7 Необходимые и достаточное условия статистической независимости случайных величин (с. В.). Соотношение статистической зависимости с. В. И зависимости функциональной.
В теории вероятностейдваслучайных событияназываются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, двеслучайные величиныназывают независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.
9 Методы построения датчиков дискретных с. В. На основе датчика бсв.
Дискретная с. в. x задаётся конечным или счётным множеством возможных значений x1, x2, ... и их вероятностями p1, p2, ... . Она реализуется по тому же принципу, по которому моделируются случайные события. Интервал (0, 1) предварительно разбивается на отрезки, длины которых равны вероятностям p1, p2, ... элементарных исходов Aj. При этом каждый конкретный исход Aj рассматривается здесь как выбор случайной величиной соответствующего значения x = xj.
В двух частных случаях этот общий алгоритм реализации дискретной с. в. целесообразно упростить.
Первый случай – это случай целочисленной с. в. x, принимающей значения 0, 1, ... , n–1 с одинаковыми вероятностями, равными 1/n. Такую дискретную с. в. можно получить с помощью БСВ z одним оператором присваивания, реализующим формулу вычисления целой части:X=[n*z] (1.10)
Второй случай, когда алгоритм реализации дискретной с. в. следует упрощать, это случай дискретной с. в. с бесконечным (счётным) множеством возможных значений. В такой ситуации часто можно построить компактную программу, лишь применяя рекурсивный вариант общего метода. Суть проблемы состоит в том, что перед программированием алгоритма разбить интервал (0, 1) на бесконечное число вероятностных отрезков с длинами p1, p2, ... невозможно. Поэтому в программе сначала реализуется значение БСВ z, а затем выполняется построение и одновременно – проверка вероятностных отрезков интервала (0, 1), по одному (последовательно, одного за другим), до тех пор, пока не будет построен и проверен отрезок, в котором при его проверке обнаружится реализованное значение БСВ z. После этого случайной величине x присваивается соответствующее найденному отрезку значение xj. Благодаря такому последовательному построению и просмотру вероятностных отрезков, для реализации любого значения xj приходится строить лишь конечное их число. Конкретный пример использования этого метода для реализации пуассоновской с. в. приводится в [16].
10 Методы построения датчиков непрерывных с. В. На основе датчика бсв.
Моделирование равномерной случайной величины
С. в. x ~ R[A, B], равномерно распределённую на интервале A t B, можно реализовать путём линейного преобразования БСВ z: x = (B–A)∙z + A.
При этом из получаем M(x) = A + (B–A)/2, D(x) = (B–A)2/12.
Моделирование экспоненциальной случайной величины
Экспоненциальная с. в. x имеет ф. р. в. F(t) = 1 – e-λt где t ≥ 0, параметр > 0 . Её м. о. и дисперсия M(x) = 1/ , D(x) = 1/2.
Экспоненциальную с. в. можно реализовать с помощью следующего преобразования БСВ z: x = – (1/)∙ln(z).
Моделирование эрланговской случайной величины
Эрланговская с.в. x
порядка k ≥ 1
имеет ф. р. в.
,
t ≥ 0,
и п. р. в.
,t ≥ 0,
где параметр
> 0 . Её м. о., дисперсия и начальные
моменты r-го
порядка таковы:M(x)
= k/
,D(x)
= k/2,M(xr)
= k(k+1) ··· (k+r–1)/
r.
Поскольку распределением
Эрланга обладает сумма k независимых
экспоненциальных с. в., имеющих одно и
то же значение параметра λ,
то можно сгенерировать эрланговскую
с. в. x
можно просто как сумму:
,гдеzi
(i
= 1, ..., k)
– независимые реализации БСВ.
Моделирование нормальной случайной величины
Утверждение, что некоторая
с. в. x имеет
нормальное распределение с м. о.
M(x) = μ
и дисперсией D(x)
= σ
2, записывают в виде x
~ N(μ, σ).
П. р. в. этой с. в.
(1.22)
Её ф. р. в. F(t)
не выражается в элементарных функциях
в виде конечной формулы. Для реализации
любой нормальной с. в. достаточно
иметь датчик стандартной (т. е.
нормированной и центрированной)
нормальной с. в.
.
Чтобы реализовать с. в.x
с распределением (1.22) используют следующее
линейное преобразование стандартной
нормальной с. в. 
:
.