Диплом. Крутиков А.Е

2 ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

2.1 Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня

При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии так называемая упругая ось1 стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось x: и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению,

пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости («плоскость колебаний»)

и являются «малыми» отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных — координаты x и времени t:

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.

Обозначим через μ(х) массу единицы длины стержня ( Г/м), через EJ—

жесткость на прогиб [Е (Па) — модуль упругости, J (м4) - момент инерции

1 Упругая ось стержня — это геометрическое место точек («центров жесткости»), к которым должны быть приложены внешние силы, чтобы вызвать изгиб стержня без кручения. Если упругая ось не. совпадает с линией центров тяжести, то, как известно, стержень, Изгибаясь, будет закручиваться.

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	31
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

поперечного сечения стержня относительно центральной оси сечения,

перпендикулярной к плоскости колебаний], Jв ( Г∙м2 ) — момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через f(x,t), а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью Р(x,t). ЭТИ нагрузки могут зависеть не только от положения элементов стержня, но и от времени.

Кинетическая, энергия колеблющегося стержня складывается из Кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня

(2.1)

икинетической энергии вращений элементов стержня вокруг осей,

перпендикулярных к плоскости колебаний,

(2.2)

Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстана-

вливающих упругих сил)

П				(2.3)

б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки f(x, t)

П			(2.4)

в) и, наконец, потенциальной энергии растяжения от продольной силы

Р(x,t)

П				(2.5)

Функционал S Остроградского-Гамильтона имеет здесь вид

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	32
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

(2.6)

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала S уравнение Эйлера

(2.7)

Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости

ираспределения массы.

Встержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (2.7) последний член.

Положив f(x,t)=0 и (х,t)=0, мы рассмотрим сначала свободные колебания однородного стержня с постоянными жесткостью EJ и погонной массой μ. Для таких колебаний уравнение (2.7) будет иметь вид

(2.8)

где с

2.2 Краевые и начальные условия

В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями:

а) конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила, следовательно,

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	33
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

б) конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е.

в) в) конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в

этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т. е.

Краевые условия, ограничивающие свободу перемещений концов Стержня, называются геомет чес м ус ов ям . Таковы, например,

условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т, е. условия

Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, например, условия, выражающиеся равенствами

мы будем называть д нам чес м ус ов ям .

В других случаях условия закрепления концов стержня выражаются более сложным образом. Например, при упругом закреплении конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления, упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот,

жесткого для поперечных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упругими закреплениями приходится встречаться при расчете на колебания турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий,

выражающихся уравнениями, линейными относительно величин

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	34
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

Начальные условия выражаются соотношениями

имеющими место в момент t=0, где (х) и v(x)—некоторые заданные функции переменной x, определяющие начальное распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных его элементов.

2.3 Собственные формы колебаний стержня и функции, их

определяющие

Простейшим периодическим решением уравнения свободных колебаний стержня

(2.9)

является так называемое г авное о ебан е, в котором у(x,t) изменяется с течением времени по гармоническому закону

(2.10)

Функция φ(х), устанавливающая закон распределения максимальных

(амплитудных) отклонений точек оси стержня от равновесного расположения,

называется фо мой г авного о ебан я или собственной фо мой.

Собственных форм колебаний прямого стержня бесконечное множество. Каждой собственной форме соответствует определенное значение частоты p — так называемая собственная частота. Отбор собственных частот и соответствующих им собственных форм осуществляется с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи.

Чтобы получить уравнение собственных форм однородной задачи,

подставим (7.10) в (7.9). После сокращения на		будем иметь

или

(2.11)

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	35
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

где

(2.12)

Уравнение (7.11) имеет следующие четыре независимых частных решения:

его общий интеграл

(2.13)

Он содержит четыре произвольные постоянные А, В, С, D, которые должны быть подобраны так, чтобы для функции φ(x) выполнялись краевые условия, т. е. условия закрепления концов стержня. В обычных случаях, число краевых условий равно числу произвольных постоянных— по два на каждом конце. Все они выражаются равенствами нулю двух из следующих четырех величин:

пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота, изгибающему моменту и перерезывающей силе в точках x=0 или x=l. Выполняя эти условия,

мы получим четыре однородных уравнения, из которых найдутся отношения постоянных А, В, С, D и уравнение для определения собственных частот системы.

Во многих отношениях более удобной оказывается следующая система частных решений уравнения (2.11):

(2.14)

Функции S, T, U, V называются фун ц ям A. H. К ы ова.

Найдем значения этих функций и их производных по аргументу kx до третьего порядка включительно при x=0:

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	36
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

(2.15)

Определитель, составленный из этих величин, равен единице. Поэтому функции Крылова называют иногда фун ц ям с ед н чной мат цей, а

систему (2.14) — но ма ьной или фундамента ьной с стемой интегралов уравнений (2.11).

Приведем выражения последовательных производных по x от функций

S(x), Т(x),U(x), V(x) до четвертого порядка включительно.

(2.16)

Одним из преимуществ функций Крылова является то, что с помощью этих функций можно сразу написать выражение общего интеграла уравнения

(2.11), удовлетворяющего условиям на конце x=0 и содержащего только две постоянные, которые определяются изусловий на другом конце x=l.

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	37
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

3 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

3.1 Колебания трубопровода, шарнирно опертого по концам

Расчетная схема трубопровода, шарнирно опертого по концам,

изображена на рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Расчетная схема трубопровода, шарнирно опертого по концам.

Граничными условиями для данного вида закрепления буду т являться условия, когда прогиб и изгибающий момент на обоих концах трубы будут равны 0.

(3.1)

(3.2)

Как видно из (2.15), данным условиям удовлетвор яют функции T

и V. Следовательно, общий интеграл собственных форм колебаний

(2.13) примет вид

Постоянные B и D найдутся из условия на правом конце ( x=l).

(3.3)

(3.4)

Так как уравнения (3.3) и (3.4 ) равны, то приравняем их левые

части

(3.5)

Выразим из уравнения (3.3) постоянную В

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	38
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

и подставим в уравнение (3.5 )

Левая часть уравнения будет равна 0.

Разделим на k2 D

Распишем функции Крылова T и V согласно (2.14).

(3.6)

Решением уравнения (3.6) будет являться случай, когда один из множителей будет равен 0.

тогда

(3.7)

Корень kl=0 нас не интересует, так как собственная частота по уравнению (2.12) будет равна 0, т.е. колебания будут отсутствовать.

Подставив значение k из формулы (3.7) определим собственную частоту колебаний

где i – волновое число, определяющее номер собственной формы колебаний (i=1,2,3…).

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	39
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата

Для примера расчета возьмем трубопровод диаметром D=820мм,

толщиной стенки δ=10мм и длиной l=50м.

Внутренний диаметр трубы будет рав ен

мм

где Е=2.1∙101 1 Па (для стали).

Момент инерции поперечного сечения трубы, относительно оси,

перпендикулярной к плоскости колебаний, вычисляется по формуле

м

Масса единицы длины стержня вычисляется по формуле

(3.8)

где S – площадь поперечного сечения трубы, вычисляемая по формуле

(3.9)

1 – погонная длина трубы l=1м,

ρ=7850 кГ/м3 – плотность стали.

Преобразуем формулу (3.8), заменив значение площади формулой (3.9)

Г

м

Вычислим собственные частоты первых трёх форм колебани й.

Гц

Гц

Лист

			БР 2068998.37.06.00.00.000ПЗ	40
Изм. Лист	№ докум.	Подпись Дата