МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»
Н.И. Николаева
Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Конспект лекций Часть 2
Омск-2008
УДК
ББК
Рецензенты: Ю.Ф.Стругов, д-р физ.-мат. наук;
С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент
Николаева Н.И.
Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Конспект лекций. Часть 2 / Н.И. Нико-
лаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. – 68 с.
Пособие представляет собой конспект лекций, читаемых автором на первом курсе технического университета, и предназначено для студентов всех форм обучения. В нем подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики. Часть 2 включает в себя две главы: «Введение в математический анализ» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета
С |
Н.И.Николаева, 2008 |
С |
Омский государственный |
|
технический университет, 2008 |
2
Оглавление
Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ………………………… |
4 |
Числовые последовательности…………………………………………….. |
5 |
Свойства бесконечно малых последовательностей………………………. |
7 |
Сходящиеся последовательности и их свойства………………………….. |
8 |
Предельный переход в неравенствах……………………………………… |
11 |
Монотонные последовательности…………………………………………. |
12 |
Предел функции…………………………………………………………….. |
13 |
Односторонние пределы…………………………………………………… |
16 |
Сравнение бесконечно малых……………………………………………… |
18 |
Первый замечательный предел…………………………………………….. |
20 |
Непрерывные функции……………………………………………………... |
22 |
Классификация точек разрыва……………………………………………... |
24 |
Свойства непрерывных функций………………………………………….. |
26 |
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОД- |
|
НОЙ ФУНКЦИИ. ЕЕ ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ |
|
СМЫСЛ……………………………………………………………………… |
33 |
Задачи о вычислении мгновенной скорости……………………………… |
33 |
Задача о проведении касательной к графику функции…………………... |
34 |
Односторонние производные……………………………………………… |
37 |
Понятие дифференцируемости. Дифференциал функции……………….. |
38 |
Дифференцирование сложной функции…………………………………... |
40 |
Дифференцирование обратной функции………………………………….. |
40 |
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного……… |
41 |
Таблица производных………………………………………………………. |
42 |
Инвариантность формы первого дифференциала………………………... |
45 |
Дифференцирование функции, заданной параметрически………………. |
46 |
Основные теоремы дифференциального исчисления……………………. |
48 |
Исследование функции и построение ее графика………………………... |
53 |
Асимптоты графика функции……………………………………………… |
58 |
Общая схема исследования функции и построение ее графика…………. |
62 |
Библиографический список………………………………………………... |
65 |
3
Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Предметом изучения раздела математики, который называется математическим анализом, являются переменные величины, то есть функции.
Будем считать, что X и Y – некоторые множества действительных чисел. Каждое действительное число можно, как известно, изобразить точкой на числовой прямой. Отдельные числа, входящие в состав множества X , будем называть его элементами. Если рассматриваемое множество содержит хотя бы один элемент, оно называется непустым. В противном случае – пустым.
Рассмотрим наиболее употребимые частные виды множеств действительных чисел:
1. a x b, a b – отрезок a,b ; a и b – концы отрезка; все x, удовле-
творяющие неравенству a x b – его внутренние точки;
2.a x b, a b – интервал (a,b); a и b – концы интервала;
3.любой интервал, содержащий точку a, будем называть ее окрестно-
стью;
4. a ,a , 0 – – окрестность точки a;
5.a x b, a x b – полуотрезки a,b), (a,b ;
6., – множество всех действительных чисел или всех точек чи-
словой прямой;
7.x a, x b – полупрямые a, ) и ( ,b ;
8.x a, x b – открытые полупрямые a, , ,b .
Множество Х всех значений, которые может принимать переменная величина x, называется областью ее изменения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть заданы две переменные величины x и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией переменной x, если каждому значению x из множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение y Y . Такие функции называются однозначными.
Чтобы задать функцию, надо
1)задать множество Х,
2)определить правило установления соответствия между x и y.
Способы задания функции:
1) аналитический (с помощью формул)
4
ПРИМЕР. а) y x2, |
x R, |
y 0. |
б) y log2 x, |
x 0, |
y R. |
x, |
x 0 |
, x R, y 0. |
|
|
|
в) y |
, x 0 |
|
|
||
x2 |
|
|
|
|
2) табличный
ПРИМЕРОМ табличного задания функции является расписание. 3) графический.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,…ставится в соответствие по некоторому правилу действительное число x(n) xn , то множество занумерованных действительных чисел xn на-
зывается числовой последовательностью.
Таким образом, последовательность – функция натурального аргумента, xn называется общим или n-м членом последовательности. Зная общий член xn , можно найти любой член последовательности.
ПРИМЕР. xn n2 x3 9, x10 100,...
yn ( 1)n y1 1, y2 1, y3 1,...
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность xn называется ограниченной |
|||||||||
сверху (снизу), если M R (m R) |
n N xn M (xn |
m). M называется |
|||||||
верхней гранью, а m нижней гранью последовательности. |
|
||||||||
ПРИМЕРЫ. а) x |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
= |
|
. |
|
1 или |
|
2 |
|
ограничена сверху: |
|
n2 |
n2 |
n2 |
|
||||||
n |
|
|
|
n2 |
|
M |
|
1, M |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
2,... |
|
0 |
или |
|
1 |
|
|
ограничена снизу: |
||
n2 |
n2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
m1 0, m2 1,...
б) yn ( 1)nn2 – сверху неограничена и снизу неограничена.
в)zn n2 1. n2 1 0 или n2 1 1 n2 1 ограничена снизу:
m1 0, m2 1,... Сверху zn неограничена.
Если последовательность имеет верхнюю или нижнюю грани, то они неединственны.
5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность xn называется ограниченной,
если она ограничена сверху и снизу, то есть M,m R n N m xn M.
ПРИМЕР. x |
ограничена, так как |
0 |
1 |
1 или 1 |
1 |
1. |
|
n2 |
n2 |
||||||
n |
|
|
|
|
Сформулируем еще одно эквивалентное этому определение ограниченной последовательности, которым, как правило, более удобно пользоваться.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность xn называется ограниченной,
если A 0 n N xn A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. xn называется неограниченной, если для любого положительного A найдется хотя бы один элемент xn такой, что xn A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. xn называется бесконечно большой, если
A 0 n0 N n n0 xn A.
ПРИМЕРЫ. а) zn n2 1: 2,5,10,17,26,…1001,… – неограниченная и бесконечно большая.
б) un (1 ( 1)n)n2 : 0,8,0,32,0,72,… – неограниченная, но не бесконечно большая.
Всякая бесконечно большая последовательность неограничена. Обратное утверждение неверно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.), если 0 n0 N n n0 n .
ПРИМЕР. |
|
|
1 |
. |
Если 2, то |
1 |
2 |
n N. |
|||||||||||||
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
Если 0,01, |
то |
1 |
|
|
1 |
n 100 n |
100. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
100 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если 0,001, то |
1 |
|
1 |
n 1000 |
n 1000. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть 0 произвольно, |
тогда |
1 |
|
n |
1 |
. Таким образом, n бес- |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
конечно мала.
6
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Если |
n , |
n две последовательности, то n |
n |
называется их |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
суммой, n |
n |
разностью, n n |
произведением, а |
n |
, n |
0 частным. |
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|||
ТЕОРЕМА 1. Сумма двух б.м. последовательностей бесконечно мала. |
|||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть |
n б.м. По определению это значит, |
что 1 0 n1 N n n1 n 1.
|
|
|
Пусть n |
|
б.м. По определению 2 0 |
|
n2 N n n2 |
|
n |
2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Надо доказать, что |
|
|
0 n0 N n n0 |
|
n n |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Зададим произвольное |
|
0. Тогда для |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n n , |
для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n n . Пусть n |
max n ,n , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
, что и требовалось доказать. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 2. Разность двух б.м. последовательностей бесконечно мала. Доказать самостоятельно, используя неравенство n n n n .
ТЕОРЕМА 3. Произведение б.м. последовательности и ограниченной бесконечно мало.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть n |
б.м., а xn ограничена .Тогда по оп- |
||||||||||||||||||||||||
ределению 1 0 n0 N n n0 |
|
n |
|
|
1 |
и A 0 n N |
|
xn |
|
A. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Надо доказать, что |
0 n0 N |
n n0 |
|
nxn |
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
Зададим произвольное 0. |
Тогда для |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n n . Поэтому |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n0 nxn n xn A A . Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть n б.м. Тогда по определению
0 n0 N n n0 n .
Положим A max x1,x2,...,xn0 , . Тогда n N n A.
7
|
|
|
СЛЕДСТВИЕ. Если n и n |
|
б.м., то n n также б.м. : n по |
|||||||||||
теореме 4 ограничена, тогда по теореме 3 n n |
б.м. |
|||||||||||||||
|
|
|
ПРИМЕР. |
|
|
1 |
– б.м. Тогда |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
также б.м. И вообще |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
n |
n |
|
n2 |
|
n |
|
n |
||
|
|
|
, k N – б.м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. xn |
называется сходящейся, |
если x R xn x – |
|||||||||||||
б.м. Число x в |
этом случае |
называется |
|
пределом |
последовательности: |
||||||||||
x limxn . Кроме того, предел можно обозначать так: |
xn x |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР. |
x |
= |
2n 1 |
. Пусть x 2. x |
|
x |
2n 1 |
|
2 |
1 |
– б.м. Значит, |
||||
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|||
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||||
по определению x |
сходится к 2: lim |
2. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число x называется пределом xn , если
0 n0 N n n0 xn x . Последовательность, имеющая предел,
называется сходящейся.
Интервал (x ,x ) называется -окрестностью точки x.
Из определения 2 следует, что n n0 |
x xn x , то есть |
xn (x ,x ). |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. xn называется |
сходящейся, если x R такое, что |
в любой его -окрестности 0 содержатся все члены последовательности,
начиная с некоторого.
Очевидно, определения 1, 2, 3 сходящейся последовательности эквивалентны.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Всякую бесконечно большую последовательность yn
будем трактовать как сходящуюся к бесконечности, именно: если yn 0, то
limy |
n |
, а если |
n n |
y |
n |
0, то limy |
n |
. |
n |
|
0 |
|
n |
|
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Из определения 3 следует, что отбрасывание любого конечного числа членов xn не изменяет факта ее сходимости и величину ее предела.
8
ЗАМЕЧЕНИЕ 3. Из определения 3 следует, что если xn сходится, то
имеет единственный предел. Действительно, пусть x limxn, x limxn и x x.
n n
Рассмотрим непересекающиеся окрестности точек x и x. Все члены xn
не могут находиться одновременно в них обеих, следовательно, x=x.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
|
|
ПРИМЕР. |
xn |
sin |
n |
: |
|
1,0,-1,0,1,0,… Очевидно (определение 3), что |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
x |
|
расходится, то есть limsin |
не существует. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ПРИМЕР. |
|
|
1 |
– б.м. |
Очевидно (определение 1), что lim |
|
lim |
1 |
0: |
|||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
n n |
|
n n 0 – б.м.
Таким образом, если n произвольная б.м., то lim n 0.
n
ТЕОРЕМА 5. Если xn сходится, то xn ограничена.
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
По определению 1 |
x R |
xn x n, |
n – |
||||||||
б.м. Тогда xn x n. |
По теореме 4 n ограничена, то |
есть |
|||||||||||||
|
n |
|
A |
|
x n |
|
|
|
x |
|
A n N xn ограничена, |
что и требовалось дока- |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
зать. |
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. По теореме 5 всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная последова-
тельность сходится.
ПРИМЕР. x |
n |
sin |
n |
|
расходится, но |
|
x |
|
|
|
sin |
n |
|
1 n N , то есть |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|||
xn ограничена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y. Тогда x |
y сходится и |
|||||||||||
ТЕОРЕМА 6. Пусть limx |
x, lim y |
n |
|||||||||||||||||
lim(x |
y |
) x y. |
|
|
n n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
По определению 1 xn x n, yn y n, где |
||||||||||||||||||
n , n |
– б.м. Тогда (xn yn) (x y) (x n y n ) (x y) n n – |
||||||||||||||||||
б.м. по теореме 1. По определению 1 lim(x |
y |
) x y. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
9
ТЕОРЕМА 7. Пусть limxn x, lim yn y. Тогда xn yn сходится и
n n
lim(xn yn) x y.
n
Доказать самостоятельно, используя определение 1 и теорему 2.
|
ТЕОРЕМА 8. Пусть limx |
x, lim y |
n |
y. Тогда x |
y |
сходится и |
|||
|
|
|
n n |
n |
|
n |
n |
|
|
lim(x |
y |
) x y. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 |
xn x n, |
yn y n, где |
n , n – б.м. Тогда xn yn xy (x n)(y n) (xy) x n y n n n – б.м.
по теоремам 3,4,1. Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 9. Пусть limxn |
x, lim yn y, y 0. |
x |
|
|||||
Тогда |
n |
определена, |
||||||
|
||||||||
n |
n |
|
|
|
yn |
|||
|
|
xn |
|
x |
|
|||
начиная с некоторого номера, сходится и lim |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
n yn |
|
y |
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как y 0, то выберем -окрестность точки y, не содержащую 0. По определению 3 в выбранной -окрестности содержатся все yn , начиная с некоторого n0. Значит, yn 0 n n0. Отбросим все yn
при n n0 (на факт сходимости и величину предела yn это не повлияет ).
|
|
|
По определению 1 xn x n, yn |
y n, где n , n |
– б.м. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xn |
|
x |
|
x n |
|
|
x |
|
y n x n |
|
– б.м. по теоремам 2,3,5. Отсюда lim |
xn |
|
x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yn y y n |
|
|
y |
y(y n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n yn |
|
y |
|||||||||||||||||
|
|
|
ПРИМЕРЫ. а) Найти |
|
lim |
2n 3 |
. |
|
|
Так как lim(2n 3) lim(3n 7) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n 7 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||||||||||||
то теорему 9 |
применить нельзя. Предел, говорят в этом случае, представляет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
собой неопределенность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или раскрыть не- |
|||||||||||||||||||||||
вида |
|
|
|
. Чтобы вычислить его, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определенность, преобразуем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
выражение, |
|
разделив числитель и |
знамена- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тель на n: lim |
=lim |
|
n |
|
|
. Ответ получен с помощью теорем 6,7,8,9 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 3n 7 |
n |
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уже доказанного факта: lim |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2n2 5n 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 95 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
|
|
|
10