- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3°. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Свойства уравнения :
- •4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •Билет № 24
2°. Фундаментальная система решений (фср).
Опред.: Фундаментальной системой решений ФСР называется любой базис пространства решений.
Теорема (о структуре общего решения О ЛОС.):
Если вектор-функции образуют ФСР, тоявляется решением ЛОС тогда и только тогда, когда..
- ФСР.
Билет №10
Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.
(фундаментальная матрица).
Свойства фундаментальной матрицы:
1. - невырожденная.
2.
3. Вектор-функция тогда и только тогда является решением однородной системы, когда выполняется равенство:, где- постоянный вектор.
.
4. Теорема: Если - фундаментальная матрица, то матрица будет фундаментальной тогда и только тогда, когда, где- невырожденная постоянная матрица.
Доказательство:
.
- решение. - решение ЛОС.
. ,.
3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).
Опред.: Определителем Вронского вектор-функций называется определитель
Решения (ЛОС) образуют ФСР тогда и только тогда, когда(хотя бы в одной точке).
- ФСР ,.
Билет № 11
5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.
- ЛДУ
- линейный дифференциальный оператор -го порядка.
Если , то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)
Если , то получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Сумма решений ОДУ , а также произведение решения на число снова является решением.
Уравнению можно поставить в соответствие линейную однородную систему:
Каждому решению уравненияможно однозначно сопоставить решение
ЛОС (1)
Соответствие (1) не нарушается при сложении решений и умножении решения на число. Оно также сохраняет линейную зависимость или независимость решений.
на
|
Свойства уравнения :
1. Если - решение уравнениянаи,, тона.
2. Множество всех решений уравнения является линейным пространством размерности.
3. Решения уравнениялинейно независимы тогда и только тогда, когда они линейно независимы хотя бы при одном значении.
ФСР называется любой базис пространства решений, то есть любые линейно независимых решений.
4. Теорема о структуре общего решения:
Если функции образуют ФСР, то функцияявляется решением тогда и только тогда, когда, где.
- фундаментальная матрица.
Опред.: Определителем Вронского функций называется определитель
5. Решения уравненияобразуют ФСР тогда и только тогда, когда
.
Замечание: для линейной независимости произвольных функций условиеявляется достаточным, но не необходимым.
Пример:
на
ЛНУ, так как если
Билет №12
4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).
Вывод формулы:
- фундаментальная матрица
6°. Формула Лиувилля-Остроградского для ЛО ДУ-го порядка.
Билет № 13, 14
6°. Линейные неоднородные ДУ и системы.
Теорема (общее решение ЛНС):
, где - частное решение,- ФСР, соответствующая однородной системе,,.
Доказательство.:
. .
. Пусть - решения.
.
.
Для ЛНУ го порядка имеет место аналогичная теорема.
Билет № 15
7°. Метод вариации постоянных.
Данный метод позволяет найти частное решение.
находим находим.
Находим
Билет № 16
3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.
, .
,
(характеристический многочлен).
Пусть- все корни характеристического многочлена.
1-й случай (различны):
Тогда - ФСР.
, .
Пусть
Если - действительны и являются ФСР.
Если ,
- корень ,
Следовательно - решения.
,
- линейно независимы
над линейно независимы над.
Билет № 17
3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.
, .
,
(характеристический многочлен).
Пусть- все корни характеристического многочлена.
2-й случай (среди есть одинаковые):
Лемма 1:
Если - корень кратностихарактеристического многочлена, то
, линейно независимы над .
Доказательство:
{
}
Лемма доказана.
- различные среди корней характеристического многочлена с кратностями ,
Лемма 2:
Если , где- многочлены с комплексными коэффициентами.
.
Доказательство (проводим индукцией по ):
База
Шаг - л. справа.
Продифференцируем это равенство раз:
Теорема:
- ФСР .
Доказательство:
Пусть ,
,
Линейно независимо над линейно независимо над.
Билет № 18