2. Характеристики погрешностей

Как отмечалось во введении, измерения бывают прямые и косвенные, расчет погрешностей в которых имеет свою специфику. Поскольку и в тех и в других измерениях результат всегда содержит некоторую погрешность, иско­мая величина х не может быть найдена совершенно точно. Наиболее вероятное значение величины х устанавливается из ряда равноточных измерений как среднее арифметическое . Соответственно в задачу входит не только опреде­ление этой величины, но также и оценка для полученного результата по­грешности Δх, выражающей отклонение от среднего значения , которую на­зывают абсолютной погрешностью. При этом точность измерений характери­зует не сама абсолютная погрешность, а ее отношение к измеряемой величине, т.е. , называемое относительной погрешностью.

В целом результат измерений с учетом погрешностей может быть пред­ставлен доверительным интервалом х = ±Δх, в котором заключено истин­ное значение измеряемой величины х. Степень надежности того, что измерен­ная величина не будет отклоняться от истинного значения более чем на вели­чину Δх, определяется доверительной вероятностью (в технике такую харак­теристику называют надежностью). Доверительная вероятность выражается числом Р, указывающим, с какой вероятностью истинное значение x находится в доверительном интервале ±Δх. Понятно, что эта вероятность растет с рас­ширением границ доверительного интервала.

При физических измерениях для определения доверительных границ по­грешности результата измерений принимается доверительная вероятность Р = 0.95 (ГОСТ 8.207-76), т.е. полагается указывать такой доверительный ин­тервал, в котором будет лежать 95% результатов всех однотипных измерений. Итак, при представлении любого измеренного значения следует привести дове­рительный интервал и доверительную вероятность, соответствующую это­му интервалу.

3. Погрешности в прямых измерениях

При непосредственных измерениях для получения количественной оцен­ки случайной погрешности, т.е. для нахождения величин, определяющих доверительный интервал, удобно представить исходные данные, полученные в из­мерениях, и их первичную обработку в виде табл. 1.

Таблица 1

№ п/п i	xi	- xi	(- xi)^2
1	x1	–x1	(– x1)^2
2	x2	–x2	(– x2)^2
3	x3	–x3	(– x3)^2
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
n	xn	–xn	(– xn)^2
Сумма		-
Среднее		-	-

Среднее квадратичное отклонение результата измерений рассчитывается по формуле (2)

В этой таблице приведены результаты выполненных в одних и тех же ус­ловиях n прямых измерений (содержащих случайные погрешности) некоторой физической величины х с последующим вычислением среднего арифметического

как наиболее вероятного значения измеряемой величины. Далее найдены абсолютные погрешности отдельных измерений Δх_i = - x_i , ха­рактеризующие отклонения x_i, от , и их квадраты(- x_i)², которые в отличие от значения Δх_i образовывают набор только положительных чисел. Сумма по­следних используется для вычисления средней квадратичной погрешности σ отдельного измерения, называемой также средним квадратичным отклонением, или стандартным отклонением, или стандартной ошибкой:

(1)

Квадрат этой величины, σ², называется дисперсией измерений (от латин­ского dispersus - «рассеяние») и является мерой отклонения измеряемой вели­чины x_i от среднего значения , т.е. мерой рассеивания результатов измерений.

Наряду со средней квадратичной погрешностью σ отдельного (индивиду­ального) измерения важным является вычисление средней квадратичной погрешности σ_m результата измерений, за который принимают среднее из n из­мерений (отсюда другие названия погрешности σ_m: среднеквадратичное откло­нение среднего, стандартное отклонение среднего, стандартная ошибка средне­го). Эти два среднеквадратичных отклонения - отдельного измерения и резуль­тата n измерений (т.е. среднего значения) - связаны между собой:

(2)

Из выражения (2) видно, что стандартное отклонение среднего в меньше стандартного отклонения отдельного измерения, откуда следует воз­можность понижения погрешности путем увеличения числа измерений. Однако лучше уменьшать погрешностьσ_m, повышая точность измерений, т.е. снизив величину посредством уменьшения абсолютных погрешностей отдельных измерений.

В то же время при небольшом числе измерений абсолютную случайную среднеквадратичную погрешность среднего ⧊x, представляющую собой полу­ширину доверительного интервала, следует оценивать на основе стандартного отклонения (2) по формуле Стьюдента (Student - псевдоним английского иссле­дователя B.C. Госсета, что в переводе здесь означает «ученый»). Эта формула, соотносясь с выражением (2), имеет вид

(3)

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от величины доверительной веро­ятности Р и числа измерений п. Для принятого согласно ГОСТ 8.207-76 значе­ния Р = 0.95 коэффициенты при различных п приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0.95 и числе измерений n

n		п		п		п
2	12.71	1	2.45	12	2.20	17	2.12
3	4.30	8	2.36	13	2.18	18	2.11
4	3.18	9	2.31	14	2.16	19	2.10
5	2.78^е	10	2.26	15	2.14	20	2.09
6	2.57	11	2.23	16	2.13	∞	1.96