8.3.2. Расчет статически неопределимой рамы Пример

Для заданной рамы (рис. 8.13) раскрыть статическую неопределимость, подобрать сечение из условия прочности, определить перемещение сечения А, жесткость сечения рамы принять постоянной.

F = 30 кН, М = 40 кНм, q = 20 кН/м, l = 4 м, b = 3 м, [] = = 210 МПа.

1. Определить степень статической неопределимости.

S = 3k  ш = 32  4 = 2.

Рама два раза статически неопределима, т.к. на нее наложены пять внешних связей вместо трех, необходимых для плоской рамы, т.е. существуют две лишние связи.

2. Для заданной рамы изобразить несколько основных систем, одну из которых принять для расчета. Изобразить эквивалентную систему.

Имеем три основные системы, каждая из которых кинематически неизменяема (рис. 8.14, а, б, в).

Рис. 8.14

Для дальнейшего решения выберем основную систему (см. рис. 8.14, в) с позиции рациональности решения.

Эквивалентная система в этом случае имеет вид, показанный на рис. 8.15.

3. Записать канонические уравнения метода сил.

Для дважды статически неопределимой системы имеет два канонических уравнения:

11Х1 + 12Х2 + 1F = 0, 21Х1 + 22Х2 + 2F = 0. 4. Построить эпюры изгибающих моментов для принятой основной системы от заданных нагрузок и единичных силовых факторов. На рис. 8.16, б изображена эпюра изгибающих мо-

ментов от заданных сил в основной системе, на рис. 8.16, в, г эпюры изгибающих моментов от единичных факторов в направлении неизвестных усилий Х₁ и Х₂ в выбранной основной системе.

5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений по способу Верещагина.

Единичные перемещения ₁₁ и ₂₂ определяются перемножением эпюры ив соответствии с правилом Верещагина.

а	б
в	г
Рис. 8.16

Подобные перемещения ₁₂ = ₂₁ определяются перемножением эпюры и эпюры.

Перемещения _1F и _2F находятся перемножением эпюр и на эпюрупо правилу Верещагина.

6. Решить систему канонических уравнений

180 Х₁ + 109,3 Х₂  3136,7 = 0,

109,3 Х₁ + 69,3 Х₂  2100 = 0,

или

Х₁ + 0,607 Х₂  17,426 = 0, Х₂ = 66,2 кН;

Х₁ + 0,634 Х₂  19,213 = 0, Х₁ = 22,86 кН.

Следовательно, реакция R_Е = Х₁ = 22,86 кН, а реакция R_В = Х₂ = 66,20 кН (см. рис. 8.13).

7. Построить суммарные эпюры внутренних силовых факторов.

Определяем неизвестные реакции R_С, Н_С, М_С (рис. 8.17).

Проверка:

Используя метод сечения, определяем силовые факторы по участкам:

На четвертом участке в сечении L (рис. 8.18, б) поперечная сила меняет знак (Q = 0 при наличии распределенной нагрузки), следовательно, на эпюре изгибающего момента в этом сечении должно быть экстремальное значение (рис. 8.18, в).

8. Произвести деформационную проверку решения с использованием другой основной системы.

Для проверки выберем основную систему (см. рис. 8.14, б). Определим угол поворота сечения С, который по условию наложенных связей в раме должен быть равен нулю.

Переумножением суммарной эпюры М_ (рис. 8.18, в) на эпюру (рис. 8.19) по правилу Верещагина определяем угол поворота сеченияС.

Погрешность .

9. Подбираем сечение двутавра из условия прочности.

Выбираем двутавр № 30, для которого момент сопротивления W_Х = 472 см³,

J_х = 7080 см⁴.

10. Определяем перемещение сечения А. В выбранной основной системе (рис. 8.20, а) прикладываем в сечении А единичную силу , строим от нее эпюру изгибающего момента(рис. 8.20,б).

Перемножая по правилу Верещагина эпюры М_ (см. рис. 8.18, в) и (см. рис. 8.20,б), определяем перемещение сечения А.

.

а	б
Рис. 8.20