- •Начертательная геометрия
- •Предисловие
- •Обозначения и символика
- •1. Ортогональное (прямоугольное) проецирование и его свойства
- •2. Комплексный чертеж
- •2.1. Комплексный чертеж точки
- •2.2. Комплексный чертеж прямой
- •2.3. Комплексный чертеж плоскости
- •3. Взаимное положение точек и прямых,
- •3.1. Взаимное положение точки и прямой. Деление отрезка прямой в данном отношении
- •3.3. Принадлежность точки и прямой плоскости
- •4.1. Метод замены плоскостей проекций
- •4.2. Определение расстояния между двумя точками
- •4.3. Проецирование прямой общего положения в точку на новую
- •4.4. Проецирование плоскости общего положения в прямую на новую
- •5. Первая и вторая позиционные задачи
- •5.1. Взаимное положение прямой и плоскости
- •5.2. Построение точки пересечения прямой с плоскостью
- •5.3. Прямая и плоскость занимают общее положение
- •5.4. Взаимное положение плоскостей
- •6. Метрические задачи. Ортогональная проекция прямого угла
- •7. Построение взаимно перпендикулярных фигур
- •7.1. Перпендикулярность двух прямых
- •7.2. Перпендикулярность прямой и плоскости
- •7.3. Линии наибольшего наклона
- •7.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •7.5. Перпендикулярность двух плоскостей
- •8. Определение расстояний
- •8.1. Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости)
- •8.2. Определение расстояния между параллельными фигурами
- •8.3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми
- •9. Определение углов
- •9.1. Углы между прямыми
- •9.2. Угол между прямой и плоскостью
- •9.3. Угол между плоскостями
- •10. Кривые линии
- •10.1. Свойства кривых, инвариантные относительно ортогонального проецирования
- •10.2. Комплексный чертеж окружности
- •10.3. Комплексный чертеж цилиндрической винтовой линии
- •11. Поверхности
- •11.1. Понятие поверхности
- •11.2. Контур и очерк поверхности
- •Точка и линия на поверхности
- •11.4. Поверхности (общие сведения)
- •11.5. Линейчатые поверхности
- •11.5.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма
- •11.6. Гранные поверхности и многогранники
- •11.7. Поверхности вращения
- •11.8. Принадлежность точки и линии поверхности вращения
- •Винтовые поверхности
- •12. Построение пересечений фигур
- •12.1. Пересечение поверхности и плоскости
- •В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.
- •12.2. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью
- •12.3. Пересечение линии и поверхности.
- •12.4. Пересечение поверхностей
- •12.5. Пересечение поверхностей второго порядка
- •13. Развертки поверхностей
- •13.1. Развертки гранных поверхностей
- •13.2. Приближенные развертки развертывающихся поверхностей
- •13.3. Условные развертки неразвертывающихся поверхностей
- •14. Аксонометрические проекции
- •14.1. Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция
- •14.2. Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
- •15. Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Оглавление
В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.
Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:
Вершины многоугольника нахо-дятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;
Стороны многоугольника нахо-дятся как линии пересечения граней (плоскостей) многогранника с секущей плоскостью.
На рис. 12.2 показано построение сечения пирамиды плоскостью .
Секущая плоскость является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом 2 плоскости. Следовательно, фронтальная проекция 122232сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом()2. Горизонтальные проекции точек 1(11), 2(21) и 3(31) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.
Пример 3. Построить линию пересечения цилиндрической поверхности вращения с плоскостью()2(рис. 12.3).
Решение. Вначале находим опорные точки A(A1, A2), B(B1, B2), C(C1, C2) и D(D1, D2). Точки А и В находятся в пересечении образующих фронтального контура поверхности и плоскости (вначале определяем A2 и B2, а затем по линиям проекционной связи – A1 и B1). Точки С и D являются точками пересечения горизонтального контура поверхности и плоскости . На П2 горизонтальный контур совпадает с проекцией оси поверхности вращения, а на П1 является очерком. Тогда вначале строим C2 и D2, а затем C1 и D1.
Точки 1(11, 12), 2(21, 22), …, 8(81, 82) – это промежуточные точки сечения. Они построены введением промежуточных прямолинейных образующих поверхности. Вначале проводим проекции образующих на П2, например через точки 12, 22 (образующие – фронтально конкурирующие). На П3 эти образующие проецируются в точки 13 и 23. Горизонтальные проекции образующих построены по двум заданным, как показано на рис. 12.3, отложив соответствующие значения координаты y.
12.2. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью
В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конической поверхности вращения могут получиться различные линии. Они называются коническими сечениями. На рис. 12.4 приведена фронтальная проекция конической поверхности вращения (ось iпараллельна П2) и фронтально проецирующие плоскости…,На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результатов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вращения.
В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12.4, а).
Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и не перпендикулярна оси i(рис. 12.4, б).
Плоскость параллельна одной образующей поверхности и пересекает одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12.4, в).
Плоскость параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12.4, г).
Плоскость проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12.4, д).
а) б) в) г) д)
Рис. 12.5