Растяжение (сжатие) стержней

Пусть стержень нагружен произвольной продольной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии zбесконечно малый элементdz(рис.40). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние продольные силы в сечениях, по которым вырезан элемент.

Рис.40

Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.

- N+q_zdz+N+dN= 0,

,

N’ +q_z = 0. (92)

Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид

N(z) =C-(93)

Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0:

N(0)=C.

Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная сила (рис.41):

Рис.41

при za Ф_N(z)=0

при za Ф_N(z)=-P

б) распределенная нагрузка (рис.42):

Рис.42

при zcФ_N(z)=0

при zcФ_N(z)=-q(z-c)

Пример.

Для заданной схемы нагружения стержня (рис.43) построить эпюру продольной силы N(z) при следующих исходных данных:q=10 кН/м,l=1м.

Рис.43

Решение.

1. Совместим начало системы координат с левым концом стержня и направим координатную ось zвдоль его продольной оси.

В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и запишем уравнение продольных сил следующим образом:

N(z) =N(0) - 2q·z│₁+2q(z-l) │₂ +q(z- 2l) │_3.

В этом уравнении приняты следующие обозначения:

N(0) – значение продольной силы в начале координат (реакция опоры),

z– координата сечения, в котором определяется значение продольной силы.

Для решения задачи необходимо определить одну неизвестную величину – N(0). Для этого запишем граничное условие:N(3l) = 0.

Напомним, что граничные условия – это известные значения интегральных характеристик в какой-либо точке стержня.

Для определения неизвестной реакции N(0) необходимо приравнять уравнение продольных сил к нулю, подставив в нем вместо координаты «z» координату «3l»:

N(0)-2q(3l) + 2q(3l–l) +q(3l– 2l) = 0.

Решая это уравнение, найдем: N(0) = 10 кН.

2. Построение графика продольных сил.

При построении графиков уравнение рассматривается на каждом участке в отдельности и вместо координаты «z» подставляется соответствующая координата начала и конца рассматриваемого участка.

1 участок - 0 ≤ z≤l:

N(0) =10 кН,

N(l) = 10 – 2·10·1 = -10 кН.

2 участок - l≤z≤ 2l:

N(l) = 10 – 2·10·1 + 2·10(l–l) = -10 кН,

N(2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) = -10 кН.

3 участок - 2l≤z≤ 3l:

N(2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) + 10(2 – 2) = -10 кН,

N(3l) = 10 – 2·10·3 + 2·10(3 – 1) + 10(3 – 2) = 0 кН.

По рассчитанным значениям строится график продольной силы (рис. 43).