Типовой Веснина, Кац

2.60. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий первого сорта – 1,

второго сорта - 2, третьего сорта - 3, четвертого сорта - 4. Для контроля наудачу берут 7 изделий. Определить вероятность того, что среди них одно изделие первосортное, одно - второго сорта, два - третьего и три - четвертого сорта.

Задача № 3.

3.1.Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама, король).

3.2.В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

3.3.Изделия изготавливаются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке - 0,04, на втором - 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на каждом станке, ни одного не будет бракованного.

3.4.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырех попаданий при четырех выстрелах.

3.5.Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя.

3.6.Из полной колоды (52 карты) вынимают одновременно три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта красной масти.

3.7.У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1 и 4 детали -

заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

21

3.8.Испытуемому предлагается два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны: 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решен (тесты решаются независимо друг от друга).

3.9.Происходит бой между двумя участниками А и В. У стороны А в запасе два выстрела, у стороны В - один. Начинает стрельбу А: он делает по В один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2. Если В не поражен, он отвечает противнику выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то он делает по В свой последний выстрел и поражает его с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен участник А,

участник В?

3.10. Радист трижды вызывает корреспондента, причем последующий вызов производится при условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того,

что будет принят первый вызов, равна 0,3; второй 0,4 и третий 0,5.Определить вероятность вызова корреспондента.

3.11. В ящике лежат 10 заклепок, отличающихся друг от друга только материалом: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наугад берутся две заклепки.

Какова вероятность того, что они будут из одного материала.

3.12.В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

3.13.Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

3.14.В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

3.15.На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3

женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене окажется не менее двух мужчин.

22

3.16.Два лица поочередно бросают монету, выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого лица.

3.17.Группа состоит из двух стрелков. Определить вероятность попадания в цель каждым стрелком, если известно, что вероятность совместного попадания в цель при условии, что каждый сделает, независимо друг от друга, по одному выстрелу, равна 0,56, а вероятность совместного промаха 0,06.

3.18.Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта.

Рассматриваются события: А - появление туза, В - появление карты красной масти.

Зависимы или независимы эти события?

3.19. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников,

причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

3.20. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга элементов. Вероятность безотказной работы первого элемента равна 0,85, второго - 0,72. Определить вероятность безотказной работы прибора.

3.21.Из последовательности чисел 1...20 выбирают наудачу три различных числа. Какова вероятность, что среди выбранных чисел есть хотя бы одно, кратное заданному числу 3 ?

3.22.Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,3, вероятность попадания в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Для поражения достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при двух выстрелах?

3.23.Найти наименьшее число монет, которое необходимо бросить, чтобы вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб, превосходила 0,999.

3.24.Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнований. Два брата входят в состав различных команд.

Найти вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях под одним и

тем же номером "5".

23

3.25. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что эти четыре карты будут разных мастей.

3.26. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условленное место,

соответственно равны P1 = 0,8, P2= 0,4, P3 = 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

3.27. В механизм входит три одинаковые детали. Работа механизма нарушается,

если при его сборке будут поставлены все детали с размерами больше обозначенного на чертеже. У сборщика осталось 12 деталей, из которых 5

больших размеров. Найти вероятность нормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.

3.28. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?

3.29. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6.

Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

3.30.В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут одного цвета.

3.31.Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, рав-

на 0,5, второй - 0,7, третьей - 0,4. Определить вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки.

3.32. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимание первый станок равна 0,7, второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены потребует внимания рабочего какие-либо два станка.

3.33. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42; 0,5; 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

24

3.34.Машина выходит из строя, если выходит из строя любая из трех независимых деталей. Если вероятности выхода из строя за год работы деталей А, В,

Сравны соответственно 1/3, 1/4, 1/5, то какова вероятность того, что машина выйдет из строя в течение года?

3.35.Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

3.36.При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного их трех последовательно соединенных элементов соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи.

3.37.В коробке лежат 30 электрических лампочек одинаковой величины, причем

12 из них рассчитаны на напряжение 220 В, а остальные – 120 В. Какова вероятность того, что из 4-х наудачу взятых одновременно электроламп все окажутся с напряжением 220 В или с напряжением 120 В.

3.38. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было бы ожидать, что среди них есть хотя бы одно изделие первого сорта?

3.39.Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу. Какова вероятность того, что эта дробь не сократима на пять?

3.40.Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик

содинаковой вероятностью 1/4 попадает в любую ячейку. Найти вероятность того,

что шарики попадут в соседние ячейки.

3.41. В электрическую цепь последовательно включены три элемента,

работающие независимо один от другого. Вероятности отказов 1, 2, 3 элементов соответственно равны P1 = 0,1; P2 = 0,15; P3 = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

25

3.42. Истребитель перехватывает и первым атакует бомбардировщик противника. Вероятность перехвата равна 0,7. В случае, если перехват состоялся,

бомбардировщик сбивается с вероятностью 0,6. Если перехват состоялся, но бомбардировщик не сбит, то ответным огнем он сбивает истребитель с вероятностью 0,3. Найти вероятность поражения бомбардировщика, истребителя.

3.43.Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Поверхности баков одинаковы. Чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.

3.44.Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека равна 0,99.

Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя бы один окажется неоплаченным.

3.45. Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе рав-

но 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут

дождливыми?

3.46. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

3.47. Электрическая цепь имеет два параллельно соединенных дублирующих друг друга элемента и один элемент, соединенный с ними последовательно.

Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени равна 0,8. Отказ каждого элемента не зависит от отказа других. Определить вероятность безотказной работы всей цепи.

3.48. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле 0.8, а

вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

26

3.49. Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,4. Бомбардировщик сбрасывает три бомбы. Какова вероятность того, что все бомбы попадут в цель; ни

одна не попадет в цель; по крайней мере одна попадет в цель?

3.50. На предприятии брак составляет в среднем 2 % от общего выпуска изделий. Среди годных изделий изделия первый сорт составляют 95 %. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта; если изделие взято из числа прошедших проверку; из общей массы изготовляемой продукции?

3.51. Вероятность того, что студент первого курса перейдет на второй, равна

0,9, а вероятность того, что студент первого курса окончит институт, равна 0,8.

Какова вероятность того, что студент второго курса окончит институт?

3.52. Дана система S, состоящая из двух независимых блоков a1 и a2. Система исправна тогда и только тогда, когда исправен хотя бы один из блоков: a1 или a2 .

Надежность каждого блока равна 0,8. Найти надежность системы.

3.53.Три исследователя независимо друг от друга производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

3.54.Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть принятой,

если она содержит 5 % неисправных деталей?

3.55. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы вывести из строя самолет,

достаточно поразить два двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна 0,6, второго двигателя - 0,75, кабины пилота -

0,5. Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

27

3.56. Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9, можно было бы утверждать, что среди

20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяет стандарту?

3.57.Вероятность того, что танк наедет на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк подорвется на мине, если 15 % мин имеют дефектные взрыватели?

3.58.В пакет сложены 20 одинаковых карточек, пронумерованных по порядку с номера 31 по 50 номер, и тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что при взятии наудачу двух карточек (последовательно) номер первой карточки окажется кратным числу 4, а номер второй карточки окажется кратным числу 7?

3.59.Производят кратковременные включения мощного блока питания.

Вероятность отказа в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты независимы и происходят последовательно до наступления отказа. Определить вероятность того,

что придется произвести четвертое включение?

3.60. Экспедиция газеты направила газеты в два почтовых отделения. Вероят-

ность своевременной доставки газет в каждое из почтовых отделений равна 0,9.

Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б)

оба почтовых отделения получат газеты с опозданием; в) одно отделение получит газеты вовремя, а второе - с опозданием.

Задача № 4.

4.1. В ящик, содержащий три детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей первоначально находившихся в ящике.

4.2. Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной,

остальные детали первого сорта. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали, если она оказалась первого сорта.

4.3. В первой коробке содержатся 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята

28

лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу

извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

4.4.Две из трех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй и третьей ламп соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3.

4.5.Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом

N1 и три коробки, изготовленных заводом N2. Вероятность того, что деталь завода

N1 стандартна, равна 0,9, а заводом N2 – 0,7. Из наудачу взятой коробки сборщик извлек деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

4.6. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров.

Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 черных шаров.

Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

4.7. В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью P кроме того, в автобусе с вероятностью P0 не входит ни один новый пассажир, с вероятностью 1-P0 входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров. (Предполагается, что более одного пассажира войти не может).

4.8. По линии связи передаются два сигнала A и B соответственно с вероятностями 0,84 и 0,16. Из-за помех 1/6 сигналов A искажается и принимается как B - сигналы, а 1/8 часть переданных B - сигналов принимается как A - сигналы.

Известно, что принят сигнал A. Какова вероятность, что он же и был передан?

4.9. Три торпедных катера атакуют авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7.

Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9,

двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность потопления корабля.

29

4.10. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в

мишень?

4.11. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,1 %

бракованных, со второго - 0,2 %, с третьего - 0,25 %, с четвертого - 0,5 %.

Производительности их относятся как 4 : 3 : 2 : 1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом; втором;

третьем; четвертом автоматах. Как проверить правильность вычислений?

4.12. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.

Вероятность выполнить квалификационную норму равна: у двух лыжников 0,9,

велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен,

названный наудачу, выполнит норму.

4.13. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали.

Первая линия дает 70 %, вторая - 20% и третья - 10% всей продукции. Вероятности

получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 0,02;

0,01; 0,05. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии.

4.14. Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно будет приставить

к первой.

4.15. Имеется 4 партии деталей. В первой партии – 3 % брака, во второй – 4 %,

в третьей и четвертой брака нет. Какова вероятность того, что взятая наудачу

деталь принадлежит первой партии, если она оказалась бракованной?

4.16. При разрыве снаряда	образуется 10 %	крупных осколков, 60 % средних
и 30 % мелких. Вероятность	пробивания брони крупным осколком равна 0,7,
средним - 0,2 и мелким - 0,05. Известно, что		в броню попал один осколок.
Определить вероятность того, что броня пробита.

30