Образец выполнения заданий
Задача 6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Рассматриваются случайные величины:
- разность между числом попаданий и числом промахов; - сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин ,ряд распределения. Найти их характеристики .
Решение. Случайная величина может принимать следующие значения:(0 попаданий, 2 промаха),(1 попадание, 1 промах),
(2 попадания, 0 промахов). Вероятности значений случайной величины находятся по формуле Бернулли:.
Ряд распределения будет иметь вид
Х |
-2 |
0 |
2 |
,
.
Случайная величина может принимать только одно значение: два с вероятностью, равной единице.
2
1
Задача 7. Дана функция
При каком значении функцияявляется плотностью распределения случайной величины Найти функцию распределения случайной величины .
Решение. Из основного свойства плотности следует
.
Для .
Для .
Для
.
Для
.
Таким образом,
Задача 8. Время T между двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с параметром :при. Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени. Если за времяпроизошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через времяпосле начала решения задачи. Рассматривается случайная величина- время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).
Решение.
Случайная величина
может принимать следующие значения:( за времяне произошло сбоя), 2(на первом промежуткесбой произошел, на
.
Обозначим тогда- вероятность того, что за времясбой произошел;,и т. Д.
Ряд распределения случайной величины
Х 2……
……
(вычисление суммы ряда смотри методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей, часть 2, стр. 15).
Задача 9. Известно, что детали, выпускаемые по размерам диаметра, распре-деляются по нормальному закону. Параметры этого закона ,. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 до 7 см.
Решение. где- математическое ожидание,- среднее квадратическое отклонение. Таким образом,
Х/Y
20 40 60
10
0
20
30
задан таблицей:
Найти: а) ; б) частные законы распределения случайных величин;
в) ,; г) коэффициент корреляции; д) вероятность попаданий
двумерной случайной величины в область ;.
Решение: так как
то .
Закон распределения случайной величины X
Х 10 20 30
Р , т. К. .
Закон распределения случайной величины Y
Y 20 40 60
P .
Отсюда:
Задача 11. Плотность совместного распределения системы двух случайных величин задана выражением.
Найти: а) коэффициент А; б) плотности распределения случайных величин , входящих в систему; в) определить зависимы или независимы случайные величины.
Решение. Из основного свойства плотности
Т.к.
случайные величины - независимы.