Типовой Веснина, Кац

2 .

деления случайного вектора (X,Y). Вычислить основные характеристики случайного вектора: mx , my , Dx , Dy , kxy , rxy .

10.20. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений шестерки, Y - число появлений четной цифры. Описать закон распределения случайного вектора (X, Y). Описать условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 2 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание M X Y

10.21. Совместное распределение (X,Y) задано формулами:

P X 1, Y 1 P X 0, Y 1 P X 1, Y 1 16 , P X 1, Y 1 14 , P X 0, Y 1 P X 1, Y 1 18.

Найти одномерные распределения X,Y и распределения u X Y.

10.22. Совместное распределение X, Y задано формулами:

	P X 1, Y 1 P X 0, Y 1 P X 1, Y 1			1	,	P X 1, Y 1	1	,
				6			4
	P X 0, Y 1 P X 1, Y 1	1	.
		8

Найти совместное распределение случайных величин: u X Y, v XY.

10.23. Совместное распределение (X,Y) задано формулами

P X 1, Y 1 P X 0, Y 1 P X 1, Y 1					1			,
				6
P X 1, Y 1	1	, P X 0, Y 1 P X 1, Y 1		1		.
4				8
Найти mx , my , Dx , Dy , k xy .
10.24. Совместное распределение			случайных					величин определяется
формулами

P X 0, Y 1 P X 0, Y 1 P X 1, Y 0 P X 1, Y 0, 14 .

Найти mx , my , Dx , Dy , k xy . Являются ли X,Y независимыми величинами?

71

0 .

10.25. Случайные величины X1 , X2 ,X3 , X4 , X5 независимы; Dxi 2 . Найти:

а) коэффициент корреляции величин Х1+Х2, Х3+Х4+Х5; б) коэффициент корреляции

величин Х1+Х2+Х3, X3+X4+X5 .
10.26.Дана таблица, определяющая													закон				распределения системы двух
случайных величин (Х,Y):
	X Y					2			4			6
	1								3			0
	2					4			2			2
	3					5			2
Найти: а). , б). m		x	,	m		н	;	в).		2	,		2 ,		г)		r .
										x			y				xy
10.27. Система случайных величин (Х,Y) распределена по закону, выраженному
таблицей:
					Y			X	0				1
							-1		0,1			0,15
							0		0,15			0,25
							1		0,2			0,15

Описать условный закон распределения случайной величины Х, при условии Y = 0,

при этом же условии вычислить условное математическое ожидание M X Y

10.28. В таблице приведены данные о возможных сочетаниях отклонений длины валика (Х) и диаметра (Y) от номинальных размеров и соответствующие вероятности:

X	Y	-1	0	1
	-2	0,15	0,35	0,05
	3	0,10	0,25	0,10

72

Найти закон распределения случайной величины Z = X + Y и проверить справед-

ливость формулы M X Y MX MY.

10.29. Случайные величины X, Y независимы. По заданным законам распреде-

ления случайных величин X, Y найти закон распределения системы случайных

величин X, Y
	X	1	2	3		Y	4	6	8	10
	P	0,3	0,5	0,2		P	0,1	0,4	0,3	0,2

10.30. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: Х - число появлений шестерки, Y - число появлений нечетной цифры. Вычислить вероятности P X Y ; P X Y 2 .

Задача № 11.

11.1. Система случайных величин имеет равномерное распределение внутри квадрата со стороной a. Диагонали квадрата совпадают с осями координат.

Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X,Y);

б) плотность распределения вероятностей каждой из случайных величин, входящих

всистему.

11.2.Система трех случайных величин (X, Y, Z) распределена равномерно

внутри цилиндра, ось которого совпадает с осью OZ и точкой O делится пополам.

Радиус цилиндра равен R, а высота 2h. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X, Y, Z); б) плотность распределения каждой

из случайных величин, входящих в систему.

	11.3. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с
плотностью распределения вероятностей		f x, y a 2 x2 y2 , если						x2 y2		a 2
и	f x, y 0, если x2 y2 a 2 . Найти: 1) a ; 2) m		x	, m	y	; 3)дисперсии	2	,	2 ;
							x		y

4)коэффициент корреляции rxy .

11.4.Система двух случайных величин (X,Y) подчинена нормальному закону распределения. Рассеивание круговое. Найти вероятность попадания случайной

73

точки (X, Y) в круг, центр которого cовпадает с центром рассеивания, а радиус

равен двум вероятным отклонениям (Вероятное отклонение E	2 , где

= 0,476936).

11.5.Плотность совместного распределения вероятностей системы случайных

	величин X,Y имеет	вид: f (x)	hk	e h2x2 k2y2 , где	x , y .
	Определить параметры	распределения. Выяснить, зависимы или независимы

случайные величины X, Y.

11.6. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y:

f (x) A . Найти коэффициент A. Найти законы распределения

1 x 2 y2 x 2 y2

случайных величин X, Y. Установить, зависимы или нет случайные величины X, Y.

11.7. Система двух случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения

f (x)

A

с плотностью совместного распределения:

.

Определить

1 (x 2 y2 )2

коэффициент A и найти радиус круга с центром в начале координат, вероятность

попадания в который равна P.

11.8.

Система

случайных

величин (X,Y)

имеет плотность

совместного

распределения

( x 2)2

cosy,

y

f (x) a e

8

g(y) ,

где

2

. Найти

a. Написать

g(x)

0,

y

2

выражение плотностей распределения случайных величин X и Y. Определить математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y.

11.9. Производится единичное бомбометание по прямоугольной наземной цели. Ширина цели равна 20 м, а длина 100 м. Прицеливание по центру цели. Оси рассеивания совпадают с направлением полета и с перпендикуляром к этому

74

направлению. Вероятное отклонение в направлении полета равно 60 м, в

направлении, перпендикулярном полету – 40 м. Систематические ошибки отсут-

ствуют. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы. Указание:

Вероятное отклонение E 2 , 0,476936.

11.10. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y

	A
равна	f (x, y) 1 x2 ey e y . Определить A. Найти функции распределения и

плотности распределения случайных величин, входящих в систему. Определить,

зависимы или независимы случайные величины: X, Y.

11.11. Дана плотность совместного распределения случайных величин X, Y:

f (x, y)	1			. Определить вероятность попадания в прямоугольник:
	2 1 x 2	1 y2
		y
		0			(2;1,5)
		(0;-1)			(2;-1)	х

11.12. Система случайных величин (X, Y) распределена с постоянной плот-

ностью внутри квадрата. Найти плотности распределения случайных величин X, Y

входящих в систему:

y

1

-1

1

x

-1

11.13. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

75

a(x y),		x, y D;
f (x, y) 0,	x, y D.

Область D - квадрат, ограниченный линиями x = 0; x = 3; y = 0; y = 3.

Найти: а) Коэффициент a; б) вероятность попадания случайной точки (x, y) в квадрат, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2; в) mx , my , x , y , xy .

11.14. Определить плотность распределения вероятностей, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если

F x, y sin x sin y , 0 x , 0 y	.
2	2
11.15. Плотность совместного	распределения случайных величин (X,Y):
f (x, y) A x y e x2 y2 , x 0, y 0.	Определить: 1) коэффициент A; 2) законы

распределения каждой из случайных величин, входящих в систему; 3) математичес-

кие ожидания каждой из случайных величин.

11.16. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y

			(x 3)	2
равна	f (x, y) ae		8

величины зависимыми.

неравенств x < -3; y < 4.

( y 1)2

2	. Найти коэффициент a. Установить, являются ли

Определить вероятность совместного выполнения двух

11.17.Координаты случайной точки (X,Y) раcпределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = 0, x = a, y = 0, y = b. Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R = a ,если a > b, а центр круга совпадает с началом координат.

11.18.Координаты (X, Y) случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = a, x = b, y = c , y = d (в > a , d > c).

Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы случайных величин X, Y. Выяснить, являются ли X, Y независимыми величинами.

11.19. Плотность совместного распределения случайных величин X, Y равна:

76

f x, y axy в области D и	f(x,y)=0		вне этой области. Область		D - треугольник,
ограниченный прямыми x y 1 0, x 0, y 0. Найти а) mx , my ; б) коэффициент
корреляции r , дисперсии	2	, 2 .
xy	x	y
11.20. Плотность совместного распределения системы случайные величины
				равна f (x, y) c R		. Опреде-
(X, Y), заданной внутри круга радиуса R ,					x2 y2
лить: 1) постоянную C; 2) вероятность попадания в круг радиуса a < R, если центры
обоих кругов совпадают с началом координат.
11.21. Плотность совместного распределения системы случайных величин
(X, Y): f x, y a sin x y в области			D и	f x, y 0 вне этой области. Область D
определяется неравенствами 0 x			, 0 y . Определить: a) постоянную a;
		2		2

б) mx , my ; x , y ; в) определить коэффициент корреляции r xy.
11.22. Дана плотность совместного распределения системы									случайных величин
X, Y : f (x, y)		4
		2 ex e x ey e y . Определить вероятность попадания случайной
точки (x, y)	в прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1).
11.23.	Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора
					2	,	0 x 2,	0	y 2 , .
(X, Y) имеет следующий вид: f (x, y) c(xy y)
			0,	в остальных случаях.
Вычислить: а)		значение постоянной c;		б) вероятность				P x y 2 );		в) центр
рассеивания.
11.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены										каждая по
показательному		закону с параметрами соответственно 1 и 2.							Найти вероятность
1		1
P X 1 ,	Y 2 .

11.25. Функция совместного распределения двух случайных величин X и Y

имеет следующий вид:

77

0, min(x, y) 0,

F(x, y) min(x, y), 0 min(x, y) 1,1, min(x, y) 1.

Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их

зависимости или независимости.

11.26. Случайные величины X и Y независимы и распределены следующим

образом: X - по закону N(1; 2), Y - по равномерному закону на отрезке [0; 2].

Найти вероятность следующих событий: A X, Y D , где область

D = {(x,y) / (0 x 2, 0 y 1);	B = {X > Y}.
11.27. Случайная точка	на плотности (X,Y) распределена по круговому

нормальному закону (rxy = 0, x = y = = 1,) с центром рассеивания в начале координат. Вычислить вероятности следующих событий: A = {Y > X},

B = { Y > X}, C = {Y < 3X}, D = { X < 1}, E = {X < 1, Y < 2}.

11.28. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора:

								16	12
mx = -2; my = 3 и ковариационная матрица K										. Записать выражение для
									25
								12
плотности	распределения				вероятностей f(x,				y) и вычислить вероятность
попадания в эллипс рассеивания с полуосями a = 2 x,									b = 2 y.
11.29. Определить вероятность попадания точки с координатами (X, Y) в
область, определяемую неравенствами (1 X 2, 1 Y 2), если функция распреде-
		x2	a	2 y2	a	x2	2 y2	, x 0, y	0,
ления	1 a
	f (x)
		x 0 или			y 0 (a 0).
	0,

11.30. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если плотность распределения вероятностей

f (x, y)	2	.
	(x 2 y2 1)3

78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1972. – 288 с.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1962. – 564 с.

3.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. – М.:

Наука, 1969. – 366 с.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.:

Радио и связь, 1983. – 416 с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш.

школа, 1971. – 479 с.

6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. Школа, 1970. – 239 с.

7.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1965. – 400 с.

8. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. –

М.: Высш. Школа, 1971. – 328 с.

9.Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. – Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1967. – 332 с.

10.Ивашов-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. –

М.: Наука, 1979. –256 с.

11.Коваленко И.Н., Филиппов А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. Школа, 1973. – 368 с.

12.Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1973. – 494 с.

13.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука,

1979. – 496 с.

14.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.

15.Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1080. – 224 с.

79

16. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. – М.: Мир, 1967.

Т.1. – 498 с.

17.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1978. – 224 с.

18.Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328 с.

19.Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. –М.: Наука, 1975. – 208 с.

20.Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко Н.И.. Элементы комбинаторики. – М.:

Наука, 1079. – 80 с.

80