3. Характеристики элементарных звеньев

В большинстве случаев структурные схемы САУ могут быть представлены в виде соединений ограниченного числа элементарных звеньев.

1. Звено, реализующее коэффициент передачи (рис. 23, 24)

(23)

Примеры технической реализации

Рис. 23. Редуктор

x₁, x₂ – углы поворота;

где Z₁, Z₂ - число зубьев колес редуктора.

Рис. 24. Измеритель давления

Естественно, что частотные характеристики будут иметь вид (рис. 25)

Рис. 25

2. Идеальное интегрирующее звено

Примеры технической реализации

Идеальный электродвигатель (рис. 26), для которого

Рис. 26

Интегрирующий привод (рис. 27)

Рис. 27

1 – электродвигатель;

2 – тахогенератор;

3 – редуктор;

4 – усилитель;

5 – измерительный потенциометр

Интегрирующий операционный усилитель (рис. 28)

Рис. 28

Переходная и весовая характеристика

Уравнение звена при имеет вид

(24)

Переходная функция – прямая линия. Выходная величина непрерывно нарастает по линейному закону при постоянном значении входной величины.

Весовая характеристика имеет вид

(25)

Частотные характеристики

(26)

откуда

Годограф W(j) совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис.29, а). Амплитудная характеристика представляет собой гиперболу (рис. 29, б). Амплитуда выходных колебаний звена при постоянной входной амплитуде убывает обратно пропорционально частоте. Фазовая характеристика - постоянная (рис. 29, в). Это значит, что при всех частотах выходные колебания отстают по фазе от входных на 90.

(27)

Как видно, в логарифмическом масштабе частот L() - прямая с отрицательным наклоном 20 дБ на декаду, проходящая через точку 20lgk, при =1 (рис. 30).

Рис. 29. Годограф W(j) (а), амплитудная (б) и фазовая (в) характеристики интегрирующего звена

Рис. 30. Логарифмическая амплитудная (1) и фазовая (2) характеристика интегрирующего звена

3. Инерционное звено 1-го порядка (апериодическое звено).

Передаточная функция звена

(28)

где К - коэффициент усиления (передачи);

Т - постоянная времени.

Примеры технической реализации (рис. 31, 32, 33)

Рис. 31

(29)

если RC=T, то

Рис. 32

p₁ - давление в магистрали; p₂ - давление в резервуаре;

При мгновенном открытии клапана 1 давление Р₂ будет изменяться в соответствии с передаточной функции апериодического звена.

Рис. 33

Идеальное интегрирующее звено, охваченное отрицательной обратной связью

(30)

или приводя к стандартному виду

(31)

где

Переходная характеристика (рис. 34)

(32)

Переходную функцию звена можно получить также из решения неоднородного уравнения

(33)

Рис. 34. Переходные функции инерционного звена 1-го порядка при различных

постоянных времени Т (Т₁Т₂Т₃)

Для инерционного звена 1-го порядка весовая характеристика имеет вид

(34)

а частотные характеристики будут

(35)

На рис. 35 построены амплитудные W() и фазовые () характеристики для различных значений постоянной времени Т, а на рис. 36 показана амплитудно-фазовая характеристика.

Как следует из выражения и графиков амплитудной характеристики, усиление звена по амплитуде непрерывно падает с ростом частоты. При малых частотах (0) инерционное звено воспроизводит входной сигнал почти так же, как усилительное с коэффициентом усиления k. При  звено вообще не пропускает сигнала. Подавление высокочастотных сигналов происходит тем интенсивнее, чем больше постоянная Т. Фазовая характеристика звена отрицательна; это значит, что выходные колебания отстают по фазе от входных. Отставание растет с ростом частоты и постоянной Т. Фаза при. При фаза.

Рис. 35. Амплитудные (а) и фазовые (б) частотные характеристики инерционного звена 1-го порядка при различных постоянных времени Т(Т₃Т₂Т₁)

Рис. 36. Годограф амплитудно-фазовой характеристики инерционного звена

Логарифмические частотные характеристики запишем в виде

(36)

Определим приближенные значения L() при малых частотах ии больших частотах, когдаи

1) при

2) при

На рис. 37 построена ломаная, состоящая из двух асимптот, которые всегда пересекаются при частоте

Рис. 37. Логарифмическая амплитудная характеристика инерционного звена 1-го порядка

Логарифмическая фазовая характеристика показана на рис. 38.

Рис. 38. Логарифмическая фазовая характеристика инерционного звена

4. Инерционное звено 2-го порядка (колебательное звено).

Передаточная функция в стандартной форме имеет вид

(37)

где К – коэффициент передачи;

Т – постоянная времени;

 – относительный коэффициент демпфирования.

Необходимо отметить, что записи передаточной функции используются и следующие формы, которые легко преобразуются друг в друга

(38)

где ₀ – частота собственных незатухающих колебаний;

(39)

Пример технической реализации (рис. 39)

Рис. 39. Электрический колебательный контур

Цепь присоединена к генератору «Г» с малым внутренним сопротивлением и ЭДС Е=Е(t).

Дифференциальное уравнение контура, как известно, имеет вид

(40)

что соответствует передаточной функции колебательного звена.

Соединение двух идеальных интегрирующих звеньев с помощью обратных связей (рис. 40) также приводит к образованию колебательного звена.

Рис. 40

Переходная функция получается как решение уравнения

(41)

при нулевых начальных условиях.

В зависимости от значений  получаются следующие выражения переходной функции:

1) 1, оба полюса – вещественные отрицательные числа,

(42)

где

2) 1 , оба полюса комплексные, сопряженные, в этом случае звено называется колебательным и

(43)

где

3) =1 – критический случай, оба полюса сливаются в один кратный

(44)

Переходные функции для различных значений  показаны на рис. 41.

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики имеет вид

(45)

Напомним, что – частота собственных колебаний звена; – частота вынужденных колебаний.

Рис. 41. Переходные функции колебательного звена при различных значениях

коэффициента затухания

Частотные характеристики имеют следующий вид

(46)

Амплитудная частотная характеристика показана на рис. 42, а. Фазовая частотная характеристика показана на рис. 42, б.

Выражения для ЛАЧХ и ЛФЧХ будут иметь вид

(47)

График W(j) на комплексной плоскости показан на рис. 43.

()

Рис. 42. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики колебательного звена при различных коэффициентах затухания 

Рис. 43. Годограф W(j) колебательного звена при различных коэффициентах

затухания 

Амплитудные и фазовые логарифмические характеристики приведены на рис. 44, 45. При малых частотах L() имеет асимптоту параллельную оси абсцисс. При больших частотах асимптотой будет прямая с наклоном 40 дБ на декаду. Обе асимптоты пересекаются при .

Рис. 44

Рис. 45. Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики колебательного звена при различных коэффициентах затухания

Форсирующие и дифференцирующие звенья

Три элементарных звена: колебательное, инерционное и интегрирующее - обладают одним общим свойством – запаздыванием. Преобразование сигнала этими звеньями сопровождается запаздыванием. На это указывают, в частности, частотные характеристики этих звеньев: фазовая характеристика – отрицательная, а амплитудная – уменьшается с ростом частоты. Для компенсации запаздывания, связанного с упомянутыми тремя звеньями, в системах автоматического регулирования предусматриваются форсирующие и дифференцирующие звенья. Эти звенья обладают свойствами, противоположными запаздывающим звеньям. Фазовые характеристики этих звеньев положительны, амплитудные – растут с ростом частоты.

Передаточные функции форсирующих звеньев – обратные величины передаточных функций инерционного и колебательного звеньев. Передаточная функция дифференцирующего звена получается как обратная величина передаточной функции интегрирующего звена.

Форсирующее звено первого порядка

(48)

Форсирующее звено второго порядка

(49)

Дифференцирующее звено

(50)

Переходные функции форсирующих звеньев в общем случае включают ступенчатую функцию,  – функцию и ее производную. Частотные характеристики обратны по свойствам частотным характеристикам запаздывающих звеньев.

Логарифмические характеристики (фазовые и амплитудные) форсирующих и дифференцирующих звеньев являются зеркальным отображением логарифмических характеристик запаздывающих звеньев.

Для удобства построения частотных характеристик передаточную функцию целесообразно привести к виду, при котором числитель и знаменатель представляют собой произведения элементарных звеньев

(51)

При построении приближенной ЛАЧХ одноконтурной схемы, состоящей из устойчивых звеньев необходимо суммировать ординаты ЛАЧХ типовых звеньев, т.е.

(52)

Аналогично строится и фазочастотная характеристика

(53)

Таким образом, можно сформулировать следующие правила построения ЛАЧХ.

1. Определяются сопрягающие частоты и т.д. и отмечают их вдоль оси частот в порядке возрастания.

2. Проводится низкочастотная асимптота ЛАЧХ, которая при ₁ является прямой с наклоном – 20n дБ/дек, где n - показатель степени при «р» в знаменателе передаточной функции. Эта прямая должна при =1 иметь ординату 20lgK.

3. После каждой из сопрягающих частот наклон ЛАЧХ изменяется на

- 20 дБ\дек, если _i принадлежит апериодическому звену;

- 40 дБ\дек – колебательному звену;

+ 20 дБ\дек – дифференцирующему звену 1-го порядка;

+ 40 дБ\дек – дифференцирующему звену 2-го порядка.

Высокочастотная часть ЛАЧХ после наивысше сопрягающей частоты должна иметь наклон – 20(n₁-m₁), где n₁ - порядок полинома от р знаменателя; m₁ - порядок полинома от р числителя.

Пример построения ЛАЧХ (рис. 46)

,

где

Рис. 46

Контрольные вопросы

1. В чем отличие математических моделей САУ в переменных «вход-выход» и переменных состояния?

2. Что представляет собой объект управления?

3. В чём заключается принцип обратной связи?

4. Чем отличаются замкнутые и разомкнутые системы? Приведите примеры.

5. Дайте определение передаточной функции.

6. Для передаточной функции запишите соответствующее дифференциальное уравнение.

7. Какой физический смысл заложен в уравнение измерений при представлении математической модели САУ в переменных состояния?

8. Какие математические операции допускаются над передаточной функцией? 9. Что представляет собой структурная схема САУ и как она составляется?

10. С какой целью проводятся эквивалентные преобразования структурных схем?

11. Провести эквивалентное преобразование при последовательном соединении звеньев.

12. Провести эквивалентное преобразование при параллельном соединении звеньев.

13. Провести эквивалентное преобразование при соединении звеньев с помощью обратной связи.

14. С какой целью используются типовые входные воздействия?

15. Какие типовые воздействия используются для оценки динамики перехода САУ из одного установившегося положения в другие?

16. Какое типовое воздействие используется для оценки установившегося режима САУ?

17. Дайте определение переходной функции и импульсной переходной функции.

18. Что такое АЧХ и как эта характеристика строится экспериментально?

19. Дайте определение ФЧХ.

20. С какой целью и как строятся логарифмические частотные характеристики?

21. Что представляет собой асимптотическая ЛАЧХ?

22. Что представляет собой амплитудно-фазовая характеристика САУ?

23. Приведите технические примеры звена с постоянным коэффициентом передачи.

24. Запишите передаточную функцию и приведите технические примеры идеального интегрирующего звена.

25. Какой вид имеет асимптотическая ЛАЧХ идеального интегрирующего звена?

26. Запишите передаточную функцию и приведите технические примеры инерционного звена 1-го порядка.

27. Постройте асимптотическую ЛАЧХ инерционного звена 1-го порядка.

28. Запишите передаточную функцию и приведите технические примеры.

29. Постройте асимптотическую ЛАЧХ инерционного звена 2-го порядка.

30. Сформулируйте правило построения асимптотических ЛАЧХ САУ, передаточная функция которой приведена к форме в виде произведений элементарных звеньев.

31. Постройте асимптотическую ЛАЧХ САУ с передаточными функциями: