- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Содержание
- •Введение
- •Теплопроводность
- •Основные положения теплообмена
- •Температурное поле
- •Температурный градиент
- •Тепловой поток
- •Закон Фурье
- •Коэффициент теплопроводности
- •Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •Условия однозначности для процессов теплопроводности
- •Теплопроводность при стационарном режиме
- •Передача теплоты через плоскую стенку ()
- •Передача теплоты через многослойную стенку, состоящую из n однородных слоев
- •Теплопроводность через плоскую стенку. Граничное условие третьего рода
- •Нестационарные процессы теплопроводности
- •1.5.1. Аналитическое описание процесса
- •2. Конвективный теплообмен в однородной среде
- •2.1 Основные положения и определения
- •2.2 Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена
- •2.4 Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена
- •2.4.2 Числа подобия
- •2.4.5 Получение эмпирических формул
- •Тепловое излучение
- •Виды лучистых потоков
- •Закон Планка
- •Закон Стефана-Больцмана
- •Закон Кирхгофа
- •Теплопередача
Условия однозначности для процессов теплопроводности
Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности описывает целый класс соответствующих явлений. Чтобы выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса.
Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями.
Условия однозначности включают в себя:
геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;
физические условия, характеризующие физические свойства среды;
временные (начальные) условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени;
граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.
Существует четыре типа граничных условий:
Граничное условие первого рода.
При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
, (1.14)
где – температура на поверхности тела;– координаты поверхности тела.
Простейший случай .
Граничное условие второго рода.
При этом задается значение теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:
, (1.15)
где – плотность теплового потока на поверхности тела.
Простейший случай .
Граничное условие третьего рода.
При этом задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона-Рихмана.
Согласно этому закону количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды():
, (1.16)
где – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2·C).
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.
Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е.
, (1.17)
где – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при ).
Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде:
. (1.18)
Граничное условие четвертого рода.
Это условие характеризует условие теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы).
В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения (см. рис. 1.4):
. (1.19)
В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и среды.
Рис.1.4. Граничное условие четвертого рода
Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретной тепловой задачи. Поставленная таким образом задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методами.