Математика. Аналитическая геометрия

y

y

y

y

o

x

o

o

x

o

x

x

0 90

90 180

0

90

tg 0,

k 0

tg 0,

k 0

tg 0, k 0

tg90 не существует

k не существует

Замечание 1.

k1

k2

Замечание 2.

y

k1

y

2

k2

1

o

x

o

1

x

1

2

k k

1

или k

1 2

k1 k2

условие

2

1

2

1

2

k

1

параллельности двух прямых. условие перпендикулярности двух прямых.

5.Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Y

M x,y

y0

Из треугольника на рис.14

k tg ,

и k

y y

M

0 x0y0

0

.

O

x x

0

x0

x X

Следовательно,

y y

0

k x x

Рис.14

0

6.Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Прямая линия проходит через две точки: M1 x1,y1 и M2 x2,y2 .

11

Так как прямая линия проходит через

y

точку M1 x1,y1 , то ее координаты удовлетво-

ряют уравнению, т.е. y y1

k x x1 .

M2 x2,y2

Координаты точки M

2

x ,y

также

2

2

M1 x1,y1

удовлетворяют уравнению прямой, т.е.

o

x

y2 y1 k x2 x1 .

Разделим одно уравнение на другое:

: y y1 k x x1 ,

получим

y y1 x x1 .

y

2

y k x

2

x

,

y2 y1

x2 x1

1

1

7. Уравнение прямой линии в отрезках.

y

Пусть прямая линия отсекает на осях

M2 0,b

отрезки: на оси OX отрезокa, на оси

b

OY отрезок b. Тогда точкиM1 и M2 имеют

координаты:M1 a,0 и M2 0,b .

M

a,0

Воспользуемся уравнением прямой,

1

x a y 0

o

a

x

проходящей через две точки,

,

0 a

b 0

Рис.14

b x a ay,

bx ay ab :ab,

x

y

1.

b

a

8. Канонические уравнения прямой линии.

y

m,n

Пусть прямая линия задана точкой

M0 x0,y0 и направляющим вектором m,n

M0 x0,y0

M x,y

(рис.15), M x,y текущая точка этой прямой.

o

x

Векторы и M0M коллинеарны, а их

Рис.15

координаты пропорциональны, т.е.

x x0

y y0

каноническое уравнение прямой линии или уравнение пря-

m

мой, проходящей через точку, параллельно данному вектору.

n

9.

Параметрические уравнения прямой линии.

12

Пусть прямая линия задана каноническим уравнением x x0										y y0 t ,
x x									m	n
						x m t x ,
	0 t,		x x mt,
	m						0	где t параметр,
тогда				0
y y0		t,	y y0 nt;			y n t y0;
	n
m,n координаты направляющего вектора, x0,y0 координаты точки, через
которую проходит прямая.
10. Полярное уравнение прямой линии.
		L				Положение прямой можно
	N				определить, зная расстояние p от
					полюса Oдо данной прямой и угол
p
			M r,		между полярной осью OP и осью OL,
		r
					проходящей через полюс O перпенди-
					кулярно данной прямой (рис.16).
O
		Рис.16			P	Расстояние pиз			OMN равно:
p npOLOM OM cos rcos rcos ,									p r cos .
11. Нормальное уравнение прямой линии.
y					Пусть прямая линия задана полярным
				уравнением p r cos .
					Из этого уравнения r cos p 0,
p				r cos cos sin sin p 0. Так как
				rcos x,		rsin y,	то xcos ysin p 0.
o				x	Приведем общее уравнение прямой линии к
	Рис.17
				нормальному виду.
Умножим все члены уравнения Ax By C 0, на множитель . Получим,
				A cos ,			cos2 ,
Ax By C 0.						2A2
			Положим B sin ,			+
						2B2	sin2 ;
				C p;
						2A2 2B2 1,
2 A2	B2 1			1	, называется нормирующим множите-
				A2 B2
лем. Так как		C p, то знак нормирующего множителя противоположен
					13

знаку свободного члена.

Например. Привести уравнение прямой линии4x 3y 10 0 к нормальному виду.

Решение. Найдем нормирующий множитель .

							1									2				1	(перед корнем взят знак «минус», т.к.
	42 3 2															25		5
свободный член C 10имеет знак» плюс»). Умножим обе части уравнения
на множитель													1			и получим уравнение						4	x	3	y 2 0. Таким образом,
									5												5		5
cos							4	,	sin			3			, а расстояние от начала координат до прямой линии
							5
									5
равно			2				2.

2.3.Прямая линия на плоскости. Основные задачи

1.Угол между двумя прямыми линиями.

y

2

1

Угол 2

является внешним углом

треугольника на рис.18,

следовательно,

2 1

,

2 1,

tg tg 2 1

, tg

tg 2 tg 1

,

1

a2

1 tgt 1g 2

tg k , tg k , tg

k

2

k

o

x

1

.

1

1

2

2

1 k1k2

Рис.18

Если требуется определить острый

угол между прямыми линиями, то не учитывается, какая прямая берется

первой, а какая второй и tg

k2 k1

.

1 k1k2

2.

Расстояние от точки до прямой линии.

y

M0

Пусть прямая линия задана уравнением

Ax By C 0,

d

A,B

M0 x0,y0 произвольная точка плоскости,

M1

n

M1 x1,y1 произвольная точка прямой ,

o

x

d расстояние от точки M0

до прямой .

Тогда:

Рис.19

14

x0 x1

A y0

y1 B

Ax0 By0 Ax1

By1

d np

M1M0

n

M

M

n

1

0

n

A2 B2

A2 B2

ò.ê.M1 x1,y1 п рин адлеж ит п рям о й ,

Ax0

By0 C

Ax By

C

,

d

0

0

2

2

ò î Ax1 By1 C 0, ò.åÑ.

Ax1 By1

A2 B2

A B

3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраическое уравнение второго порядка с двумя текущими координатами x и y, Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0, где

A,B,C,D,E,F действительные числа и, по крайней мере, одно из чиселA,B или C отлично от нуля, определяет линию (кривую) второго порядка.

Можно доказать, что это уравнение определяет на плоскости или окружность, или эллипс, или гиперболу, или параболу, или пару пересекающихся прямых линий. Обратно, если задана одна из перечисленных линий, то она задается уравнением второго порядка.

3.1. Окружность.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

	y				M		y	R M x,y
	y
								M0
			R
	o x				x
							o	x
					Рис.20			Рис.21
	Пусть на плоскости задана						Пусть на плоскости задана
	окружность с центром в точке						окружность с центром в точке M0 a,b ,
	O 0,0 , радиуса R и точка M x,y						радиуса R и точка M x,y текущая
	текущая точка на окружности.						точка на окружности (рис.21).
	Тогда из треугольника на рис.20 по
							Каноническое уравнение окружности
	теореме Пифагора получим:
							имеет вид:
			x2 y2 R2					x a 2 y b 2 R2

3.2. Эллипс.

15

Определение. Эллипсом называется геометрической место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

							A1, B1, A2, B2 вершины эллипса,
		y				O 0,0 центр эллипса,
		B	M x,y			OA1 a большая полуось эллипса,
						OB1 b малая полуось эллипса,
		1
		r2	r1				F	c,o
A		o		A	x	1
	F		F								фокусы эллипса,
2				1			F2	c,0
	2		1
		B2				r		r
									фокальные радиусы эллипса,
						1,		2
							F1F2				2c фокальное расстояние.

3.3.Гипербола. Определение.

3.4.Парабола. Определение.

3.5.Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к каноническому виду.

Пусть в ДСК задана линия L своим общим уравнением второго

порядка: a11x2 2a12xy a22 y2 2a10x 2a20y a00 0.

Выполним поворот системы координат вокруг точки O на угол и

16

найдем уравнение линии L в системе координат XOY . Формулы

x x cos y sin ,

преобразования

подставим в общее уравнение линии и

y x sin y cos ;

получим: a11 x cos y sin 2

2a12 x cos y sin x sin y cos

a22 x sin y cos 2 2a10 x cos y sin 2a20 x sin y cos a00

0

2

2

и

Раскрывая скобки, группируя слагаемые, относительно x

, xy , y

,x , y

2

2

2

a11 cos

2a1

cos sin a22 sin

,

делая замену a11

a11 cos sin a12 sin

2

a12 cos

2

a22 sin cos ,

a12

a11 sin

2

2a12 cos sin a22 cos

2

,

a22

a10 a10 cos a20 sin , a20 a10 sin a20 cos ,

a00 a00, где a12 a21,

получим: a11x 2 2a12xy a22y 2 2a10x 2a20y a00 0.

Если a12 0, то найдем угол , удовлетворяющий условию: a12 sin a11 cos a12 sin cos a12 cos a22 sin 0,

sin a11 cos a12 sin cos a21 cos a22 sin . Это возможно, если множители отличаются на множитель 0,где действительное число.

a	cos a	sin cos ,		cos a			a	sin 0,
			1		11		12
Поэтому 11	12						sin 0.
a21 cos a22 sin sin ,				a21 cos a22

Система имеет единственное решение, если определитель системы равен нулю, т.е.

a11	a12	0. Это уравнение называется характеристическим
a21	a22

уравнением линии второго порядка.

Найдем корни характеристического уравнения:

a11 a22 a21 a12 0, a11a22 a11 a22 2 a21 a12 0,

2 a11 a22 a11a22 a21a12 0,

D a11 a22 2 4 a11a22 a21a12 a112 2a11a22 a222 4a11a22 4a21a12

a	a		2 4a2	0.	Корни и		всегда действительные числа и
11	22		12		1	2		1	2
при a12 0. Тогда из первого уравнения системы								1

получим:a11 a12tg , tg 1 1 a11 , tg 2 2 a11 . По теореме Виета

a12 a12

17

																a								a				,			tg 1 tg 2									1,
получим:								1							2						11					22				,
															a a									22	a2
								1							2			11										12
tg		tg								a																				a2
	1					2					1 2							11						1				2				11		1,								2					1					.
																							a2																											2
																								12
																																																																	таком,
		Найдем уравнение линии Lв ортонормированном базисе i																																																											, j
									cos									i			sin								j,
					i
		что															1										1				удовлетворяют системе уравнений																																		1	при
					j cos 2i																		sin 2 j;
		условии, что 1, 2, где 1																																				и 2				корни характеристического
		уравнения. Найдем коэффициенты:
			a												cos									a					sin																					sin					a			cos
					a																														cos							a																							sin
				11							11												1			12							1								1						12							1			22						1				1
																					1 cos 1																																	1 sin 1
			cos2								1	sin2 .
				1											1									1					1
			a											cos a																														cos a
					a																					sin sin a																											sin cos
			12								11							1							12						1					1					12								1	22					1						1
																		1cos 1																															1sin 1
			1 cos 1 sin 1 1 sin 1 cos 1																																	0.																														2.
																																									Аналогично получим, что a22
															2									2																						0.
Тогда имеем: 1x																	2 y									2a10x							2a20 y								a00
		Сгруппируем слагаемые с x																																	и	y		, выделим в скобках полные квадраты,
и получим:
																		2																															2								2		a		2
		2														a10																2													a20											a10					20
																																																																0.
1 x				2a10x																				2						y			2a20 y												2					a00							2				2
																	1																																							1			2

Совершим параллельный перенос системы координат по формулам:

						a10		,
x	X																				2						2
					1
										и, обозначив, a					a					10						20		,
					a															12					22
													00			00
y Y					20				;
						2
получим: 1X			2	2Y					2		0	или	X2					Y2						1.
										a00
														a10					a20
															1				2

Исследуем полученное уравнение.

18

№					Знаки										Канонические																						Названия линий
												a						уравнения
			1					2					00
1.		1)	+				+								2					2																Эллипс
													+					x							y					1
																		2							2
																		a							b
		2)	+				+						+		2					2																Мнимый эллипс
																x						y							1
																2						2
																a						b
		3)	+				+						0		2					2																Точка (пара мнимых
													0					x						y						0						пересекающихся
																		2					2
																	a							b												прямых)
		4)	+									0			2					2																Гипербола
							+									x					y								1
																2					2
																a						b
		5)	+										0		2					2																Пара пересекающихся
							+						0					x						y						0						прямых
																		2						2
																	a							b
2.			Если		1		0,				2	0,a		10	0, то уравнение можно привести к виду
		Y2	2	a10			X уравнение параболы симметричной относительно оси
				2
		OX .
			Если					0, 0,a							0, тоX2 2																	a20		Y уравнение параболы
							2					1		20																		1
		симметричной относительно оси OY .
3.			Если 0, a											то в этом случае Y																			2		a			a
													0,																						00		0. Если	00	0, то
			1					10																											2			2
		обозначив					a00			a2 , получим,										Y2 a2 0,														следовательно, Y a 0
							2
		или Y a 0. Линия распадается на пару различных параллельных
		прямых.
			Если же						a00		0, то обозначив															a00					a2 , получим: Y2 a2 0. Линия
									2																	2
		распадается на пару мнимых параллельных прямых.
			Если a					0,				тоY2 0,Y 0. В этом случае говорят, что линия
			00
		представляет собой пару совпадающих прямых.
3.		УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть в пространстве задана ДСК и некоторая поверхностьS . Определение. Уравнение с тремя текущими координатами F x,y,z 0

называется уравнением поверхности S относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты x,y,z любой

19

точки поверхности и не удовлетворяют координаты всех точек, не лежащих на поверхности S , M x,y,z называют текущей точкой, а x,y,z текущими координатами точки на поверхностиS .

Замечание. Уравнение F x,y,z 0 может не определять поверхность.

Так, уравнение x2 y2 z2 0 определяет только одну точкуO 0,0,0 , а

уравнениеx2 y2	z2 1 0 не определяет никакого реального объекта.
Линию L в пространстве можно рассматривать как пересечение двух
поверхностей S2	и S1. Если F1 x,y,z 0			и F2 x,y,z 0 уравнения этих
	F		x,y,z 0,
		1		определяет линию пересечения
поверхностей, то система		F	x,y,z 0;
		2

этих поверхностей, т.е. линиюL.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения, тогда ее задают векторным уравнением r r t или параметрическими

x x t ,

уравнениями y y t , проекциями вектора r на оси.

z z t ,

4.1. Уравнения плоскости в пространстве (поверхность первого порядка)

1. Векторное уравнение плоскости.

y

M0

r0 r

o

Рис.25

В ДСК задана плоскость точки

n

A,B,C

M0 x0,y0,z0 и M x,y,z ,

n

A,B,C

вектор нормали.

M

Проведем

r0

и

r

радиусвекторы

точек M0 и M , тогда

.

x

M0M

r

r0

Вектор n M0M и M0M n 0.

Получим:		r		r	,	n	0	векторное уравнение плоскости.
	0

2.Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору.

							Пусть задан вектор	n	A,B,C
k						n
							перпендикулярный плоскости и точка
							M0 x0,y0,z0 , лежащая на плоскости ,
				j
i					M		точка M x,y,z текущая точка

M0

20