*(C4+C6+C8+C10))

8	Любимов Е.Б.

Версия от 18.10.10

Отметим, что метод Симпсона в данном случае дал точное значение, так как функция х2 является параболой и моделируется параболой.

Рис. 3. Пример оформления таблицы с результатами ручных вычислений

Литература

1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, - 1970г., 664 стр.

9	Любимов Е.Б.