- •Пермский государственный технический университет
- •Введение
- •Список литературы
- •1. Краткие методически указания по
- •2. Методические указания к решению задач
- •3. Основные формулы Электростатика. Электрический ток
- •3.1. Примеры решения задач
- •Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
- •Внешнее сопротивление Rесть сумма двух сопротивлений
- •3.2. Тренировочные задачи.
- •3.3. Проверочный тест Электростатика
- •1. В точке а. 2. В точке в. 3. В точке с. 4. В точке d.
- •3) Только в и г; 4) б, в и г; 5) а, б, в и г.
- •Постоянный ток
- •3. Первая, в 2,25 раза; 4. Вторая, в 2,25 раза; 5. Первая, в 1,2 раза.
- •3.4. Контрольная работа № 3
- •4. Основные формулы Электромагнетизм
- •4.1. Примеры решения задач
- •4.2. Тренировочные задачи
- •4.3. Проверочный тест
- •1) Влево, 2) вправо, 3) к нам, 4) от нас
- •4.4. Контрольная работа № 4
- •5. Вопросы для подготовки к экзамену
- •6. Справочные таблицы
4.1. Примеры решения задач
№ 1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r0 = 30 см от его середины.
Р е ш е н и е.
Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа
(1)
и принципом суперпозиции магнитных полей:
, (2)
где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода, магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке, определяемой радиус-вектором ;0 - магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае = 1). Векторы от различных элементов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно переписать в скалярной форме:
, ,
где есть угол между вектором и радиус-вектором . Таким образом,
. (3)
Выразим длину элемента провода dlчерез уголd:dl =rd/sin.
Запишем выражение в видеПеременнаяr также зависит от (r = r0/sin), следовательно: . Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде, где1 и 2 - пределы интегрирования.
Выполним интегрирование:
(4)
При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos 2 = -cos 1. С учетом этого формула (4) примет вид
. (5)
Из рис.2 следует
Подставив выражение cos1 в формулу (5), получим
. (6)
Произведя вычисления по формуле (6), получим В = 26,7 мкТл.
№ 2. Два бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками в точкеА. (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r1 = 5 см, от другого на r2 = 12 см.
Р е ш е н и е.
Для нахождения магнитной индукции в точкеА воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей: =1+ 2.
Модуль вектора может быть найден из теоремы косинусов
Рис. 3
, (1)
где - угол между векторами 1 и 2.
Магнитные индукции 1 и 2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А
В1 = 0I/(2r1); B2 = 0I/(2r2).
Подставляя выражения В1 и В2 в формулу (1), получаем
. (2)
Вычислим cos по теореме косинусов ( = DAC как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), d2 = r12 + r22 - 2r1r2cos,
где d - расстояние между проводами. Отсюда
Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:
= 308 мкТл.
№ 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукциюв точкеА, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.
Р е ш е н и е.
Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:
,
где d- магнитная индукция поля, создаваемого элементом токаIв точке, определяемой радиус-вектором .
Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис. 4). Векторdнаправим в соответствии с правилом буравчика.
Разложим вектор dна две составляющие: перпендикулярную плоскости
кольца d и параллельную d, т.е..Тогда,
Рис. 4
из соображений симметрии, а векторы от различных элементовdl сонаправлены, следовательно , гдеdB = dBcos и dB = (поскольку перпендикулярен, тоsin = 1). Таким образом, , гдеcos = R/r (см. рис 4). Окончательно получим: .
Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:
Вектор направлен по оси кольца в соответствии с правилом буравчика.
№ 4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом = (2/3).. Определить магнитную индукцию в точкеА (см. рис. 5). Расстояние d = 5 см.
Рис. 5
Рис. 5
Р е ш е н и е.
Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (Рис. 5) В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точкеА будет равна геометрической сумме индукций 1 и 2 магнитных полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. =1 +2.
Магнитная индукция 2 равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси провода, d= 0, т.к. [d]= 0.
Магнитную индукцию B1 найдем, воспользовавшись соотношением (4), из примера 1: гдеr0 - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (см. рис. 5)
В нашем случае 10 (провод длинный), 2 = = 2/3. Расстояние r0 = d sin( - ). Тогда магнитная индукция .
Так как B =B1 (B2 = 0), то .
Вектор сонаправлен с вектором 1 и направление его определяется правилом правого винта. На рис. 5 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).
Произведем вычисления:
№ 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (см. рис. 6) По проводам текут токи I1 = 80 A и I2 = 60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Р е ш е н и е.
В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей индукция магнитного поля, создаваемого токами I1 и I2, определяется
Рис. 6
выражением =1 +2, где 1 - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I1; 2 - индукция магнитного поля, созданного в точке А током I2 (направление отмечено точкой в кружочке - перпендикулярно плоскости чертежа к нам).
Векторы 1 и 2, взаимно перпендикулярны, их направления находятся по правилу буравчика, и изображены в двух проекциях на рисунке. Модуль можно определить по теореме Пифагора (см. рис. 6)
,
В1 и В2 определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:
и .
В нашем случае r0 = d/2. Тогда .
Произведем вычисления: .
№6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рис.7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого в точкеО током I = 80 А, текущим по этому проводу.
Р е ш е н и е.
Магнитную индукцию в точкеО найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: .
В нашем случае провод можно разбить на три части (см. рис 7): два прямолинейных провода (1 и 3) , одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда , где,и- индукции магнитных полей в точкеО, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.
Так как точка О лежит на оси провода 1, то = 0 и тогда=+. Учитывая, что векторыинаправлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:В = В2 + В3.
Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока: .
В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому .
Магнитную индукцию В3 найдем, применив соотношение (4), пример 1: .
В нашем случае r0 =R, 1 = /2 (cos 1 = 0), 2 (cos 2 = -1). Тогда .
Используя найденные выражения, получим В = В2 + В3 = +,
ли .
Произведем вычисления:
№ 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.
Р е ш е н и е.
Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.
Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном направлении. Ток I1 создает в месте расположения второго провода (с током I2) магнитное поле, направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукцииВ1 задается соотношением
. (1)
Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода действует в магнитном поле сила. Так как векторперпендикулярен вектору, тои тогдаdF = I2B1dl.Подставив в это выражение значение В1, получим .
.
Учитывая, что I1= I2 = I, получим
.
Произведем вычисления:
Рис. 8
Сила сонаправлена с силойd, а направлениеdопределяется правилом левой руки.
Р е ш е н и е.
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции: . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору, то она сообщает Рис. 9
частице (протону) нормальное ускорение n .
Согласно второму закону Ньютона,
, (1)
где m - масса протона. На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора скорости . Силу Лоренца направим перпендикулярно векторук центру окружности (векторыn и сонаправлены.). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора).
Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):
Fл = man . (2)
В скалярной форме Fл = qvBsin . В нашем случае иsin = 1, тогда Fл = qvB. Так как нормальное ускорение an = v2/R, то выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = m v2/R. Отсюда выразим радиус окружности:
R = mv/(qB). (3)
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = W, или q(1 - 2) = W2 - W1, где (1 - 2) = U- ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение); W1 и W2 - начальная и конечная кинетические энергии протона.
Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W1 0, и, учитывая, что Wк = mv2/2, получим qU = mv2/2.
Найдем из этого выражения скорость и подставим ее в формулу (3), в результате получим
(4)
Произведем вычисления:
№ 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент рm эквивалентного кругового тока.
Р е ш е н и е.
Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Движение электрона по окружности эквивалентно току, который в данном случае определяется выражением: гдее - заряд электрона; Т - период его обращения.
Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2R)/ v. Тогда
(1)
По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением
Pm = IэквS, (2)
где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном S = R2. Учитывая (1), (2) и (3), получим Рm = или
Известно, что R = mv/(еB) (см. пример 8). Тогда для скорости v электрона находим . Подставив это выражение в (4) для магнитного моментаPm электрона получим
Произведем вычисления:
№ 10. Электрон движется в однородном магнитном поле по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.
Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом ( /2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис. скорость электрона на две составляющие: параллельную
Рис. 10 вектору индукции и перпендикулярную ему (). Скоростьв магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовых линий. Скоростьв результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению(в отсутствие параллельной составляющей скорости движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном со скоростьюи равномерном движении по окружности со скоростью.
Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением
. (1)
Найдем отношение R/v. Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение an = v2/R. Согласно второму закону Ньютона Fл = man или
(2)
где v = v·sin. Получим соотношение R/ v = m/eB и подставим его в формулу (1);
(3)
Произведем вычисления:
Модуль скорости v определяем через v|| и v: .
Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:
Параллельную составляющую скорости v|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv||, откуда v|| = h/T. Подставив вместо Т правую часть выражения (3), получим
Таким образом, модуль скорости электрона
Произведем вычисления:
№ 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда q - частицы к ее массе m, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.
Р е ш е н и е.
Для того, чтобы найти отношение заряда q - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: qU = mv2/2, откуда
(1)
Скорость v альфа-частицы определим из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся частицу действуют две силы: сила Лоренца Fл = q направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции; кулоновская силаFк = qE, сонаправленная с вектором напряженности электростатического поля.
Рис. 11 Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил Кулона и Лоренца будет равна нулю += 0. В проекции на осьОу получим равенство ( при этом иsin = 1): qE - qvB = 0, откуда
v = E/B (2)
Подставив (2) в формулу (1), получим
Произведем вычисления:
№ 12. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АС, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение э.д.с. индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол = 600 с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
Р е ш е н и е.
Мгновенное значение э.д.с. индукции i определяется законом Фарадея
. (1)
Потокосцепление = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив это выражение в формулу (1), получим
При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку, изменяется по закону Ф =BS·cos = BS·cost, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки; - угол между и; - угловая скорость вращения.
Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и, продифференцировав по
Рис. 12 времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: i = ωNBS·sint.
Учитывая, что угловая скорость вращения катушки связана с частотой вращения n соотношением = 2n и что угол t = /2 - (см. рис.), sin(/2 - ) = cos, получим i = 2nNBS·cos .
Произведем вычисления: i = 23,14101030,0410-20,5 = 25,1 В.
№ 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол = 300 с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Р е ш е н и е.
При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет э.д.с. индукции Возникшая э.д.с. индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить по закону Ома для полной цепиIi = i/R, где R - сопротивление рамки. Тогда .
Так как мгновенное значение силы индукционного тока Ii = dq/dt, то предыдущее выражение можно переписать в виде ,
откуда
(1)
Проинтегрировав выражение (1), найдем или.
При выключенном поле Ф2 = 0, и последнее равенство перепишется в виде q = Ф1/R. (2)
По определению магнитного потока Ф1 = BS·cos. В нашем случае площадь рамки S = а2. Тогда
Ф1 = Ва2cos. (3)
Подставив (3) в (2), получим .
Произведем вычисления: .
№ 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол = 900. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Р е ш е н и е.
На контур с током в магнитном поле действует момент силы (см. рис. 13)
M = pmB sin, (1)
где pm = IS= Ia2 - магнитный момент контура; В - индукция магнитного поля; - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и.
Рис. 13 формулу работы в дифференциальной форме dA = Md . Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa2sin d.
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол . Работа при повороте на угол = 900
(2)
Произведем вычисления: А = 100 1 (0,1)2 = 1 Дж.
Задачу можно решить другим способом.
Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: А = -IФ = I(Ф1 - Ф2), где Ф1 - магнитный поток до перемещения, Ф2 - после. Ф1 = BScos00 = BS; Ф2 = BScos900 = 0. Следовательно, А = IBS = IBa2, что совпадает с формулой (2).
№ 15. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Р е ш е н и е.
Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой:
. (1)
Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости сердечника, т.е. L = 0 n2V, где 0 = магнитная постоянная.
Магнитную проницаемость можно выразить следующей формулой: гдеВ - индукция магнитного поля, Н - напряженность.
Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и магнитной проницаемости, получим .
Объем сердечника выразим через длину l и сечение S
Напряженность магнитного поля найдем по формуле: Н = nI.
Подставив данные в единицах СИ, получим: Н = 2103 0,5 А/м = 103 А/м.
Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).
Произведем вычисления:
№ 16. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода 0,2 мм, диаметр соленоида – 5 см. По соленоиду течет ток 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.
Р е ш е н и е.
Количество электричества dq, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством: dq = Idt. Общее количество электричества, протекшее через проводник за время t будет: q = .
Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой: гдеI0 - сила тока до замыкания, R - сопротивление обмотки соленоида, L - индуктивность соленоида.
Внося выражение для силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до (при t , I 0), получим:
Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку.
(1)
Найдем L и R. Индуктивность соленоида
. (2)
Сопротивление обмотки соленоида
(3)
Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что , получим:
.