5.2. Приведенная рента

Различие между обычной рентой и приведенной заключается в том, что все выплаты R у приведенной ренты смещены влево на один период относительно выплат обычной ренты (сравним рис. 4а и 4б).

Рис. 4

Легко понять, что на каждый член приведенной ренты начисляется процентов на один период больше, чем в обычной ренте.

Отсюда наращенная сумма приведенной ренты S_P больше в (1 + i ) раз наращенной суммы обычной ренты :

S_P = S (1 + i ) и s^P(n; i) = s(n; i) (1 + i ).

Точно такой же зависимостью связаны современные стоимости обычной ренты А и приведенной ренты А_P :

А_P =А (1 + i ), а^P(n; i) = a(n; i) (1 + i ) . (18)

Пример. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными выплатами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i=3 % в месяц. Найдите сумму ежемесячного взноса R при платеже:

а) постнумерандо (обычная рента),

б) пренумерандо (приведенная рента).

Решение. а) R × a(12;0,03) = 5 млн руб.

Коэффициент приведения a(12; 0,03) = = 9,95400 .

Отсюда R = 5млн руб._/ 9,95400 = 502311 руб.

б) Аналогично предыдущему : R × a(12;0,03) = 5 млн руб. Из формулы (18):

а^P(12;0,03) = a(12;0,03)  (1+ i ) = 9,954 × 1,03 = 10,25262 ;

R= 5 млн руб._/10,25262 = 487680 руб.

3. Отложенная рента

Если срок ренты начинается в некоторый момент в будущем, то такая рента называется отложенной или отсроченной. Отложенную ренту будем считать обычной. Длина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодом отсрочки. Так период отсрочки ренты с выплатами по полугодиям и первой выплатой через два года равен 1,5 годам (рис. 5).

На рис. 5 цифра 3 (1,5 года) означает начало ренты. Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Ясно, что сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело - современная стоимость ренты А.

Пусть рента выплачивается спустя k лет (или периодов) после начального периода времени. На рис.5 начальный период обозначен цифрой 0, а современная стоимость обычной ренты - А. Тогда современная величина отложенной на k лет ренты А_k равна дисконтированной величине А, то есть

А_k = А(1+ i )^-k = R·а (n;i) (1+ i )^-k . ( 19 )

Пример. Найдите текущее значение отложенной ренты с выплатами по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, если первая выплата произойдет через два года, а последняя - через пять лет. Проценты начисляются по ставке 20 % за полгода.

Решение. Начало ренты через три полугодия. Первая выплата производится в конце четвертого полугодия, а последняя - в конце. Всего 7 выплат. Из формулы (18) при k = 3; n = 7; i = 0,2 , получим:

А₃ = 100·= 208599 руб.

Пример. Найдите величину ежегодных выплат отложенной на два года ренты сроком 5 лет, современное значение которой 430 тыс. руб. Проценты начисляются по ставке 21 % годовых.

Решение. Из формулы (19) находим:

R = А_k (1+ i )^k _/а(n;i)_.

При k = 2; n = 5; i = 0,21 , получим:

R = 430 ·1,21²= 215163 руб.

Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы и современной величины, когда выплаты по ренте производятся один раз в году и начисление процентов происходит также один раз в году. Однако в реальных ситуациях (в контрактах) могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей, а также порядок начисления на них процентов.